【正文】 收音機和導(dǎo)彈的結(jié)構(gòu)設(shè)計第一章 緒論有限元發(fā)展過程：有限元法在西方起源于收音機和導(dǎo)彈的結(jié)構(gòu)設(shè)計，于1954—1955年間分階段在《Aircraft Engineering》上發(fā)表上許多有關(guān)這方面的論文，并在此基礎(chǔ)上寫成了《能量原理與結(jié)構(gòu)分析》，此書內(nèi)容提供了有限元法的理論基礎(chǔ)。、 、 《復(fù)雜結(jié)構(gòu)的剛度和撓度分析》一文，此文提出了計算復(fù)雜結(jié)構(gòu)剛度影響系數(shù)的方法，并說明了如何利用計算機進行分析。美國于1960年在一篇介紹平面應(yīng)力分析的論文中，首先提出了有限元的名字。1965年英國及其合作者解決了將有限元法應(yīng)用于所有場的問題，使有限元法的應(yīng)用更加廣泛。非線性有限元線性有限元幾何非線性材料非線性有限元有限元法的基本思路：有限元法的基本思路和基本原理以結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法為基礎(chǔ)，把復(fù)雜的結(jié)構(gòu)或連續(xù)體看成為有限個單元的組合，各單元彼此在節(jié)點處連續(xù)而組成整體，把連續(xù)體分成有限個單元和節(jié)點，稱之為離散化，先對單元進行特性分析，然后根據(jù)各單元在節(jié)點處的平衡協(xié)調(diào)條件建立方程，綜合后作整體分析。這樣一分一合，先離散再綜合的過程，就把復(fù)雜結(jié)構(gòu)或連續(xù)體的計算問題轉(zhuǎn)化為簡單單元的分析與綜合問題。有限元分析中可采取三種方法：位移法——取節(jié)點位移作為基本未知數(shù)力 法——取節(jié)點力作為基本未知數(shù)混合法——有限元法分析過程：結(jié)構(gòu)離散化（單元劃分）選擇位移模式為了能用節(jié)點位移表示單元體的位移、應(yīng)變和應(yīng)力，在分析連續(xù)體時，必須對單元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐標(biāo)的某種簡單函數(shù)，這種函數(shù)稱為位移模式或位移函數(shù)（形函數(shù)）。 (1)分析單元的力學(xué)特性（1）利用幾何方程：由位移表達式導(dǎo)出用點位移表示單元應(yīng)變的關(guān)系式 為單元內(nèi)任一點的應(yīng)變列陣 (2)（2）利用物理方程，由應(yīng)變的表達式導(dǎo)出用節(jié)點位移表示單元應(yīng)力的關(guān)系式 (3)是單元內(nèi)任一點的應(yīng)力列陣 是材料的彈性矩陣（3）利用虛功原理建立作用于單元上的節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關(guān)系式，即單元的剛度方程（平衡方程）計算等效節(jié)點力彈性體經(jīng)過離散化后，假定力是通過節(jié)點從一個單元傳遞到另一個單元，但是作為實際的連續(xù)體，力是從單元的公共邊界傳遞到另一個單元的，因而，這種作用在單元邊界上的表面力、體積力、集中力等都需要等效移置到節(jié)點上去，所用方法虛功等效。組裝總剛度陣，建立結(jié)構(gòu)的平衡方程有兩方面內(nèi)容：①組裝總剛 ②組裝總的載荷列陣得到：求解結(jié)點的位移和計算單元應(yīng)力第二章 有限元法的理論基礎(chǔ)—加權(quán)余量法和變分原理本章要點● 微分方程的等效積分形式及其“弱”形式的實質(zhì)和構(gòu)造方法，任意函數(shù)和場函數(shù)應(yīng)滿足的條件?！? 不同形式的加權(quán)余量法中權(quán)函數(shù)的形式和近似解的求解步驟，以及伽遼金（Galerkin）方法的特點?！? 線性自伴隨微分方程變分原理的構(gòu)造方法和泛函數(shù)的性質(zhì)，以及自然邊界條件和強制邊界條件的區(qū)別?！? 經(jīng)典里茲（Ritz）方法的求解步驟、收斂性及其局限性?！? 兩種形式的虛功原理（虛位移原理和虛應(yīng)力原理）的實質(zhì)和構(gòu)造方法?！? 從虛功原理導(dǎo)出最小位能原理和最小余能原理的途徑和各自的性質(zhì)，以及場函數(shù)事先應(yīng)滿足的條件。 引言 在工程和科技領(lǐng)域內(nèi)，對于許多力學(xué)問題和物理問題，人們可以給出它們的數(shù)學(xué)模型，即應(yīng)遵循的基本方程（常微分方程和偏微分方程）和相應(yīng)的定解條件。