【正文】 【】將鋰在火焰上燃燒，放出紅光，波長λ=，這是Li原子由電子組態(tài) (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1躍遷時產(chǎn)生的，試計算該紅光的頻率、波數(shù)以及以kJmol1為單位的能量。解：【】 實驗測定金屬鈉的光電效應(yīng)數(shù)據(jù)如下：波長λ/nm光電子最大動能Ek/1019J作“動能頻率”，從圖的斜率和截距計算出Plank常數(shù)(h)值、鈉的脫出功(W)和臨閾頻率(ν0)。解：將各照射光波長換算成頻率,并將各頻率與對應(yīng)的光電子的最大動能Ek列于下表：λ/nm/1014s－1Ek/10－19J由表中數(shù)據(jù)作圖， 金屬的圖由式推知即Planck常數(shù)等于圖的斜率。選取兩合適點，將和值帶入上式，即可求出。例如： 圖中直線與橫坐標的交點所代表的即金屬的臨界頻率，由圖可知。因此，金屬鈉的脫出功為：【】1014s1，如用它作為光電極的陰極當(dāng)用波長為300nm的紫外光照射該電池時，發(fā)射光電子的最大速度是多少？解：【】計算下列粒子的德布羅意波的波長：（a） 質(zhì)量為1010kg，s1的塵埃；（b） ；（c） 動能為300eV的自由電子。解：根據(jù)關(guān)系式：(1)【】用透射電子顯微鏡攝取某化合物的選區(qū)電子衍射圖，加速電壓為，計算電子加速后運動時的波長。解：根據(jù)de Broglie關(guān)系式：【】對一個運動速度（光速）的自由粒子，有人進行了如下推導(dǎo)：結(jié)果得出的結(jié)論。上述推導(dǎo)錯在何處？請說明理由。解：微觀粒子具有波性和粒性，兩者的對立統(tǒng)一和相互制約可由下列關(guān)系式表達：式中，等號左邊的物理量體現(xiàn)了粒性，等號右邊的物理量體現(xiàn)了波性，而聯(lián)系波性和粒性的紐帶是Planck常數(shù)。根據(jù)上述兩式及早為人們所熟知的力學(xué)公式：知 ①，②，④和⑤四步都是正確的。 微粒波的波長λ服從下式：式中，u是微粒的傳播速度，它不等于微粒的運動速度υ ，但③中用了，顯然是錯的。 在④中，無疑是正確的，這里的E是微粒的總能量。若計及E中的勢能，則⑤也不正確?！尽孔訌棧?，速度1000ms1），塵埃（質(zhì)量109kg，速度10ms1）、作布郎運動的花粉（質(zhì)量1013kg，速度1ms1）、原子中電子（速度1000 ms1）等，其速度的不確定度均為原速度的10%，判斷在確定這些質(zhì)點位置時，不確定度關(guān)系是否有實際意義？解：按測不準關(guān)系，諸粒子的坐標的不確定度分別為：子彈：塵埃：花粉：電子：【】電視機顯象管中運動的電子，假定加速電壓為1000，電子運動速度的不確定度為的10%，判斷電子的波性對熒光屏上成像有無影響？解：在給定加速電壓下，由不確定度關(guān)系所決定的電子坐標的不確定度為：這坐標不確定度對于電視機（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍電視機）熒光屏的大小來說，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出電子運動中的波性。因此，電子的波性對電視機熒光屏上成像無影響。【】用不確定度關(guān)系說明光學(xué)光柵（周期約）觀察不到電子衍射（用電壓加速電子）。解：解法一：根據(jù)不確定度關(guān)系，電子位置的不確定度為：這不確定度約為光學(xué)光柵周期的10－5倍，即在此加速電壓條件下電子波的波長約為光學(xué)光柵周期的10－5倍，用光學(xué)光柵觀察不到電子衍射。解法二：若電子位置的不確定度為10－6m，則由不確定關(guān)系決定的動量不確定度為：在104V的加速電壓下，電子的動量為：由Δpx和px估算出現(xiàn)第一衍射極小值的偏離角為：這說明電子通過光柵狹縫后沿直線前進，落到同一個點上。因此，用光學(xué)光柵觀察不到電子衍射?！尽空堉赋鱿铝兴惴械木€性算符和線性自軛算符：解：由線性算符的定義：為線性算符。而為線性自軛算符.【】是算符的本征函數(shù)，求其本征值。解：應(yīng)用量子力學(xué)基本假設(shè)Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函數(shù)，本征值和本征方程）得：因此，本征值為。【】下列函數(shù)中，哪幾個是算符的本征函數(shù)？若是，求出本征值。 解：，是的本征函數(shù)，本征值為1。是的本征函數(shù)，本征值為1?！尽亢蛯λ惴欠駷楸菊骱瘮?shù)？若是，求出本征值。解：，所以，是算符的本征函數(shù)，本征值為。