高中數(shù)學(xué)不等式解題漫談(已修改)
2025-06-19 23:55 本頁(yè)面
【正文】 大家網(wǎng) 11 / 12高中數(shù)學(xué)不等式解題漫談一、活用倒數(shù)法則 巧作不等變換——不等式的性質(zhì)和應(yīng)用不等式的性質(zhì)和運(yùn)算法則有許多,如對(duì)稱(chēng)性,傳遞性,尤其是不等變換有很大的優(yōu)越性.倒數(shù)法則：若ab0,則ab與等價(jià)。此法則在證明或解不等式中有著十分重要的作用。如：（1998年高考題改編）解不等式loga(1)1.分析：當(dāng)a1時(shí)，原不等式等價(jià)于：1a,即 1a ,∵a1,∴1a0, 0,從而1a, 同號(hào)，由倒數(shù)法則，得x。 當(dāng)0a1時(shí)，原不等式等價(jià)于 01 a,∴1a1, ∵0a1，∴ 1a0, 0, 從而1a, 同號(hào)，由倒數(shù)法則，得1x。綜上所述，當(dāng)a1時(shí),x∈(,+∞)；當(dāng)0a1時(shí)，x∈(1,).注：有關(guān)不等式性質(zhì)的試題，常以選擇題居多，通常采用特例法,排除法比較有效。二、小小等號(hào)也有大作為——絕對(duì)值不等式的應(yīng)用絕對(duì)值不等式：||a||b||≤|a177。b|≤|a|+|b|。這里a,b既可以表示向量，也可以表示實(shí)數(shù)。當(dāng)a,b表示向量時(shí)，不等式等號(hào)成立的條件是：向量a與b共線(xiàn)；當(dāng)a,b表示實(shí)數(shù)時(shí)，有兩種情形：（1）當(dāng)ab≥0時(shí)，|a+b|=|a|+|b|, |ab|=||a||b||。(2)當(dāng)ab≤0時(shí)，|a+b|=||a||b||, |ab|=|a|+|b|.簡(jiǎn)單地說(shuō)就是當(dāng)a,b同號(hào)或異號(hào)時(shí)，不等式就可轉(zhuǎn)化為等式（部分地轉(zhuǎn)化），這為解決有關(guān)問(wèn)題提供了十分有效的解題工具。如：若1,則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A、logablogba B、| logab+logba|2 C、(logba)21 D、|logab|+|logba||logab+logba|分析：由已知，得0ba1,∴a,b同號(hào)，故|logab|+|logba|=|logab+logba|，∴D錯(cuò)。[答案] D注：絕對(duì)值不等式是一個(gè)十分重要的不等式，其本身的應(yīng)用價(jià)值很廣泛，但在高考或其他試題中常設(shè)計(jì)成在等號(hào)成立時(shí)的特殊情況下的討論，因此利用等號(hào)成立的條件（a,b同號(hào)或異號(hào)）是解決這一類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)巧解。三、“抓兩頭 看中間”，巧解“雙或不等式”——不等式的解法（1）解不等式（組）的本質(zhì)就是對(duì)不等式（組）作同解變形、等價(jià)變換。（2）多個(gè)不等式組成的不等式組解集的合成——先同向再異向不等式組的解法最關(guān)鍵的是最后對(duì)幾個(gè)不等式交集的確定。常用畫(huà)數(shù)軸的方法來(lái)確定,?下面的方法就十分有效?？梢浴跋韧蛟佼愊颉钡脑瓌t來(lái)確定，即先將同向不等式“合并”（求交集），此時(shí)“小于小的，大于大的”；最后余下的兩個(gè)異向不等式，要么為空集，要么為兩者之間。如解不等式組:,先由③④(同)得x0(大于大的)。再由①②(同)得x1(小于小的)。再將x0與x1分別與⑤作交集,由x0與⑤得0x2。由x1與⑤得1x(0,1).（3）雙或不等式組的解集合成 形如的不等式組稱(chēng)為“雙或”型不等式組（實(shí)際上包括多個(gè)“或”型不等式組成的不等式組也在此列），這是解不等式組中的一個(gè)難點(diǎn)。解決這類(lèi)不等式組時(shí)常借用數(shù)軸來(lái)確定，但學(xué)生在求解時(shí)總會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。這里介紹一種不通過(guò)數(shù)軸的直接方法：“抓兩頭 看中間”！如：,先比較a,b,c,d四個(gè)數(shù)的大小，如abcd,則其解集中必含有xa或xd（即抓兩頭）；再看xb與xc的交集，若有公共部分，則bxc。若無(wú)公共部分，則此時(shí)為空集（看中間），最后將“抓兩頭”和“看中間”的結(jié)果作并集即為所求的解集。四、巧用均值不等式的變形式解證不等式均值不等式是指：a2+b2≥2ab(a,b∈R) ①；a+b≥2( a,b∈R+) ②.均值不等式是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，但其基本公式只有兩個(gè)，在實(shí)際解題時(shí)不是很方便。若能對(duì)均值不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，那么在解題時(shí)就能達(dá)到事半功倍的效果。下面的一些變形式在解題時(shí)就很有用，不妨一試。當(dāng)然你也可以根據(jù)需要推導(dǎo)一些公式。如：(1) a2≥2abb2 ③。 是將含一個(gè)變量的式子，通過(guò)縮小變?yōu)楹瑑蓚€(gè)變量的式子，體現(xiàn)增元之功效，當(dāng)然反過(guò)來(lái)即是減元；(2) ≥2ab ④。 (a,b0)是將分式化為整式，體現(xiàn)分式的整式化作用。試試下面兩個(gè)問(wèn)題如何解:求證：（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac。(2) ++≥a+b+c. (a,b,c0)（析：（1）由a2≥2abb2得b2≥2bcc2 ,c2≥2aca2,三式相加整理即得；（2）∵≥2ab∴同樣可得另兩式，再將三式相加整理即得）。(3)ab≤()2 ⑤。利用不等關(guān)系實(shí)現(xiàn)兩數(shù)和與兩數(shù)積的互化； (4)
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