【正文】 第二十一章 二次根式 教材內(nèi)容 1．本單元教學(xué)的主要內(nèi)容： 二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡(jiǎn)二次根式． 2．本單元在教材中的地位和作用： 二次根式是在學(xué)完了八年級(jí)下冊(cè)第十七章《反比例正函數(shù)》、第十八章《勾股定理及其應(yīng)用》等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，它也是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)． 教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）． （3）掌握＝（a≥0，b≥0），=；=（a≥0，b0），=（a≥0，b0）． （4）了解最簡(jiǎn)二次根式的概念并靈活運(yùn)用它們對(duì)二次根式進(jìn)行加減． 2．過(guò)程與方法 （1）先提出問(wèn)題，讓學(xué)生探討、分析問(wèn)題，師生共同歸納，得出概念．再對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析，得出幾個(gè)重要結(jié)論，并運(yùn)用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn)． （2）用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規(guī)定，并運(yùn)用規(guī)定進(jìn)行計(jì)算． （3）利用逆向思維，得出二次根式的乘（除）法規(guī)定的逆向等式并運(yùn)用它進(jìn)行化簡(jiǎn)． （4）通過(guò)分析前面的計(jì)算和化簡(jiǎn)結(jié)果，抓住它們的共同特點(diǎn)，給出最簡(jiǎn)二次根式的概念．利用最簡(jiǎn)二次根式的概念，來(lái)對(duì)相同的二次根式進(jìn)行合并，達(dá)到對(duì)二次根式進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)的目的． 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀 通過(guò)本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，經(jīng)過(guò)探索二次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力． 教學(xué)重點(diǎn) 1．二次根式（a≥0）的內(nèi)涵．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）及其運(yùn)用． 2．二次根式乘除法的規(guī)定及其運(yùn)用．3．最簡(jiǎn)二次根式的概念． 4．二次根式的加減運(yùn)算． 教學(xué)難點(diǎn) 1．對(duì)（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解；對(duì)等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及應(yīng)用． 2．二次根式的乘法、除法的條件限制． 3．利用最簡(jiǎn)二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式． 教學(xué)關(guān)鍵 1．潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的推理能力，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)． 2．培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算的能力，培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神． 單元課時(shí)劃分 本單元教學(xué)時(shí)間約需11課時(shí)，具體分配如下： 21．1 二次根式 3課時(shí) 21．2 二次根式的乘法 3課時(shí) 21．3 二次根式的加減 3課時(shí) 教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié) 2課時(shí)21．1 二次根式第一課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 二次根式的概念及其運(yùn)用 教學(xué)目標(biāo) 理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意義解答具體題目． 提出問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問(wèn)題． 教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用“（a≥0）”解決具體問(wèn)題． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問(wèn)題： 問(wèn)題1：已知反比例函數(shù)y=，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．問(wèn)題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90176。，那么AB邊的長(zhǎng)是__________． 問(wèn)題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_________． 老師點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}1：橫、縱坐標(biāo)相等，即x=y，所以x2=3．因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以x=，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)（，）． 問(wèn)題2：由勾股定理得AB= 問(wèn)題3：由方差的概念得S= . 二、探索新知 很明顯、都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根．像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式．因此，一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)． （學(xué)生活動(dòng)）議一議： 1．1有算術(shù)平方根嗎？ 2．0的算術(shù)平方根是多少？ 3．當(dāng)a0，有意義嗎？ 老師點(diǎn)評(píng):（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、、（x≥0，y≥0）． 分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“”；第二，被開(kāi)方數(shù)是正數(shù)或0． 解：二次根式有：、（x0）、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、． 例2．當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 分析：由二次根式的定義可知，被開(kāi)方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x1≥0，才能有意義． 解：由3x1≥0，得：x≥ 當(dāng)x≥時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義． 三、鞏固練習(xí) 教材P練習(xí)3． 四、應(yīng)用拓展 例3．當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 分析：要使+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時(shí)滿足中的≥0和中的x+1≠0． 解：依題意，得 由①得：x≥ 由②得：x≠1 當(dāng)x≥且x≠1時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2) (2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:) 五、歸納小結(jié)（學(xué)生活動(dòng)，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課要掌握： 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)． 2．要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)． 六、布置作業(yè) 1．教材P8復(fù)習(xí)鞏固綜合應(yīng)用5． 2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)． 第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題
