高中數(shù)學不等式解題漫談(已修改)
2025-06-19 23:55 本頁面
【正文】 大家網(wǎng) 11 / 12高中數(shù)學不等式解題漫談一、活用倒數(shù)法則 巧作不等變換——不等式的性質(zhì)和應用不等式的性質(zhì)和運算法則有許多,如對稱性,傳遞性,尤其是不等變換有很大的優(yōu)越性.倒數(shù)法則：若ab0,則ab與等價。此法則在證明或解不等式中有著十分重要的作用。如：（1998年高考題改編）解不等式loga(1)1.分析：當a1時，原不等式等價于：1a,即 1a ,∵a1,∴1a0, 0,從而1a, 同號，由倒數(shù)法則，得x。 當0a1時，原不等式等價于 01 a,∴1a1, ∵0a1，∴ 1a0, 0, 從而1a, 同號，由倒數(shù)法則，得1x。綜上所述，當a1時,x∈(,+∞)；當0a1時，x∈(1,).注：有關不等式性質(zhì)的試題，常以選擇題居多，通常采用特例法,排除法比較有效。二、小小等號也有大作為——絕對值不等式的應用絕對值不等式：||a||b||≤|a177。b|≤|a|+|b|。這里a,b既可以表示向量，也可以表示實數(shù)。當a,b表示向量時，不等式等號成立的條件是：向量a與b共線；當a,b表示實數(shù)時，有兩種情形：（1）當ab≥0時，|a+b|=|a|+|b|, |ab|=||a||b||。(2)當ab≤0時，|a+b|=||a||b||, |ab|=|a|+|b|.簡單地說就是當a,b同號或異號時，不等式就可轉(zhuǎn)化為等式（部分地轉(zhuǎn)化），這為解決有關問題提供了十分有效的解題工具。如：若1,則下列結論中不正確的是（ ）A、logablogba B、| logab+logba|2 C、(logba)21 D、|logab|+|logba||logab+logba|分析：由已知，得0ba1,∴a,b同號，故|logab|+|logba|=|logab+logba|，∴D錯。[答案] D注：絕對值不等式是一個十分重要的不等式，其本身的應用價值很廣泛，但在高考或其他試題中常設計成在等號成立時的特殊情況下的討論，因此利用等號成立的條件（a,b同號或異號）是解決這一類問題的一個巧解。三、“抓兩頭 看中間”，巧解“雙或不等式”——不等式的解法（1）解不等式（組）的本質(zhì)就是對不等式（組）作同解變形、等價變換。（2）多個不等式組成的不等式組解集的合成——先同向再異向不等式組的解法最關鍵的是最后對幾個不等式交集的確定。常用畫數(shù)軸的方法來確定,?下面的方法就十分有效?？梢浴跋韧蛟佼愊颉钡脑瓌t來確定，即先將同向不等式“合并”（求交集），此時“小于小的，大于大的”；最后余下的兩個異向不等式，要么為空集，要么為兩者之間。如解不等式組:,先由③④(同)得x0(大于大的)。再由①②(同)得x1(小于小的)。再將x0與x1分別與⑤作交集,由x0與⑤得0x2。由x1與⑤得1x(0,1).（3）雙或不等式組的解集合成 形如的不等式組稱為“雙或”型不等式組（實際上包括多個“或”型不等式組成的不等式組也在此列），這是解不等式組中的一個難點。解決這類不等式組時常借用數(shù)軸來確定，但學生在求解時總會出現(xiàn)一些錯誤。這里介紹一種不通過數(shù)軸的直接方法：“抓兩頭 看中間”！如：,先比較a,b,c,d四個數(shù)的大小，如abcd,則其解集中必含有xa或xd（即抓兩頭）；再看xb與xc的交集，若有公共部分，則bxc。若無公共部分，則此時為空集（看中間），最后將“抓兩頭”和“看中間”的結果作并集即為所求的解集。四、巧用均值不等式的變形式解證不等式均值不等式是指：a2+b2≥2ab(a,b∈R) ①；a+b≥2( a,b∈R+) ②.均值不等式是高考的重點考查內(nèi)容，但其基本公式只有兩個，在實際解題時不是很方便。若能對均值不等式進行適當變形，那么在解題時就能達到事半功倍的效果。下面的一些變形式在解題時就很有用，不妨一試。當然你也可以根據(jù)需要推導一些公式。如：(1) a2≥2abb2 ③。 是將含一個變量的式子，通過縮小變?yōu)楹瑑蓚€變量的式子，體現(xiàn)增元之功效，當然反過來即是減元；(2) ≥2ab ④。 (a,b0)是將分式化為整式，體現(xiàn)分式的整式化作用。試試下面兩個問題如何解:求證：（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac。(2) ++≥a+b+c. (a,b,c0)（析：（1）由a2≥2abb2得b2≥2bcc2 ,c2≥2aca2,三式相加整理即得；（2）∵≥2ab∴同樣可得另兩式，再將三式相加整理即得）。(3)ab≤()2 ⑤。利用不等關系實現(xiàn)兩數(shù)和與兩數(shù)積的互化； (4)
教學教案相關推薦
鄂ICP備17016276號-1