而所以不是算符的本征函數(shù)?！尽孔C明在一維勢箱中運動的粒子的各個波函數(shù)互相正交。證：在長度為的一維勢箱中運動的粒子的波函數(shù)為： =1，2，3，……令n和n’表示不同的量子數(shù)，積分： 和皆為正整數(shù)，因而和皆為正整數(shù)，所以積分：根據(jù)定義，和互相正交?！尽恳阎谝痪S勢箱中粒子的歸一化波函數(shù)為 式中是勢箱的長度，是粒子的坐標，求粒子的能量，以及坐標、動量的平均值。解：（1）將能量算符直接作用于波函數(shù)，所得常數(shù)即為粒子的能量：即：（2）由于無本征值，只能求粒子坐標的平均值：（3）由于無本征值。按下式計算px的平均值:【】求一維勢箱中粒子在和狀態(tài)時，在箱中范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率，（b）相比較，討論所得結(jié)果是否合理。解：（a） 由上述表達式計算和，并列表如下：01/81/41/33/81/20005/82/33/47/8100。 （b）粒子在狀態(tài)時，出現(xiàn)在和間的概率為： 粒子在ψ2狀態(tài)時，： （c）計算結(jié)果與圖形符合。【】鏈型共軛分子在長波方向處出現(xiàn)第一個強吸收峰，試按一維勢箱模型估算其長度。解：該分子共有4對電子，形成離域鍵。當(dāng)分子處于基態(tài)時，8個電子占據(jù)能級最低的前4個分子軌道。當(dāng)分子受到激發(fā)時，電子由能級最高的被占軌道（n=4）躍遷到能級最低的空軌道（n=5），激發(fā)所需要的最低能量為ΔE＝E5－E4，而與此能量對應(yīng)的吸收峰即長波方向460nm處的第一個強吸收峰。按一維勢箱粒子模型，可得： 因此： 計算結(jié)果與按分子構(gòu)型參數(shù)估算所得結(jié)果吻合?！尽恳粋€粒子處在的三維勢箱中，試求能級最低的前5個能量值[以h2/(8ma2)為單位]，計算每個能級的簡并度。解：質(zhì)量為m的粒子在邊長為a的立方箱中運動，其能級公式為：E122=E212=E221=9E113=E131=E311=11E222=12【】若在下一離子中運動的電子可用一維勢箱近似表示其運動特征：估計這一勢箱的長度，根據(jù)能級公式估算電子躍遷時所吸收的光的波長。解：該離子共有10個電子，當(dāng)離子處于基態(tài)時，這些電子填充在能級最低的前5個型分子軌道上。離子受到光的照射，電子將從低能級躍遷到高能級，躍遷所需要的最低能量即第5和第6兩個分子軌道的的能級差。此能級差對應(yīng)于棘手光譜的最大波長。應(yīng)用一維勢箱粒子的能級表達式即可求出該波長：，%。【】已知封閉的圓環(huán)中粒子的能級為： 式中為量子數(shù)，是圓環(huán)的半徑，若將此能級公式近似地用于苯分子中離域鍵，取R=140pm，試求其電子從基態(tài)躍遷到第一激發(fā)態(tài)所吸收的光的波長。解：由量子數(shù)n可知，n=0為非簡并態(tài)，|n|≥1都為二重簡并態(tài)，6個電子填入n=0，1，等3個軌道，： 實驗表明，苯的紫外光譜中出現(xiàn)β，和共3個吸收帶，，前兩者為強吸收，后面一個是弱吸收。由于最低反鍵軌道能級分裂為三種激發(fā)態(tài)，這3個吸收帶皆源于電子在最高成鍵軌道和最低反鍵之間的躍遷。計算結(jié)果和實驗測定值符合較好。【】函數(shù)是否是一維勢箱中粒子的一種可能狀態(tài)？若是，其能量有無確定值？若有，其值為多少？若無，求其平均值。 解：該函數(shù)是長度為的一維勢箱中粒子的一種可能狀態(tài)。因為函數(shù)和都是一維勢箱中粒子的可能狀態(tài)（本征態(tài)），根據(jù)量子力學(xué)基本假設(shè)Ⅳ（態(tài)疊加原理），它們的線性組合也是該體系的一種可能狀態(tài)。因為 常數(shù)所以，不是的本征函數(shù)，即其能量無確定值，可按下述步驟計算其平均值。將歸一化：設(shè)=，即： 所代表的狀態(tài)的能量平均值為： 也可先將和歸一化，求出相應(yīng)的能量，再利用式求出所代表的狀態(tài)的能量平均值：2 原子的結(jié)構(gòu)和性質(zhì) 【】、試通過數(shù)學(xué)處理將譜線的波數(shù)歸納成為下式表示，并求出常數(shù)R及整數(shù)nn2的數(shù)值。 解：將各波長換算成波數(shù)： 由于這些譜線相鄰，可令，……。列出下列4式：(1)247。(2)得： 用嘗試法得m=2（任意兩式計算，結(jié)果皆同）。將m=2帶入上列4式中任意一式，得：因而，氫原子可見光譜（Balmer線系）各譜線的波數(shù)可歸納為下式：式中?！