但能用解析的方法求出精確解的只是少數(shù)方程性質(zhì)比較簡單，且?guī)缀涡螤钕喈?dāng)規(guī)則的情況。對于大多數(shù)問題，由于方程的非線性性質(zhì)，或由于求解域的幾何形狀比較復(fù)雜，則只能采用數(shù)值方法求解。20世紀60年代以來，隨著電子計算機的出現(xiàn)，特別是最近20年來軟、硬件技術(shù)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，數(shù)值分析方法已成為求解科學(xué)技術(shù)問題功能強大的有力工具。已經(jīng)發(fā)展的偏微分方程數(shù)值分析方法可以分為兩大類。一類是以有限差分法為代表，其特點是直接求解基本方程和相應(yīng)定解條件的近似解。一個問題的有限差分法的求解步驟歸納為：首先將求解域劃分為網(wǎng)格，然后在網(wǎng)格的節(jié)點上用差分方程來近似微分方程。當(dāng)采用較密的網(wǎng)格，即較多的節(jié)點時，近似解的精度可以得到改進，借助于有限差分法，能夠求解相當(dāng)復(fù)雜的問題，特別是求解方程建立于固結(jié)在空間坐標(biāo)（歐拉（Euler）坐標(biāo)系）的流體力學(xué)問題，有限差分法有自身的優(yōu)勢。因此在流體力學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，至今仍占支配地位。但是對于固體力學(xué)的問題，由于方程通常建立于固結(jié)在物體上的坐標(biāo)系（拉格朗日（Lagrange）坐標(biāo)系）和形狀復(fù)雜，則采用另一種數(shù)值分析方法——有限元法則更為適合。從方法的建立途徑方面考慮，它區(qū)別于有限差分法，即不是直接從問題的微分方程和相應(yīng)的定解條件出發(fā)，而是從其等效的積分形式出發(fā)。等效積分的一般形式是加權(quán)余量法，它適用于普遍的方程形式。利用加權(quán)余量法的原理，可以建立多種近似解法，例如配點法、最小二乘法、伽遼金法、力矩法等都屬于這一類數(shù)值分析方法。如果原問題的方程具有某些特定的性質(zhì)，則它的等效積分形式的伽遼金法可以歸結(jié)為某個泛函數(shù)的變分。相應(yīng)的近似解法實際上是求解泛函的駐值問題。里茲法就屬于這一類求解法。有限元法區(qū)別于傳統(tǒng)的加權(quán)余量法和求解泛函駐值的變分法，該法不是在整個求解域上假設(shè)近似函數(shù)，而是在各個單元上分片假設(shè)近似函數(shù)。這樣就克服了在全域上假設(shè)近似函數(shù)所遇到的困難，是近代工程數(shù)值分析方法領(lǐng)域的重大突破。，以及建立于它們基礎(chǔ)上的數(shù)值計算方法?！钚∥荒茉砗妥钚∮嗔吭?。 微分方程的等效積分形式和加權(quán)余量法 微分方程的等效積分形式工程或物理學(xué)中的許多問題，通常是以未知場函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程和邊界條件的形式提出來的，可以一般地表示未知函數(shù)u應(yīng)滿足的微分方程組 （在內(nèi)） （）域可以是體積域、面積域等。同時未知函數(shù)u還應(yīng)滿足邊界條件 （在內(nèi)） （）是域的邊界。要求解的未知函數(shù)u可以是標(biāo)量場（例如溫度），也可以是幾個變量組成的向量場（例如位移、應(yīng)變、應(yīng)力等）。A，B是表示對于獨立變量（例如空間坐標(biāo)、時間坐標(biāo)等）的微分算子。微分方程數(shù)應(yīng)和未知場函數(shù)的數(shù)目相對應(yīng)，因此，上述微分方程可以是單個方程，也可以是一組方程。所以在式（）和式（）中采用了矩陣形式。下面給出一個典型的微分方程，以后好要尋求它的解答。 域和邊界 二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程 （在內(nèi)） () （）這里表示溫度；k表示熱傳導(dǎo)系數(shù)；和分別是邊界和上溫度和熱流的給定值；n是有關(guān)邊界的外法線方向；Q是熱源密度。在上述問題中，若k和Q只是空間位置的函數(shù)時，問題是線性的。若k和Q亦是及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)時，問題就是非線性的了。