【正文】 第一章 在英文字母中E出現(xiàn)的概率最大，試求其信息量。解：E的信息量： 某信息源由A，B，C，D四個符號組成，設(shè)每個符號獨立出現(xiàn)，其出現(xiàn)的概率分別為1/4，1/4，3/16，5/16。試求該信息源中每個符號的信息量。解： 某信息源由A，B，C，D四個符號組成，這些符號分別用二進制碼組00，01，10，11表示。若每個二進制碼元用寬度為5ms的脈沖傳輸，試分別求出在下列條件下的平均信息速率。（1） 這四個符號等概率出現(xiàn)； （2）。解：（1）一個字母對應(yīng)兩個二進制脈沖，屬于四進制符號，故一個字母的持續(xù)時間為25ms。傳送字母的符號速率為等概時的平均信息速率為 （2）平均信息量為 則平均信息速率為 試問上題中的碼元速率是多少？解： 設(shè)一個信息源由64個不同的符號組成，其中16個符號的出現(xiàn)概率均為1/32，其余48個符號出現(xiàn)的概率為1/96，若此信息源每秒發(fā)出1000個獨立的符號，試求該信息源的平均信息速率。解：該信息源的熵為 =因此，該信息源的平均信息速率 。 設(shè)一個信息源輸出四進制等概率信號，其碼元寬度為125 us。試求碼元速率和信息速率。解：等概時， 設(shè)一臺接收機輸入電路的等效電阻為600歐姆，輸入電路的帶寬為6 MHZ，環(huán)境溫度為23攝氏度，試求該電路產(chǎn)生的熱噪聲電壓的有效值。解： 設(shè)一條無線鏈路采用視距傳輸方式通信，其收發(fā)天線的架設(shè)高度都等于80 m，試求其最遠的通信距離。解：由，得 設(shè)英文字母E出現(xiàn)的概率為 ， 。試求 E和x的信息量。 解： 信息源的符號集由 A，B，C，D 和E 組成，設(shè)每一符號獨立1/4出現(xiàn)，其出現(xiàn)概率為1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。試求該信息源符號的平均信息量。解： 設(shè)有四個消息A、B、C、D 分別以概率1/4,1/8, 1/8, 1/2 傳送，每一消息的出現(xiàn)是相互獨立的。試計算其平均信息量。 解：，B，C，D 組成的字。對于傳輸?shù)拿恳粋€字母用二進制脈沖編碼，00 代替 A，01 代替 B，10 代替 C，11 代替D。每個脈沖寬度為5ms。（1） 不同的字母是等概率出現(xiàn)時，試計算傳輸?shù)钠骄畔⑺俾省?（2） 若每個字母出現(xiàn)的概率為, 試計算傳輸?shù)钠骄畔⑺俾省?解：首先計算平均信息量。（1）平均信息速率=2（bit/字母）/(2*5m s/字母)=200bit/s（2） 平均信息速率=(bit/字母)/(2*5ms/字母)= 國際莫爾斯電碼用點和劃的序列發(fā)送英文字母，劃用持續(xù)3單位的電流脈沖表示，點用持續(xù) 1 單位的電流脈沖表示，且劃出現(xiàn)的概率是點出現(xiàn)的概率的1/3。（1） 計算點和劃的信息量； （2） 計算點和劃的平均信息量。 解：令點出現(xiàn)的概率為,劃出現(xiàn)的頻率為+=1, (1) （2） 設(shè)一信息源的輸出由128 個不同符號組成。其中16 個出現(xiàn)的概率為1/32，其余112個出現(xiàn)的概率為1/224。信息源每秒發(fā)出1000個符號，且每個符號彼此獨立。試計算該信息源的平均信息速率。解： 平均信息速率為 。 對于二電平數(shù)字信號，每秒鐘傳輸 300個碼元，問此傳碼率等于多少？若數(shù)字信號0和1出現(xiàn)是獨立等概的，那么傳信率等于多少？ 解： 1000B 速率傳送信息，則傳送 1 小時的信息量為多少？傳送 1 小時可能達到的最大信息量為多少？ 解：傳送 1 小時的信息量 傳送 1 小時可能達到的最大信息量 先求出最大的熵： 號則傳送 1 小時可能達到的最大信息量 ，求和；有四進信號，求傳碼率 和獨立等概時的傳信率 。 解：二進獨立等概信號：四進獨立等概信號：。小結(jié)： 記住各個量的單位：信息量： bit 信源符號的平均信息量（熵）： bit/符號 平均信息速率：符號）/ (s/符號)傳碼率： （B）傳信率： bit/s第二章習(xí)題 設(shè)隨機過程X(t)可以表示成：式中，是一個離散隨機變量，它具有如下概率分布：P(=0)=，P(=/2)=試求E[X(t)]和。解：E[X(t)]=P(=0)2+P(=/2) 設(shè)一個隨機過程X(t)可以表示成：判斷它是功率信號還是能量信號？并求出其功率譜密度或能量譜密度。解：為功率信號。 設(shè)有一信號可表示為：試問它是功率信號還是能量信號？并求出其功率譜密度或能量譜密度。解：它是能量信號。X(t)的傅立葉變換為：則能量譜密度 G(f)== X(t)=，它是一個隨機過程，其中和是相互統(tǒng)計獨立的高斯隨機變量，數(shù)學(xué)期望均為0，方差均為。