【正文】 第七章 狀態(tài)空間描述法 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 狀態(tài)方程求解 可控性與可觀測性 狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器 End 控制理論的發(fā)展 經(jīng)典控制論： 現(xiàn)代控制論： 大系統(tǒng)理論、智能控制理論： 時間：本世紀 3050年代 對象：線性定常，單輸入輸出系統(tǒng) 方法：傳遞函數(shù)，頻域特性 時間：本世紀 5070年代 對象：時變、離散、非線性的多輸入輸出系統(tǒng) 方法：時域，線性代數(shù)，狀態(tài)空間 時間：本世紀 60年代末 今 對象：復(fù)雜系統(tǒng)，交叉學科，生醫(yī)、信號處理、軟件算法 方法：人工智能，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，模糊集，運籌學 現(xiàn)代控制論的 五個分支： ? 建模和系統(tǒng)辨識 ? 最優(yōu)濾波理論 ? 最優(yōu)控制 ? 自適應(yīng)控制 ? 線性系統(tǒng)理論 現(xiàn)代控制原理預(yù)覽 建模 分析 設(shè)計 狀態(tài)空間 表達式 建立 求解 轉(zhuǎn)換 可控 性 可觀 性 穩(wěn)定性 狀態(tài)反饋 狀態(tài)觀測器 最優(yōu)控制 ? 線性系統(tǒng)理論是現(xiàn)代控制論的基礎(chǔ) ? 最完善，技術(shù)上較為成熟，應(yīng)用最廣泛的部分 ? 主要研究線性系統(tǒng)在輸入作用下狀態(tài)運動過程的規(guī)律和改變這些規(guī)律的可能性與措施 ? 建立和揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)、動態(tài)行為和性能之間的關(guān)系 ? 主要研究內(nèi)容包括狀態(tài)空間描述、能空性、能觀性和狀態(tài)反饋、狀態(tài)觀測等 現(xiàn)代控制論 VS 經(jīng)典控制論 特 點 已工程化，直觀，具體，精度一般 已規(guī)范化，精度高，有標準的算法程序 控制器 以模擬硬件為主 以單片機、微處理器，軟件為主 結(jié)構(gòu)圖 經(jīng) 典 現(xiàn) 代 時 間 19401960年 1960年至現(xiàn)在 數(shù)學模型 傳遞函數(shù)、微分方程 傳遞矩陣、狀態(tài)方程 數(shù)學工具 常微分方程、復(fù)變函數(shù)、Laplace變換等 矩陣理論、泛函分析、概率統(tǒng)計等 應(yīng)用范圍 單輸入單輸出線性定常連續(xù)、離散時變集中參數(shù)系統(tǒng) 多輸入多輸出連續(xù)、離散時變集中參數(shù)系統(tǒng) 應(yīng)用情況 極為普遍 范圍廣 控 制 器 被 控對 象r ( t ) c ( t )微 處理 器被 控對 象R YN經(jīng)典控制論 ? 以微分方程或傳遞函數(shù)為描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學模型 ? 常采用頻域分析法分析系統(tǒng)特性 ? 表達系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系 ? 只描述系統(tǒng)的外部特性，不反應(yīng)內(nèi)部各物理量的變化 ? 僅僅考慮零初始條件，不足以揭示系統(tǒng)全部特性 現(xiàn)代控制論 ? 采用狀態(tài)空間表達式作為系統(tǒng)的數(shù)學模型 ? 用時域分析系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)之間的關(guān)系 ? 狀態(tài)空間表達式是一階矩陣 向量微分方程組 ? 揭示系統(tǒng)內(nèi)部的運動規(guī)律，反應(yīng)系統(tǒng)動態(tài)特性的全部信息 . 狀態(tài)和狀態(tài)空間基本概念 (5) 狀態(tài)方程 ：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系的、一階微 分方程（組）： (6) 輸出方程 ：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān)系的數(shù) 學表達式： ( ) ( ) ( )x t A x t B u t??( ) ( ) ( )y t C x t D u t??(7) 狀態(tài)空間表達式 ： (5)+(6). (4) 狀態(tài)空間 ：以狀態(tài)變量 為坐標軸構(gòu)成 的 n維空間 1 , ,( ) ( )nxxtt. 狀態(tài)和狀態(tài)空間 1. ?先看一個例子 ： 例 試建立圖示電路的數(shù)學模型。 R L C i(t) ur(t) uc(t) )()()()( tutRitudt tdiL rc ???dttduCti c )()( ?????????????)(1)(1)()(1)(tuLtiLRuLdttditiCdttdurcc思考和第二章 建模的區(qū)別 “經(jīng)典”是 高階微分 ， 一個方程 ，無中間變量 “現(xiàn)代”是 一階微分 ， 一個方程組 ，有中間變量 經(jīng)典控制論中： n階系統(tǒng) n階微分方程 只是輸入與輸出的關(guān)系，無中間變量 現(xiàn)代控制論中： n階系統(tǒng) n個一階微分方程 體現(xiàn)輸入，輸出與各個中間變量的線性關(guān)系 在已知 ur(t)的情況下，只要知道 uc(t)和 i(t)的變化特性，則其他變量的變化均可知道。故 uc(t)和 i(t)稱為“狀態(tài)變量”。記 ))()()(),()( 21????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?、及 ixdttdxtitxtutxiic?)(10)()(110)()(2121 tuLtxtxLRLCtxtxr????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???則有????????????)(1)(1)()(1)(tuLtiLRuLdttditiCdttdurcc122 1 2111rxxCRx x x uL L L?????? ? ? ? ???轉(zhuǎn)換成矩陣方程 一階矩陣微分方程式 . 