【正文】 July 1, 2022 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 切片法 1 已知平行截面的面積求體積 （ 切片法 ） 蜀南竹海 July 1, 2022 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 切片法 2 用數(shù)學(xué)軟件 Maple作了有關(guān)動畫 這些動畫生動地顯示了立體的形成過程 計(jì)算了一些立體的體積 July 1, 2022 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 切片法 3 241 ( ) 1 ( ) 1 3 31 0 1 5 03xxf x g x xx x H? ? ? ? ? ? ? ??例 立 體 以 和 （ ） 之 間 的 區(qū) 域 為 底 ，在 處 的 垂 直 于 軸 的 截 面 是 一 個 高 的 等 腰 三 角 形 。2( ) 110xfx ??x4( ) 1150xgx ? ? ?y July 1, 2022 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 切片法 4 with(plots): f:=xx^2/10+1: g:=xx^4/1501: a:=3:b:=3:H:=3: xzou:=spacecurve([x,0,0],x=a1..b+1,thickness=3,color=black): yzou:=spacecurve([0,y,0],y=a1..b+1,thickness=3,color=black): base:=plot3d([x,y,0],x=a..b,y=g(x)..f(x),color=grey,style=patchnogrid): quxianf:=spacecurve([x,f(x),0],x=a1..b+1,thickness=3,color=red): quxiang:=spacecurve([x,g(x),0],x=a1..b+1,thickness=3,color=red): K:=50:for i from 0 to K do xi:=a+i*(ba)/K: sanjiaoxing[i]:=spacecurve([[xi,g(xi),0],[xi,f(xi),0],[xi,(f(xi)+g(xi))/2,H],[xi,g(xi),0]],thickness=3,color=blue): sanjiaoban[i]:=plot3d([xi,y,z],y=(f(xi)+g(xi))/2(f(xi)g(xi))/2*(1z/H)..(f(xi)+g(xi))/2+(f(xi)g(xi))/2*(1z/H),z=0..H,color=yellow,style=patchnogrid): qumian1[i]:=plot3d([x,f(x)+(f(x)+g(x))/2*t,H*t],t=0..1,x=a..xi,color=green): qumian2[i]:=plot3d([x,g(x)+(f(x)g(x))/2*t,H*t],t=0..1,x=a..xi,color=green)od: sanjiaoxing:=display(seq(sanjiaoxing[i],i=0..K),insequence=true): sanjiaoban:=display(seq(sanjiaoban[i],i=0..K),insequence=true): qumian1:=display(seq(qumian1[i],i=0..K),insequence=true): qumian2:=display(seq(qumian2[i],i=0..K),insequence=true): display(xzou,yzou,base,quxianf,quxiang,sanjiaoban,sanjiaoxing,qumian1,qumian2,scaling=constrained)。 動畫的 Maple程序 July 1, 2022 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 切片法 5 241( ) 3 [ ( ) ( ) ]23( 2)2 10 15 0A x f x g xxx? ? ? ?? ? ?截 面 面 積2433333 270 9( ) ( 2)2 10 150 125xxV A x dx dx??? ? ? ? ???立 體 體 積?? ?d??????33?? ? ?? ?320 x 2 1100 x 4 3 x 2709125f:=x(3/2)*(x^2/10+x^4/150+2): a:=3:b:=3: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b)。 現(xiàn)在來求這個立體的體積 July 1, 2022 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 切片法 6 2 2 22 x y R xxh??例 立 體 以 圓 為 底 ， 在 處 的垂 直 于 軸 的 截 面 是 一 個 高 為 的 等 腰 三 角 形 。2 2 2x y R??xy這個立體叫做 正劈錐體 July 1, 2022 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 切片法 7 with(plots): R:=1: f:=xsqrt(R^2x^2): g:=xsqrt(R^2x^2): a:=R:b:=R:H:=2: xzou:=spacecurve([x,0,0],x=a1..b+1,thickness=3,color=black): yzou:=spacecurve([0,y,0],y=a1..b+1,thickness=3,color=black): base:=plot3d([x,y,0],x=a..b,y=g(x)..f(x),color=grey,style=patchnogrid): quxian:=spacecurve([R*cos(t),R*sin(t),0],t=0..2*Pi,thickness=3,color=red): K:=60:for i from 0 to K do xi:=a+i*(ba)/K: sanjiaoxing[i]:=spacecurve([[xi,g(xi),0],[xi,f(xi),0],[xi,(f(xi)+g(xi))/2,H],[xi,g(xi),0]],thickness=3,color=blue): sanjiaoban[i]:=plot3d([xi,y,z],y=(f(xi)+g(xi))/2(f(xi)g(xi))/2*(1z/H)..(f(xi)+g(xi))/2+(f(xi)g(xi))/2*(1z/H),z=0..H,color=yellow,style=patchnogrid): qumian1[i]:=plot3d([x,f(x)+(f(x)+g(x))/2*t,H*t],t=0..1,x=a..xi,color=green): qumian2[i]:=plot3d([x,g(x)+(f(x)g(x))/2*t,H*t],t=0..1,x=a..xi,color=green)od: sanjiaoxing:=display(seq(sanjiaoxing[i],i=0..K),insequence=true): sanjiaoban:=display(seq(sanjiaoban[i],i=0..K),insequence=true): qumian1:=display(seq(qumian1[i],i=0..K),insequence=true): qumian2:=display(seq(qumian2[i],i=0..K),insequence=true): display(xzou,yzou,base,quxian,sanjiaoban,sanjiaoxing,qumian1,qumian2,scaling=constrained,orientation=[50,70])。 動畫的 Maple程序 July 1, 2022 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 切片法 8 with(plots): R:=1: f:=xsqrt(R^2x^2): g:=xsqrt(R^2x^2): a:=R:b:=R:H:=2: xzou:=spacecurve([x,0,0],x=a1..b+1,thickness=3,color=black): yzou:=spacecurve([0,y,0],y=a1..b+1,thickness=3,color=black): base:=plot3d([x,y,0],x=a..b,y=g(x)..f(x),color=grey,style=patchnogrid): quxian:=spacecurve([R*cos(t),R*sin(t),0],t=0..2*Pi,thickness=3,color=red): xi:=*R: sanjiaoxing:=spacecurve([[xi,g(xi),0],[xi,f(x