【正文】 儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）： 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2010 年 9 月 13 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2008高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定摘要本文是與儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。問(wèn)題一中，我們運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中的微元的思想，分別建立了儲(chǔ)油罐在變前位、變位后的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其求解，得出變位前與變位后，在相同油高下，間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值（詳見(jiàn)39頁(yè)）。油體高度變位后的體積變位前的體積12………109110通過(guò)對(duì)變位前、變位后標(biāo)定值的對(duì)比，在時(shí)得出傾斜對(duì)罐容表的影響為：傾斜之后的油罐，油體體積的標(biāo)定值在任意高度下都要比傾斜之前標(biāo)定體積要小。當(dāng)儲(chǔ)油罐內(nèi)裝油過(guò)多或過(guò)少時(shí)，傾斜對(duì)油體體積的標(biāo)定值影響較小；當(dāng)儲(chǔ)油罐內(nèi)油面深度接近罐體中線時(shí)影響最大。問(wèn)題二中，儲(chǔ)油罐發(fā)生縱向變位的同時(shí)還發(fā)生橫向變位。通過(guò)幾何分析找出傾角、偏角與油體高度間的函數(shù)關(guān)系。按照問(wèn)題一中的分析方式，利用微元法得到體積與深度、縱向傾角和橫向偏角的關(guān)系式，但方程比較復(fù)雜，不能夠得到解析解。因此我們采用近似算法，找出相鄰油層間的體積，利用最優(yōu)化理論得到、的最優(yōu)解，再將代入上述關(guān)系式中求解，即得到罐體變位后油位高度間隔為的罐容表標(biāo)定值。(詳見(jiàn)41頁(yè))高度標(biāo)定值高度標(biāo)定值40…26050…27060…280我們用和高度算出體積，計(jì)算出理論出油體積，與實(shí)際出油體積作對(duì)比，%左右，證明我們模型的準(zhǔn)確性較高。最后，我們用蒙特卡洛法對(duì)模型中的高度進(jìn)行擾動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)對(duì)高度添加一個(gè)服從正態(tài)分布隨機(jī)擾動(dòng)值時(shí)產(chǎn)生的相對(duì)誤差與的值產(chǎn)生的相對(duì)誤差在一個(gè)數(shù)量級(jí)。從而證明了我們所建立的模型具有較好穩(wěn)定性。一、問(wèn)題重述（略）二、問(wèn)題分析加油站的地下儲(chǔ)油罐通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高和儲(chǔ)油量的變化情況。罐體發(fā)生變位后會(huì)發(fā)生縱向傾角和橫向偏角，影響油浮子的位置，致使讀出的油位高度與實(shí)際高度不符，從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。通過(guò)對(duì)附表1數(shù)據(jù)的分析，可以看出進(jìn)油曲線和出油曲線完全重合，即沒(méi)有漏油存在，且流量計(jì)讀數(shù)完全正確。我們不考慮溫度、壓力及不計(jì)浮盤(pán)上下浮動(dòng)對(duì)罐內(nèi)油量體積的影響，但要考慮到油罐內(nèi)有注油管道和出油管道（未達(dá)油罐底部）以及油位探測(cè)管道（焊接至油罐底部），會(huì)占一部分體積。