由于微分方程組（）在域中的每一個點都必須為零，因此就有 （）其中 ()是函數(shù)向量，它是一組和微分方程個數(shù)相等的任意函數(shù)。（）式是域微分方程組（）完全等效的積分形式。可以斷言，若積分方程（）對于任意的都能成立，則微分方程()必然在域內(nèi)任一點都得到滿足。這個結(jié)論的證明是顯然的，假如微分方程A(u)在域內(nèi)某些點或一部分子域中不滿足，即出現(xiàn)A(u)0，馬上可以找到適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使積分方程（）亦不等于零。因此上述結(jié)論得到證明。同理，假如邊界條件（）亦同時在邊界上每一個點都得到滿足，則對于一組任意函數(shù)，下式應(yīng)當(dāng)成立。 ()因此，積分形式 ()對于所有的和都成立是等效于滿足微分方程（）和邊界條件（）。我們將（）式稱為微分方程的等效積分形式。在上述討論中，隱含地假定（）式的積分是能夠進行計算的。這就對函數(shù)、 和u能夠選取的函數(shù)族提出一定的要求和限制，以避免積分中任何項出現(xiàn)無窮大的情況。在（）式中，和只是以函數(shù)自身的形式出現(xiàn)在積分中，因此對和的選擇只需是單值的，并分別在內(nèi)和上可積的函數(shù)即可。這種限制并不影響上述“微分方程的等效積分形式”提法的有效性。u在積分中還將以導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的形式出現(xiàn)，它的選擇將取決于微分算子A或B中微分運算最高階次。例如有一個連續(xù)函數(shù)。 具有連續(xù)性的函數(shù)設(shè)想在很小的一個區(qū)間中用一個連續(xù)變化來代替這個不連續(xù)。可以很容易看出，在不連續(xù)帶你附近，函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是不定的，但是一階導(dǎo)數(shù)是可積的，即一階導(dǎo)數(shù)的積分是存在的。而在不連續(xù)的點附近，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)趨于無窮，使積分不能進行。如果微分算子A中僅出現(xiàn)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)(邊界條件算子B中導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)總是低于微分方程的算子A中導(dǎo)數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù))，上述函數(shù)對于u將是一個合適的選擇。一個函數(shù)在域內(nèi)基本連續(xù)，它的一階導(dǎo)數(shù)具有有限個不連續(xù)點但在域內(nèi)可積，這樣的函數(shù)稱之為具有連續(xù)性的函數(shù)。可以類推地看到，如果在微分算子A出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)是n階，則要求函數(shù)u必須具有連續(xù)的n1階導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)應(yīng)具有連續(xù)性。一個函數(shù)在域內(nèi)，函數(shù)本身（即它的零階導(dǎo)數(shù)）直至它的n1階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，它的第n階導(dǎo)數(shù)具有有限個不連續(xù)點，但在域內(nèi)可積，這樣的函數(shù)稱之為具有連續(xù)性函數(shù)。具有連續(xù)性的函數(shù)將使包含函數(shù)直至它的n階導(dǎo)數(shù)的積分成為可積。 等效積分的“弱”形式在很多情況下可以對（）式進行分部積分得到另一種形式 （）其中C，D，E，F(xiàn)是微分算子，它們中所包含的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)較（）式的A低，這樣對函數(shù)u只需要求較低的連續(xù)就可以了。在（）式中降低u的連續(xù)性要求是以提高及的連續(xù)性要求為代價的，在式（）式中并無連續(xù)性要求。但是適當(dāng)提高對其連續(xù)性的要求并不困難，因為它們是可以選擇的已知函數(shù)。