尽堪碆ohr模型計算氫原子處于基態(tài)時電子繞核運動的半徑（分別用原子的折合質(zhì)量和電子的質(zhì)量計算并精確到5位有效數(shù)字）和線速度。解：根據(jù)Bohr提出的氫原子結(jié)構(gòu)模型，當(dāng)電子穩(wěn)定地繞核做圓周運動時，其向心力與核和電子間的庫侖引力大小相等，即： n=1，2，3，……式中，和分別是電子的質(zhì)量，繞核運動的半徑，半徑為時的線速度，電子的電荷和真空電容率。同時，根據(jù)量子化條件，電子軌道運動的角動量為： 將兩式聯(lián)立，推得： ； 當(dāng)原子處于基態(tài)即n=1時，電子繞核運動的半徑為： 若用原子的折合質(zhì)量代替電子的質(zhì)量，則：基態(tài)時電子繞核運動的線速度為： 【】對于氫原子：(a)分別計算從第一激發(fā)態(tài)和第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所產(chǎn)生的光譜線的波長，說明這些譜線所屬的線系及所處的光譜范圍。(b)上述兩譜線產(chǎn)生的光子能否使：（i）處于基態(tài)的另一氫原子電離？（ii）金屬銅中的銅原子電離（銅的功函數(shù)為）？(c)若上述兩譜線所產(chǎn)生的光子能使金屬銅晶體的電子電離，請計算出從金屬銅晶體表面發(fā)射出的光電子的德補羅意波的波長。解：(a)氫原子的穩(wěn)態(tài)能量由下式給出： 式中n是主量子數(shù)。 第一激發(fā)態(tài)(n＝2)和基態(tài)(n＝1)之間的能量差為：原子從第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所發(fā)射出的譜線的波長為：第六激發(fā)態(tài)(n＝7)和基態(tài)(n＝1)之間的能量差為：所以原子從第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所發(fā)射出的譜線的波長為：這兩條譜線皆屬Lyman系，處于紫外光區(qū)。（b）使處于基態(tài)的氫原子電離所得要的最小能量為：ΔE∞=E∞E1=E1=1018J而 ΔE1=1018JΔE∞ ΔE6=1018JΔE∞所以，兩條譜線產(chǎn)生的光子均不能使處于基態(tài)的氫原子電離，但是 ΔE1ФCu=1019JΔE6ФCu=1019J所以，兩條譜線產(chǎn)生的光子均能使銅晶體電離。（c）根據(jù)德布羅意關(guān)系式和愛因斯坦光子學(xué)說，銅晶體發(fā)射出的光電子的波長為： 式中ΔE為照射到晶體上的光子的能量和ФCu之差。應(yīng)用上式，分別計算出兩條原子光譜線照射到銅晶體上后銅晶體所發(fā)射出的光電子的波長： 【】請通過計算說明，用氫原子從第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所產(chǎn)生的光子照射長度為的線型分子，該分子能否產(chǎn)生吸收光譜。若能，計算譜線的最大波長；若不能，請?zhí)岢鰧⒉荒茏優(yōu)槟艿乃悸?。解：氫原子從第六激發(fā)態(tài)（n=7）躍遷到基態(tài)（n=1）所產(chǎn)生的光子的能量為： 而分子產(chǎn)生吸收光譜所需要的最低能量為： 顯然，但此兩種能量不相等，根據(jù)量子化規(guī)則，不能產(chǎn)生吸收光效應(yīng)。若使它產(chǎn)生吸收光譜，可改換光源，例如用連續(xù)光譜代替H原子光譜。此時可滿足量子化條件，該共軛分子可產(chǎn)生吸收光譜，其吸收波長為： 【】計算氫原子在和處的比值。解：氫原子基態(tài)波函數(shù)為： 該函數(shù)在r=a0和r=2a0處的比值為：而在在r=a0和r=2a0處的比值為：e2≈ 【】計算氫原子的1s電子出現(xiàn)在的球形界面內(nèi)的概率。解：根據(jù)波函數(shù)、概率密度和電子的概率分布等概念的物理意義，氫原子的1s電子出現(xiàn)在r=100pm的球形界面內(nèi)的概率為： 那么，氫原子的1s電子出現(xiàn)在r==?！尽坑嬎銡湓拥姆e分：，作出圖，求P(r)=，說明在該r值以內(nèi)電子出現(xiàn)的概率是90%。解： 根據(jù)此式列出P(r)r數(shù)據(jù)表：r/a00P(r)根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出P(r)：由圖可見：時， 時， 時，即在r=，電子出現(xiàn)的概率是10%，而在r=，電子出現(xiàn)的概率是90%，即： P(r)r圖【】已知氫原子的歸一化基態(tài)波函數(shù)為(a)利用量子力學(xué)基本假設(shè)求該基態(tài)的能量和角動量；(b)利用維里定理求該基態(tài)的平均