畢業(yè)論文泰勒展開式及其應(yīng)用偉(已修改)
2025-07-01 18:09 本頁面
【正文】 泰勒公式及其應(yīng)用摘 要 文章主要對泰勒公式在近似計算、求極限、證明不等式、外推、求曲線的漸近線方程和判斷級數(shù)收斂性，對函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)判斷、廣義積分?jǐn)可⑿灾械膽?yīng)用關(guān)于界的估計、和泰勒公式展開的唯一性問題做了簡單系統(tǒng)的介紹和分析，從而體現(xiàn)泰勒公式式在微分學(xué)中占有很重要的地位.關(guān)鍵詞 泰勒公式。 佩亞諾余項(xiàng)。 拉格朗日余項(xiàng)。 不等式。 根的唯一存在性。 極值。 近似計算.一．引言 近代微積分的蓬勃發(fā)展，促使幾乎所有的數(shù)學(xué)大師都致力于相關(guān)問題的研究，特別是泰勒，笛卡爾，費(fèi)馬，巴羅，對于一般函數(shù)，設(shè)它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù)，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個次多項(xiàng)式 稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式，若函數(shù)在點(diǎn)存在直至階導(dǎo)數(shù)，則有即稱為泰勒公式.我們都知道，泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容，它的理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限和估計誤差等方面不可缺少的數(shù)學(xué)工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓。在近似計算上有著獨(dú)特的優(yōu)勢，利用它可以將非線性問題化為線性問題，并能滿足很高的精確度要求，在微積分的各個方面都有重要的應(yīng)用. 泰勒公式在分析和研究數(shù)學(xué)問題中有著重要作用,它可以應(yīng)用于求極限、判斷函數(shù)極值、求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值、判斷廣義積分收斂性、近似計算、不等式證明等方面. 這篇主要在于探索泰勒公式及其應(yīng)用的新方法，借助泰勒公式的廣泛應(yīng)用，將泰勒公式的知識應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題的各個方面和領(lǐng)域中去，得出泰勒公式在數(shù)學(xué)各方面的應(yīng)用和解求方法的簡便性.二．預(yù)備知識 若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù),則有 （1）其中 上述公式稱為在點(diǎn)處帶有佩亞諾余項(xiàng)的的泰勒公式.當(dāng)=0時,（1）式變成,稱此式為(帶有佩亞諾余項(xiàng)的)麥克勞林公式. 若函數(shù) 在某鄰域內(nèi)為存在直至 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則, （2）這里為拉格朗日余項(xiàng),其中在與之間,稱（2）為在的泰勒公式.當(dāng)=0時,（2）式變成稱此式為(帶有拉格朗日余項(xiàng)的)麥克勞林公式.常見函數(shù)的展開式：....，(介值定理) 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),且 ,若為介于 與之間的任何實(shí)數(shù),則至少存在一點(diǎn),使得.泰勒公式的意義是，易于計算等優(yōu)點(diǎn).泰勒公式由的次泰勒多項(xiàng)式和余項(xiàng)組成，我們來詳細(xì)討論它們.當(dāng)=1時，有 ，是的曲線在點(diǎn)處的切線（方程），稱為曲線在點(diǎn)的一次密切，顯然，切線與曲線的差異是較大的，只是曲線的近似.當(dāng)=2時，有，是曲線在點(diǎn)的“二次切線”，，接近程度越來越密切，近似程度也越來越高.泰勒公式的余項(xiàng)分為兩類，一類佩亞諾型余項(xiàng)，一類是拉格朗日型余項(xiàng)，它們的本質(zhì)相同，但性質(zhì)各異.佩亞諾型余項(xiàng)是定性的余項(xiàng)，僅表示余項(xiàng)是比（當(dāng)時），表示當(dāng)時，用近似，誤差（余項(xiàng)）是比高階的無窮小.拉格朗日型余項(xiàng)是定量的余項(xiàng)（也可以寫成）.定量的余項(xiàng)一般用于函數(shù)值的計算與函數(shù)形態(tài)的研究.三．泰勒公式的應(yīng)用 .利用泰勒公式求極限簡化極限運(yùn)算,就可用某項(xiàng)的泰勒展開式來代替該項(xiàng),使得原來函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式有理式的極限.例1. 求極限 . 分析 ： 此為型極限,若用羅比達(dá)法求解，則很麻煩,這時可將和, 分別用泰勒展開式代替,則可簡化此比式.解： 由,=于是，3. 2 利用泰勒公式證明不等式當(dāng)所要證明的不等式是含有多項(xiàng)式和初等函數(shù)的混合物,不妨作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式代替,往往使證明方便簡捷. 例1. 當(dāng)時,證明.證明 取,則帶入泰勒公式,其中=3,得，其中.故當(dāng)時,.例2. 設(shè)在二次可導(dǎo)，而且，試求存在，使.證： 由于在的最小值不等于在區(qū)間端點(diǎn)的值，故在內(nèi)存在，使，由費(fèi)馬定理知，.又 ，（介于與之間）由于，不令和，有，所以，當(dāng)時，而當(dāng)時，可見與中必有一個大于或等于8. 利用泰勒公式判斷廣義積分的斂散性當(dāng)級數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的繁難形式時,就可以利用泰勒公式將級數(shù)通項(xiàng)簡化成統(tǒng)一形式, 通常選取廣義積分進(jìn)行比較, 在此通過研究無窮小量的階來有效地選中的值，從而簡單地判定的斂散性（注意到：如果得收斂，則得收斂）.例 1. 研究廣義積分的斂散性. 解 ： ， 因此，即是的階，而收斂，故收斂，從而.例2． 討論級數(shù)的斂散性.注意到,若將其泰勒展開為的冪的形式,開二次方后恰與相呼應(yīng),會使判斂易進(jìn)行.解： 因?yàn)?所以,所以，故該級數(shù)是正項(xiàng)級數(shù).又因?yàn)?所以.因?yàn)槭諗?所以由正項(xiàng)級數(shù)比較判別法知原級數(shù)收斂. 利用泰勒公式判斷函數(shù)的凸凹性及拐點(diǎn)例 1. 設(shè)內(nèi)是凹向的. ：， 可得所以 可得
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