【正文】 邏輯代數(shù)中的幾個概念 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則 邏輯函數(shù)的性質(zhì) 邏輯函數(shù)的化簡 第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) Fundamentals of Boolean Algebra ? 布爾代數(shù) Boolean algebra： 用一種 數(shù)學(xué)運(yùn)算 的代數(shù)系統(tǒng)描述 人的 邏輯思維規(guī)律和推理過程。 ? 邏輯代數(shù) Switching algebra： 將布爾代數(shù)的一些基本前提和定理 應(yīng)用于繼電器 的分析與描述 ，稱為 二值布爾代數(shù) ，或 開關(guān)代數(shù) 。繼電器是當(dāng)時最常用的數(shù)字邏輯元件，繼電器的接觸狀態(tài)（打開或閉合）用 0 或 1表示。 ? 邏輯代數(shù)是二值邏輯運(yùn)算中的基本數(shù)學(xué)工具 ? 邏輯代數(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)字系統(tǒng)的分析和設(shè)計 第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ) Fundamentals of Boolean Algebra ? 邏輯代數(shù)是二值邏輯運(yùn)算中的基本數(shù)學(xué)工具 ? 邏輯代數(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)字系統(tǒng)的分析和設(shè)計 在 現(xiàn)代邏輯分析技術(shù) 中，邏輯值對應(yīng)于各種廣泛的物理條件：電壓的高或低、燈光的明或暗、電容器的充電或放電、熔絲的斷開或接通，等等。 下表給出了 不同的計算機(jī)邏輯和存儲技術(shù)中表示位值的物理狀態(tài) 。 不同的計算機(jī)邏輯和存儲技術(shù)中表示位值的物理狀態(tài) 表 示 位 值 的 狀 態(tài) 技術(shù) 0 1 氣動邏輯 繼電器邏輯 CMOS邏輯 TTL邏輯 光纖 動態(tài)存儲 非易失的可擦存儲器 雙極只讀存儲器 磁泡存儲器 磁帶存儲器 聚合體存儲器 只讀壓縮盤 可重寫壓縮盤 低壓流動 電路斷開 0~ 0~ 暗 電容放電 電子捕獲 熔絲燒斷 無磁泡 磁通朝“北” 分子處于狀態(tài) A 無凹陷 晶態(tài)染色 高壓流動 電路閉合 ~ ~ 亮 電容充電 電子釋放 熔絲完好 有磁泡 磁通朝“南” 分子處于狀態(tài) B 凹陷 非晶態(tài)染色 邏輯代數(shù)中的幾個概念 1. 邏輯狀態(tài) Logic State： 當(dāng)事物的某些特性表現(xiàn)為兩種 互不相容 的狀態(tài)，即 ①某一時刻必出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一種狀態(tài) ②一種狀態(tài)是另一種狀態(tài)的反狀態(tài) 則用符號 0、 1分別表示這兩種狀態(tài)，稱邏輯狀態(tài)。 即： 0 狀態(tài) (0－ state) 和 1 狀態(tài) (1－ state) 一般， 0狀態(tài) ——邏輯條件的假或無效， 1狀態(tài) ——邏輯條件的真或有效。 (兩種狀態(tài)無大小之分 ) 2. 邏輯變量 Logic Value ： 用于表示 事物狀態(tài) 的邏輯狀態(tài)隨邏輯條件的變化而變化，取值 “ 0” 或 “ 1” 。 4. 邏輯電平 Logic Voltage： ? 在二值邏輯電路 (開關(guān)電路 )中，將物理器件的物理量離散 為兩種電平： 高電平 （用 H 表示）、 低電平（用 L 表示） ? 抽象化的高、低電平 忽略 其物理量值的實(shí)際含義，實(shí)際上它們是代表著 一定范圍 的物理量。參見下頁。 ? 在高、低電平之間有一邏輯不確定區(qū)，稱為“噪音區(qū)”。若電平穩(wěn)定于噪音區(qū)稱為邏輯模糊，這在邏輯電路中不允許。 3. 邏輯常量 Logic Constant ： 邏輯狀態(tài)保持不變，取值 “ 0” 或 “ 1”。 表 2－ 1不同工藝器件定義的邏輯電平 工藝 邏輯電平（電源電壓為 5V） L H TTL 0～ ～ CMOS 0 ～ ～ 圖 21 脈沖的邏輯電平表示 L H L H 5. 邏輯約定 Logic Assumpsit： 規(guī)定 邏輯電平 （表示物理器件的輸入、輸出物理量） 與 邏輯狀態(tài) （表示物理器件的邏輯功能） 之間的 關(guān)系 ，即 邏輯規(guī)定（約定） 。 這一規(guī)定過程稱為 邏輯化過程 。 確定了邏輯規(guī)定（約定）后，各種物理量都轉(zhuǎn)化為邏輯狀態(tài)含義，因而可用邏輯變量表示，進(jìn)而就 可用各種數(shù)學(xué)或邏輯方法對電子電路進(jìn)行分析和表達(dá) 。一旦完成了邏輯化工作，不再考慮邏輯電路輸入輸出端的實(shí)際電平值，而是 假設(shè)電路直接按照邏輯信號的 0和 1進(jìn)行操作 。 邏輯約定 有兩種： 正邏輯 規(guī)定（約定） 和 負(fù)邏輯 規(guī)定（約定），如下： 正邏輯 規(guī)定（約定） 負(fù)邏輯 規(guī)定（約定） 0 1 L H 邏輯狀態(tài) 邏輯電平 (a)正邏輯規(guī)定（約定） 注：本書均采用正邏輯約定。 H電平 L電平 1狀態(tài) 0狀態(tài) 1 0 L H 邏輯狀態(tài) 邏輯電平 (b)負(fù)邏輯規(guī)定（約定） H電平 L電平 0狀態(tài) 1狀態(tài) ? 邏輯電路 Logic Circuit： 由實(shí)現(xiàn)邏輯變量之間邏輯關(guān)系的物理器件所構(gòu)成的 電路稱為邏輯電路，即二值邏輯電路。 6. 邏輯代數(shù) Logic Algebra ： ? 用代數(shù)形式表現(xiàn)邏輯變量之間的 因果關(guān)系 。 ? 用代數(shù)運(yùn)算對這些邏輯變量進(jìn)行 邏輯推理 。 