試求：(1)E[X(t)]，E[]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3) 解：(1)因為相互獨立，所以。又因為，所以。故 (2)因為服從高斯分布，的線性組合，所以也服從高斯分布，其概率分布函數(shù)。(3) 試判斷下列函數(shù)中哪些滿足功率譜密度的條件：(1)； (2)； (3)解：根據(jù)功率譜密度P(f)的性質(zhì)：①P(f)，非負性；②P(f)=P(f) ，偶函數(shù)?？梢耘袛?1)和(3)滿足功率譜密度的條件，(2)不滿足。 試求X(t)=A的自相關(guān)函數(shù)，并根據(jù)其自相關(guān)函數(shù)求出其功率。解：R(t，t+)=E[X(t)X(t+)] =功率P=R(0)= 設(shè)和是兩個統(tǒng)計獨立的平穩(wěn)隨機過程，其自相關(guān)函數(shù)分別為。試求其乘積X(t)=的自相關(guān)函數(shù)。解：(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[]== 設(shè)隨機過程X(t)=m(t)，其中m(t)是廣義平穩(wěn)隨機過程，且其自相關(guān)函數(shù)為(1)試畫出自相關(guān)函數(shù)的曲線；(2)試求出X(t)的功率譜密度和功率P。解：(1)101其波形如圖21所示。圖21信號波形圖(2)因為廣義平穩(wěn)，所以其功率譜密度。由圖28可見，的波形可視為一個余弦函數(shù)與一個三角波的乘積，因此(t)的傅立葉變換為X(f) =。試求此信號的自相關(guān)函數(shù)。解：x(t)的能量譜密度為G(f)==其自相關(guān)函數(shù) 已知噪聲的自相關(guān)函數(shù)，k為常數(shù)。(1)試求其功率譜密度函數(shù)和功率P；(2)畫出和的曲線。解：(1) 0(2)和的曲線如圖22所示。10圖22 已知一平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)是以2為周期的周期性函數(shù)：試求X(t)的功率譜密度并畫出其曲線。解：詳見例212 已知一信號x(t)的雙邊功率譜密度為試求其平均功率。解： 設(shè)輸入信號 ，將它加到由電阻R和電容C組成的高通濾波器（見圖23）上，RC＝。試求其輸出信號y(t)的能量譜密度。解：高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 H(f)=CR圖23RC 高通濾波器輸入信號的傅里葉變換為X(f)=輸出信號y(t)的能量譜密度為 設(shè)有一周期信號x(t)加于一個線性系統(tǒng)的輸入端，得到的輸出信號為y(t)=式中，為常數(shù)。試求該線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H(f).解：輸出信號的傅里葉變換為Y(f)=,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j 設(shè)有一個RC低通濾波器如圖27所示。當(dāng)輸入一個均值為0、雙邊功率譜密度為的白噪聲時，試求輸出功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)。解：參考例210 設(shè)有一個LC低通濾波器如圖24所示。若輸入信號是一個均值為0、雙邊功率譜密度為的高斯白噪聲時，試求LC圖24LC低通濾波器(1) 輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)。(2)輸出噪聲的方差。解：(1)LC低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 H(f)=輸出過程的功率譜密度為對功率譜密度做傅立葉反變換，可得自相關(guān)函數(shù)為(2) 輸出亦是高斯過程，因此 ，當(dāng)輸入一個均值為0、雙邊功率譜密度為 的白噪聲時，試求輸出噪聲的概率密度。解：高斯白噪聲通過低通濾波器，輸出信號仍然是高斯過程。(y(t))=0 , 所以輸出噪聲的概率密度函數(shù)，式中是一個離散隨變量，且，試求及。解：，若和是彼此獨立且具有均值為 0、方差為的正態(tài)隨機變量，試求：（1）；（2）的一維分布密度函數(shù)；（3）和。解：（1） 因為和是彼此獨立的正態(tài)隨機變量，和是彼此互不相關(guān)，所以又。 同理代入可得 （2）由=0； 又因為是高斯分布可得 (3) 令 。已知與是統(tǒng)計獨立的平穩(wěn)隨機過程，且它們的自相關(guān)函數(shù)分別為、。 