考慮到在實(shí)際情況中，壓力及溫度對(duì)油罐變形的影響，為確保安全儲(chǔ)油罐不可能完全裝滿，也不可能在油量很少的情況下供油，且儲(chǔ)油罐的變位不可能很大，縱向傾角和橫向偏角都在小范圍內(nèi)。簡(jiǎn)化的儲(chǔ)油罐如下圖，我們只考慮在油量在陰影部位的情況。 簡(jiǎn)化的儲(chǔ)油罐：我們首先找出油罐傾斜前、傾斜后體積與傾角，高度間的函數(shù)關(guān)系，然后通過(guò)互相對(duì)比得出傾角對(duì)罐容表的影響程度。未傾斜的油罐：如圖：對(duì)于橫截面為橢圓形的儲(chǔ)油罐，封閉的罐體內(nèi)油面為水平面，在統(tǒng)一的坐標(biāo)系下，油罐內(nèi)處處油體深度相等，且處處橫截面面積相等。只需計(jì)算出任一截面面積，并對(duì)其長(zhǎng)度方向積分即可求出體積。通過(guò)得到的體積與高度間的關(guān)系式，即可得到任意高度時(shí)儲(chǔ)油罐中的理論儲(chǔ)油量。但實(shí)際中儲(chǔ)油罐內(nèi)含有輸油、進(jìn)油管道等其他影響油體體積的因素。其標(biāo)定值可能不等于理論值。我們通過(guò)修正得到它們之間的差值，從而找到正確的標(biāo)定值。傾斜的油罐：罐體縱向傾斜時(shí)，油深不再是處處相等，各截面面積也此時(shí)傾角、油體高度對(duì)體積都有影響。我們打算通過(guò)微元法建立他們的函數(shù)關(guān)系，對(duì)其進(jìn)行積分求解。同樣找出修正值，從而得出油罐傾斜時(shí)的正確標(biāo)定值。：附件2中給出的數(shù)據(jù)是在傾角和偏角同時(shí)影響下的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)。同時(shí)考慮傾角和偏角對(duì)罐容表標(biāo)定的影響，為了簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)建模的求解，我們分為兩步求解，為此我們首先考慮橫向偏轉(zhuǎn)的情況，找出偏轉(zhuǎn)之后油體的實(shí)際高度與讀數(shù)高度、偏轉(zhuǎn)角之間的函數(shù)關(guān)系。將讀數(shù)高度用偏轉(zhuǎn)角和油體實(shí)際高度的函數(shù)表達(dá)，即建立：這樣既可將偏轉(zhuǎn)后實(shí)際油體高度轉(zhuǎn)為讀數(shù)高度，再考慮縱向變位時(shí)，就可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題一的情況。從而得到的關(guān)系式。但問(wèn)題二中的儲(chǔ)油罐的主體是圓柱體，兩端為球冠體。這就使得建立積分方程比較復(fù)雜，無(wú)法得出解析解。我們采用兩種方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。1. 對(duì)積分方程進(jìn)行數(shù)值解；2. 采用近似法求得兩油層間體積的近似解，步驟如下：1）首先找出液面所在的截面面積與高度、變位角度之間的函數(shù)關(guān)系；2）取上下兩層距離為的兩油層，相鄰高度的體積可以用一個(gè)近似柱體來(lái)代替，其計(jì)算公式為：表示上層油面面積，表示下層油面面積，表示兩油層間的間距 3）由題中所給數(shù)據(jù)，得到相鄰高度間的采集出油量，用最小二乘法思想建立優(yōu)化模型，可得到的估計(jì)值。把高度h、代入積分函數(shù)，便可以算出任意高度體積。從而給出油位高度間隔為的罐容表標(biāo)定值。相比之下，第二種方法比第一種方法更易編程實(shí)現(xiàn)，因此我們采用第二種方式進(jìn)行建模。