這種通過適當(dāng)提高對任意函數(shù)和的連續(xù)性要求，以降低對微分方程場函數(shù)u的連續(xù)性要求所建立的等效積分形式稱為微分方程的等效積分“弱”形式。它在近似計算中，尤其是在有限單元法中是十分重要的。值得指出的是，從形式上看“弱”形式對函數(shù)u的連續(xù)性要求降低了，但對實際的物理問題卻常常較原始的微分方程更逼近真正解，因為原始微分方程往往對求解提出了過分“平滑”的要求。 ，寫出它們的等效積分形式和等效積分“弱”形式。（）和邊界條件（）式，可以直接寫出相當(dāng)于（）式的等效積分形式為 （）其中和是任意的標(biāo)量函數(shù)，并假設(shè)上的邊界條件 在選擇函數(shù)時已事先滿足，這種邊界條件稱為強制邊界條件。對（）式進行分部積分可以得到相當(dāng)于（）式 的等效積分“弱”形式。利用格林公式對（）式中的第一個積分的前兩項進行分部積分，即[設(shè)，是的兩個函數(shù)，高斯定理有若令： 則得：移項后得到這個公式可當(dāng)作二重積分的分步積分公式] （）于是（）式成為 （）式中的為邊界外法線的方向余弦。在邊界上場函數(shù)的法向?qū)?shù)是 （）并且對于任意函數(shù)和，可以不失一般的假定在上 （）這樣，（）式可以表示為： （） 其中算子是 （）式就是二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題與微分方程（）和邊界條件（）相等效的積分“弱”形式。在式中k以自身出現(xiàn)，而場函數(shù)（溫度）則以一階導(dǎo)數(shù)形式出現(xiàn)，因此在它允許在域內(nèi)熱傳導(dǎo)系數(shù)k以及溫度的一階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)不連續(xù)，而這種實際可能性在微分方程中是不允許的。對（）式，還應(yīng)指出以下兩點。（1）場變量不出現(xiàn)在沿的邊界積分中。邊界上的邊界條件在的邊界上自動得到滿足。這種邊界條件稱為自然邊界條件。（2）若在選擇場函數(shù)時，已滿足強制邊界條件，即在的邊界上滿足，則可以通過適當(dāng)選擇，使在的邊界上而略去（）式中沿的邊界積分項，使相應(yīng)的積分“弱”形式取得更簡潔的表達式。 基于等效積分形式的近似方法——加權(quán)余量法在求解域中，若場函數(shù)u是精確解，則在域中任意一點都滿足微分方程（）式，同時在邊界上任一點都滿足邊界條件（）式，此時等效積分形式（）式或其弱形式（）式必然嚴格的得到滿足。但是對于復(fù)雜的實際問題，這樣的精確解往往是很難找到的，因此人們需要設(shè)法找到具有一定精度的近似解。對于微分方程（）式和邊界條件（）式所表達的物理問題，假設(shè)未知場函數(shù)u可以采用近似函數(shù)來表示。近似函數(shù)是一族帶有待定參數(shù)的已知函數(shù)，一般形式是 （）其中是待定參數(shù)；是稱之為試探函數(shù)（或基函數(shù)、形式函數(shù)）的已知函數(shù)，它取自完全的函數(shù)序列，是線性獨立的。所謂完全的函數(shù)系列是指任意函數(shù)都可以用次序列表示。近似解通常選擇使之滿足強制邊界條件和連續(xù)性的要求。例如當(dāng)未知函數(shù)u是三維力學(xué)問題的位移時，可以取近似解則有其中，是待定參數(shù)，共個；是函數(shù)矩陣；是單位矩陣，是坐標(biāo)的獨立函數(shù)。 顯然，在通常n取有限項數(shù)的情況下近似解是不能精確滿足微分方程（）式和全部邊界條件()式的，它們將產(chǎn)生殘差和，即 （）殘差和亦稱余量。在式（)式中用n個規(guī)定的函數(shù)向量來代替任意函數(shù)和，即； （）就可以得到近似的等效積分形式 （）亦可以寫成余量形式 （）()式或（）式的意義是通過選擇待定系數(shù)，強迫余量在某種平均意義上等于零。和稱為權(quán)函數(shù)。余量的加權(quán)積分為零，就得到一組求解方程，用以求解近似解的待定系數(shù)，從而得到原問題的近似解答。求方程（）的展開形式是其中若微分方程組A的個數(shù)為，邊界B的個數(shù)為，則權(quán)函數(shù)是階的函數(shù)列陣，是階的函數(shù)列陣。近似函數(shù)所取試探函數(shù)的項數(shù)n越多，近似解的精度將越高。當(dāng)項數(shù)n趨近于無窮大時，近似解將收斂于精確解。對應(yīng)于等效積分“弱”形式（）式，同樣可以得到它的近似形式為（