解：因與是統(tǒng)計獨立，故 ，其中是寬平穩(wěn)隨機過程，且自相關(guān)函數(shù)為 是服從均勻分布的隨機變量，它與彼此統(tǒng)計獨立。（1） 證明是寬平穩(wěn)的；（2） 繪出自相關(guān)函數(shù)的波形； （3） 求功率譜密度及功率S 。解：（1）是寬平穩(wěn)的為常數(shù)；只與有關(guān)：令所以只與有關(guān)，證畢。（2）波形略；而的波形為 可以對求兩次導(dǎo)數(shù)，再利用付氏變換的性質(zhì)求出的付氏變換。功率S：，a為常數(shù)： 求和S；解：因為 所以 ，它的自相關(guān)函數(shù)是周期為 2 S 的周期函數(shù)。在區(qū)間（1，1）上，該自相關(guān)函數(shù)。試求的功率譜密度 。解：見第2. 4 題 因為 所以據(jù)付氏變換的性質(zhì)可得而故 0，功率譜密度為為的高斯白噪聲加到一個中心角頻率為、帶寬為B的理想帶通濾波器上，如圖（1） 求濾波器輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)； （2） 寫出輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)。解：（1）因為,故又由 付氏變換的性質(zhì) 可得（2）；；所以又因為輸出噪聲分布為高斯分布可得輸出噪聲分布函數(shù)為，求當(dāng)輸入均值為 0，功率譜密度為的白噪聲時，輸出過程的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)。解：(1) (2) 因為所以，功率譜密度為高斯白噪聲加到低通濾波器的輸入端， （1） 求輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)； （2） 求輸出噪聲的方差。 解： (1) (2) ；，它的每個脈沖的持續(xù)時為，脈沖幅度取的概率相等。現(xiàn)假設(shè)任一間隔內(nèi)波形取值與任何別的間隔內(nèi)取值統(tǒng)計無關(guān)，且過程具有寬平穩(wěn)性，試證：（1） 自相關(guān)函數(shù)（2） 功率譜密度。解：（1）①當(dāng)時，與無關(guān)，故=0②當(dāng)時，因脈沖幅度取的概率相等，所以在內(nèi)，該波形取1 1 1 1 1 的概率均為。（A） 波形取111 時，在圖示的一個間隔內(nèi)，（B） 波形取1 1 1 時，在圖示的一個間隔內(nèi)，當(dāng)時，故（2） ,其中為時域波形的面積。所以。、兩個輸出的線形過濾器，若輸入過程，是平穩(wěn)的，求與的互功率譜密度的表示式。（提示：互功率譜密度與互相關(guān)函數(shù)為付利葉變換對）解： 所以令，自相關(guān)函數(shù)為，試求它通過系統(tǒng)后的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度。解： 0，功率譜密度為的高斯白噪聲，試求輸出過程的一維概率密度函數(shù)。解： 。又因為輸出過程為高斯過程，所以其一維概率密度函數(shù)為第三章習(xí)題 設(shè)一個載波的表達式為，基帶調(diào)制信號的表達式為：m(t)=1+。試求出振幅調(diào)制時已調(diào)信號的頻譜，并畫出此頻譜圖。解： 由傅里葉變換得已調(diào)信號的頻譜如圖31所示。S(f)－600－500－4000 400500600 圖31 在上題中，已調(diào)信號的載波分量和各邊帶分量的振幅分別等于多少？解：由上題知，已調(diào)信號的載波分量的振幅為5/2，上、下邊帶的振幅均為5/4。 設(shè)一個頻率調(diào)制信號的載頻等于10kHZ，基帶調(diào)制信號是頻率為2 kHZ的單一正弦波，調(diào)制頻移等于5kHZ。試求其調(diào)制指數(shù)和已調(diào)信號帶寬。解：由題意，已知=2kHZ，=5kHZ，則調(diào)制指數(shù)為已調(diào)信號帶寬為 試證明：若用一基帶余弦波去調(diào)幅，則調(diào)幅信號的兩個邊帶的功率之和最大等于載波頻率的一半。證明：設(shè)基帶調(diào)制信號為，載波為c(t)=A，則經(jīng)調(diào)幅后，有已調(diào)信號的頻率 因為調(diào)制信號為余弦波，設(shè)，故則：載波頻率為 邊帶頻率為 因此。即調(diào)幅信號的兩個邊帶的功率之和最大等于載波頻率的一半。 試證明；若兩個時間函數(shù)為相乘關(guān)系，即z(t)=x(t)y(t)，其傅立葉變換為卷積關(guān)系：Z()=X()*Y()。證明：根據(jù)傅立葉變換關(guān)系，有 變換積分順序: 又因為 則 即