1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A． B． C． D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3．已知一個(gè)正方形的面積是5，那么它的邊長(zhǎng)是（ ） A．5 B． C． D．以上皆不對(duì) 二、填空題 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面積為a的正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______． 3．負(fù)數(shù)________平方根． 三、綜合提高題 1．某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，按設(shè)計(jì)需要，底面應(yīng)做成正方形，試問(wèn)底面邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？2．當(dāng)x是多少時(shí)，+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？3．若+有意義，則=_______． （ ）個(gè)． A．0 B．1 C．2 D．無(wú)數(shù) 、b為實(shí)數(shù)，且+2=b+4，求a、b的值． 第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1．（a≥0） 2． 3．沒(méi)有 三、1．設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，=1，解答：x=． 2．依題意得：，∴當(dāng)x且x≠0時(shí)，＋x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有意義．3. 4．B 5．a(chǎn)=5，b=4 二次根式(2)第二課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 1．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)； 2．（）2=a（a≥0）． 教學(xué)目標(biāo) 理解（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)和（）2=a（a≥0），并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)． 通過(guò)復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出（）2=a（a≥0）；最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題． 教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（）2=a（a≥0）及其運(yùn)用． 2．難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出（）2=a（a≥0）． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）口答 1．什么叫二次根式？ 2．當(dāng)a≥0時(shí)，叫什么？當(dāng)a0時(shí)，有意義嗎？ 老師點(diǎn)評(píng)（略）． 二、探究新知 議一議：（學(xué)生分組討論，提問(wèn)解答） （a≥0）是一個(gè)什么數(shù)呢？ 老師點(diǎn)評(píng)：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出 （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)． 做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=_______． 老師點(diǎn)評(píng)：是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有（）2=4． 同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以（）2=a（a≥0） 例1 計(jì)算 1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2 分析：我們可以直接利用（）2=a（a≥0）的結(jié)論解題．解：（）2 =，（3）2 =32（）2=325=45，（）2=，（）2=． 三、鞏固練習(xí) 計(jì)算下列各式的值：（）2 （）2 （）2 （）2 （4）2 四、應(yīng)用拓展 例2 計(jì)算1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2 4．（）2 分析：（1）因?yàn)閤≥0，所以x+10；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x212x+9=（2x）222x3+32=（2x3）2≥0．所以上面的4題都可以運(yùn)用（）2=a（a≥0）的重要結(jié)論解題． 解：（1）因?yàn)閤≥0，所以x+10 （）2=x+1 （2）∵a2≥0，∴（）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴=a2+2a+1 （4）∵4x212x+9=（2x）222x3+32=（2x3）2 又∵（2x3）2≥0∴4x212x+9≥0，∴（）2=4x212x+9例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x23 （2）x44 (3) 2x23分析：(略) 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)； 2．（）2=a（a≥0）。反之:a=（）2（a≥0）． 六、布置作業(yè) 1．教材P8 復(fù)習(xí)鞏固2．（1）、（2） P9 7．2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)． 第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1．下列各式中、、二次根式的個(gè)數(shù)是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 2．?dāng)?shù)a沒(méi)有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是（ ）． A．a(chǎn)0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)0 D．a(chǎn)=0 二、填空題 1．（）2=________． 2．已知有意義，那么是一個(gè)_______數(shù)． 三、綜合提高題 1．計(jì)算（1）（）2 （2）（）2 （3）（）2 （4）（3）2 (5) 2．把下列非負(fù)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方的形式: （1）5 （2） （3） （4）x（x≥0）3．已知+=0，求xy的值． 4．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x22 （2）x49 3x25 第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非負(fù)數(shù)三、1．（1）（）2=9 （2）（）2=3 （3）（）2=6= （4）（3）2=9=6 (5)62．（1）5=（）2 （2）=（）2 （3）=（）2 （4）x=（）2（x≥0） 3． xy=34=814.（1）x22=（x+）（x） （2）x49=（x2+3）（x23）=（x2+3）（x+）（x） (3)略 二次根式(3)第三課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 ＝a（a≥0） 教學(xué)目標(biāo) 理解=a（a≥0）并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)． 通過(guò)具體數(shù)據(jù)的解答，探究=a（a≥0），并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問(wèn)題． 教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：＝a（a≥0）． 2．難點(diǎn)：探究結(jié)論． 3．關(guān)鍵：講清a≥0時(shí)，＝a才成立． 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容； 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式； 2．（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)； 3．()2＝a（a≥0）． 那么，我們猜想當(dāng)a≥0時(shí)，=a是否也成立呢？下面我們就來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題． 二、探究新知 （學(xué)生活動(dòng)）填空： =_______；=_______；=______； =________；=________；=_______． （老師點(diǎn)評(píng)）：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到： =2；=；=；=；=0；=． 因此，一般地：=a（a≥0）