三、模型假設(shè)流量計(jì)所測(cè)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確；儲(chǔ)油罐為剛體，即油罐不會(huì)變形忽略因溫度變化而對(duì)油體容積的影響；不計(jì)油品的靜壓力作用而引起得油體的膨脹和收縮的容積；油浮子與標(biāo)尺為點(diǎn)接觸，不會(huì)因?yàn)橛透∽佑绊懹腕w體積；罐體發(fā)生變位時(shí)縱向傾角的取值范圍為，橫向偏角的取值范圍為四、符號(hào)說(shuō)明出油罐內(nèi)油體的讀數(shù)高度油體的實(shí)際高度橢圓的長(zhǎng)半軸橢圓的短半軸儲(chǔ)油罐的長(zhǎng)度按照讀數(shù)高度得出的油罐內(nèi)油體體積縱向傾角橫向偏角橢圓橫截面面積兩相鄰為的油層間的體積上層油面面積下層油面面積兩油層間的間距真實(shí)體積部分變量在使用時(shí)說(shuō)明 五、模型的建立與求解（一）微分方程模型根據(jù)對(duì)前面對(duì)問(wèn)題一的分析，首先建立了未變位時(shí)，儲(chǔ)油罐內(nèi)油量與油位高度的數(shù)學(xué)程模型[1]。，設(shè)油罐內(nèi)液面高度為，為恒定值；橢圓的長(zhǎng)半軸為,短半軸為，xyh簡(jiǎn)化小橢圓儲(chǔ)油罐AAA－A橢圓軌跡方程為： ()對(duì)半弓橫截面（陰影部分）進(jìn)行積分得出面積： ()由（1）式得出為： ()將(3)式代入（2）式得： ()積分后可得： ()面積再乘以長(zhǎng)度即為體積： ()其中，半弓橢圓橫截面面積，表示油罐長(zhǎng)度，表示油罐內(nèi)油體體積。代入已知值以及變值，用求解得出結(jié)果部分見(jiàn)表1，詳見(jiàn)附錄1。累加進(jìn)油量/L實(shí)際累加體積/L油位高度/mm油高/m計(jì)算體積/m3實(shí)際體積/m3差值50312100362…………………3657391937073969　　　　　　　累加出油量/L實(shí)際累加體積/L油位高度/mm油高/m計(jì)算體積/ m3實(shí)際體積/ m3差值39163866…………………36533703表1注：實(shí)際累加體積是在罐內(nèi)油量初值的基礎(chǔ)上累次加上每次進(jìn)油量得出，計(jì)算體積是按照上述函數(shù)式（5）代值求解的。不考慮其他任何影響因素的情況下，油深應(yīng)該與高度的關(guān)系為（6）式所得積分值。則計(jì)算體積應(yīng)該與實(shí)際體積相等，沒(méi)有差值產(chǎn)生。但由結(jié)果可見(jiàn)計(jì)算體積與實(shí)際體積之間有差值。對(duì)題中所給附件1中數(shù)據(jù)分析可知，儲(chǔ)油罐在13:20以前一直不間斷進(jìn)油，儲(chǔ)存油量到達(dá)最高值，之后一直出油，油量減到最低值。差值按照先增后減的趨勢(shì)排列。我們考慮差值與油深間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用擬合函數(shù)找出它們間的關(guān)系式： （）并求出相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)越接近1，說(shuō)明線性關(guān)系很強(qiáng)。將計(jì)算值減去差值得出正確值，該值與真實(shí)值十分貼近。這也驗(yàn)證了我們前面的分析，即不可忽視油罐內(nèi)的注油管道和出油管道（未達(dá)油罐底部）以及油位探測(cè)管道（焊接至油罐底部）占去的體積。 出油量和進(jìn)油量誤差排序后的擬合曲線算出的油體體積與真實(shí)值不符，它們之間有一個(gè)差值即真實(shí)體積=計(jì)算體積差值，聯(lián)系（6）（7）式：根據(jù)此式可計(jì)算出未變位時(shí)，油位高度間隔為的罐容表標(biāo)定值（見(jiàn)表2詳見(jiàn)附錄4）：h（m）V/m3v（L升）………表2 未傾斜時(shí)罐容表標(biāo)定值 油罐發(fā)生縱向變位時(shí)的模型： 。設(shè)通過(guò)油位計(jì)讀出的油深為；某一微小截面處油深為，值不恒定，隨著油深改變；已知橢圓的長(zhǎng)半軸為；短半軸為；油罐逆時(shí)針變位縱向傾角。，同時(shí)用與底面平行的平面與液體面相截，得到圖中陰影部分微元面積元的體積： ()由上述（5）中推出的弓形面積共識(shí)式可知： (),之間的幾何關(guān)系見(jiàn)下圖