因此，邏輯代數(shù)是 一個集合 ：邏輯 變量 集、 常量 0和 “與”、“或”和“非”三種邏輯 運(yùn)算 。 運(yùn)算順序 是：“非”最高，“與”次之，“或”最低。 7. 邏輯函數(shù) Logic Function： 輸入邏輯變量 A1， A2， … , A n；輸出邏輯變量 F； 記為： F = f (A1， A2， … , A n )，關(guān)系如下圖所示： F = f (A1, A2, …, A n) 輸入變量（自變量）取值 0、 1； 輸出變量（邏輯函數(shù)值）取值 0、 1. 實(shí)現(xiàn) f (A1， A2， … , A n ) 的邏輯網(wǎng)絡(luò) A1A2 An F 8. 邏輯函數(shù)的表示法 Representation： 主要有四種 ⑴ 真值表（窮舉法） Truth Table A B F 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 真值表例 表達(dá)式例： F = A B ⑵ 邏輯表達(dá)式 Algebraic Forms of Switching Functions ⑶ 卡諾圖 Karnaugh MAP （文氏圖 Venn Diagrams） ⑷ 時間圖 （信號波形圖 ） Timing Venn圖 全集 為 1 又引入變量 B，將已有區(qū)域再分別一分為二 引入變量 A，將 區(qū)域 一分為二 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 “與” 運(yùn)算 (邏輯 乘 ) Logic Multiplication “或” 運(yùn)算 (邏輯 加 ) Logic Addition “非” 運(yùn)算 (邏輯 非 ) Logic Negation 運(yùn)算結(jié)果 邏輯 積 Logic Product 邏輯 和 Logic Sum 求 補(bǔ) Complement 示意電路 真值表 F A B F A B F A R A B F 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 A B F 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A F 0 1 1 0 “與” 運(yùn)算 (邏輯 乘 ) Logic Multiplication “或” 運(yùn)算 (邏輯 加 ) Logic Addition “非” 運(yùn)算 (邏輯 非 ) Logic Negation 代數(shù)式 F = A B = A B F = A＋ B F = A 邏輯符號 波形圖 文氏圖 (F為 陰影 ) amp。 D A B C F D A B C F ≥1 D A B C F F D A B C 1 A F A F A B F A B F A F A 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則 基本運(yùn)算： 1 = 0 0 = 1 1 ? 1 = 1 0 + 0 = 0 0 ? 1 = 1 ? 0 = 0 1 + 0 = 0 + 1 = 1 0 ? 0 = 0 1 + 1 = 1 (≠10) 布爾代數(shù)的基本公理 Basic Postulates 公理是基本的假設(shè)，是客觀存在，無需證明?？梢杂谜嬷当眚?yàn)證等式 成立，當(dāng)然等式兩邊還具有相同的卡諾圖，體現(xiàn)了表達(dá)式的多樣性。 運(yùn)算的優(yōu)先順序：括號，非，與，或 。 0－ 1 律 0 and 1 elements for ＋ and ? operators A + 0 = A A ? 1 = A A + 1 = 1 A ? 0 = 0 Commutativity of the ＋ and operations 交換律 A ＋ B = B ＋ A A ? B = B ? A 結(jié)合律 A＋ (B＋ C) = (A＋ B)＋ C A ? ( B ? C ) = ( A ? B ) ? C Distributivity of the ＋ and operations 分配律 A＋ B ? C = (A＋ B)?( A＋ C)“ 或”對“與”的分配 A ? (B＋ C) = A ? B＋ A ? C “ 與”對“或”的分配 A B C (A+B) ?(A+C) B ? C A+BC A+B A+C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 00010001 00011111 00111111 01011111 00011111 可以用同樣的方法證明 A ? (B+C) = A ? B+ A ? C 成立。 由此證明 A+B?C = (A+B)(A+C) 成立。 例：證明 分配律 A＋ B ? C = (A＋ B)?( A＋ C) 成立。 用真值表證明，如下： 互補(bǔ)律 Complement A + A = 1 A ? A = 0 ?可以把互補(bǔ)律看作如下命題： 若 X＝ A， Y＝ A，則有 X + Y = 1 X ? Y = 0 ?可以證明，其逆命題也成立： 若 X + Y = 1 X ? Y = 0 ，則有 X＝ A， Y＝ A。 重疊律 Idempotency A + A = A A ? A = A 對合律 involution A = A 邏輯代數(shù)的基本定理 Fundamental Theorems 右邊 = A + 1 ? B （ 0—1律） = A +（ A + A ) ? B （互補(bǔ)律） = A + AB + A B （分配律） = A + AB （吸收律） 例 ：證明 A + A ? B = A + B ，可以用 公理 來 證明 。 吸收律 Absorption A ? B + A ? B = A ( A + B )( A + B ) = A A + A ? B = A + B A ? ( A + B ) = A ? B A + AB = A A ? ( A + B ) = A = 左邊 證明成立 A + B = A ? B A ? B = A + B 反演律 DeMan’s Theor