狀態(tài)和狀態(tài)空間基本概念 (1) 狀態(tài) ： 系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的狀況 (2) 狀態(tài)變量 ： 能夠完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小一組變量： )b0 0 ( ) ( )) ttx t x ta ? ?表示系統(tǒng)在 時刻的狀態(tài) 若初值 給定， 時的 給定， 則狀態(tài)變量完全確定系統(tǒng)在 時的行為。 0()xt 0tt?()ut0tt?淡化了輸出的概念，都歸結(jié)為狀態(tài)變量 已知輸入及所有狀態(tài)變量 ，就能刻畫整個系統(tǒng) 如上例中 , 為系統(tǒng)的狀態(tài)向量， 為狀態(tài)變量。 ? ?? ?? ????????txtxtx21 ? ? )2,1(, ?itx i(3) 狀態(tài)向量 ：以系統(tǒng)的 n個獨立狀態(tài)變量 作為分量的向量，即 1 , ,( ) ( )nxxtt? ? T1( ) , ,( ) ( )nx t x xtt?. 狀態(tài)和狀態(tài)空間基本概念 (5) 狀態(tài)方程 ：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系的、一階微 分方程（組）： (6) 輸出方程 ：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān)系的數(shù) 學表達式： ( ) ( ) ( )x t A x t B u t??( ) ( ) ( )y t C x t D u t??(7) 狀態(tài)空間表達式 ： (5) (6). (4) 狀態(tài)空間 ：以狀態(tài)變量 為坐標軸構(gòu)成 的 n維空間 1 , ,( ) ( )nxxtt求上述 RLC電路的狀態(tài)空間表達式 112210 0( ) ( )()1( ) ( )1 rx t x tCutx t x tR LLL?? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ????1112()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 0 1 ]()ccxtx t u t y t u t x txt??? ? ? ? ?????狀態(tài)方程 輸出方程 狀態(tài)空間表達式 1210 0()()1() 1 rxt Cutxt R LLL?? ??????? ? ? ?????? ???? ????x ( t )( ) [0 1 ]yt ? x ( t )12()()xtxt???????x ( t )其中 狀態(tài)空間表達式就是用狀態(tài)向量將狀態(tài)方程和輸出表示出來 求上述 RLC電路的狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)空間表達式 1210 0()()1() 1 rxt Cutxt R LLL?? ??????? ? ? ?????? ???? ????x ( t )( ) [0 1 ]yt ? x ( t )狀態(tài)空間表達式 ()()utyt??? ??????x ( t ) A x ( t ) BC x ( t ) 1)選取 n個狀態(tài)變量 ；確定 輸入 、 輸出 變量； 建立狀態(tài)空間表達式的步驟 狀態(tài)變量 、輸入變量、 參數(shù) 輸出變量、 狀態(tài)變量 、輸入變量、 參數(shù) 2)根據(jù)系統(tǒng)微分方程列出 n個 一階微分方程 ； 3)根據(jù)系統(tǒng)微分方程，列出 m個 代數(shù)方程 。 結(jié)論： (1)狀態(tài)變量選取具有 非唯一性 。狀態(tài)變量個數(shù) ?系統(tǒng)的階次； (2)狀態(tài)變量具有 獨立性 ； (3)不同組狀態(tài)變量之間可做等價變換 ?線性變換。 三 . 狀態(tài)變量的選取 1. 狀態(tài)變量的選取是非唯一的。 2. 選取方法 ?（ 1）可選取初始條件對應(yīng)的變量或與其相關(guān)的變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。 ?（ 2）可選取獨立儲能（或儲信息）元件的特征變量或與其相關(guān)的變量作為控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量。（如電感電流 i、電容電壓 uc 、質(zhì)量 m 的速度 v 等。 系統(tǒng)的狀態(tài)變量選取是不唯一的（對應(yīng)空間的基不唯一） 不同組狀態(tài)變量對系統(tǒng)的表達形式不同 變量的個數(shù)是唯一的，等于系統(tǒng)的階數(shù)（空間的維度） 例 已知系統(tǒng)微分方程組為 ? ??? dtiiciRu r )(1 21111? ???? dticiRdtiic 22222111)(1rc udticu ?? ? 221 其中， ur 為輸入， uc 為輸出， R C R C2為常數(shù)。試列寫系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程。 解： ? ??? dtixdtix 2211 ,rc uxcu ?? 221uRxxCRCRCR CRCRxx ?????????????????????????????0/1/1/1/1/1/1 121221212111121??? ? ? ?? ? utx txCy ????????212/1022222111)(1 xcxRxxc ????)(1 21111 xxcxRu r ??? ?選 寫成向量 —矩陣形式： ? ??? dtiiciRu r )(1 21111? ???? dticiRdtiic 22222111)(1rc udticu ?? ? 221???????????????????????ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn???????2211222221212112121111四 . 狀態(tài)空間表達式 1. 單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng) BuAxx ???duxcxcxcy nn ????? ?2211DuCxy ??SISO系統(tǒng)中， y和 u是標量 MIMO系統(tǒng)中， y和 u是向量 所有狀態(tài)分量的一階導(dǎo)是其他狀態(tài)分量與輸入的線性組合 2. 一般線性系統(tǒng) 狀態(tài)空間表達式（ p輸入 q輸出） ? ? ? ?? ? ? ?utDxtCyutBxtAx?????DuCxyBuAxx?????