信息論與編碼第2章習(xí)題解答(已修改)
2025-06-19 14:47 本頁面
【正文】 ，其中一枚為假幣。只知道假幣的重量與真幣的重量不同，但不知究竟是重還是輕?，F(xiàn)用比較天平左右兩邊輕重的方法來測(cè)量（因無砝碼）。為了在天平上稱出哪一枚是假幣，試問至少必須稱多少次？解：分三組，每組4個(gè)，任意取兩組稱。會(huì)有兩種情況，平衡，或不平衡。 (1) 平衡：明確假幣在其余的4個(gè)里面。從這4個(gè)里面任意取3個(gè)，并從其余8個(gè)好的里面也取3個(gè)稱。又有兩種情況：平衡或不平衡。a）平衡：稱一下那個(gè)剩下的就行了。b）不平衡：我們至少知道那組假幣是輕還是重。從這三個(gè)有假幣的組里任意選兩個(gè)稱一下，又有兩種情況：平衡與不平衡，不過我們已經(jīng)知道假幣的輕重情況了，自然的，不平衡直接就知道誰是假幣；平衡的話，剩下的呢個(gè)自然是假幣，并且我們也知道他是輕還是重。(2) 不平衡：假定已經(jīng)確定該組里有假幣時(shí)候：推論1：在知道該組是輕還是重的時(shí)候，只稱一次，能找出假幣的話，那么這組的個(gè)數(shù)不超過3。 我們知道，只要我們知道了該組（3個(gè)）有假幣，并且知道輕重，只要稱一次就可以找出來假幣了。從不平衡的兩組中，比如輕的一組里分為3和1表示為“輕（3）”和“輕（1）”，同樣重的一組也是分成3和1標(biāo)示為“重（3）”和“重（1）”。在從另外4個(gè)剩下的，也就是好的一組里取3個(gè)表示為“準(zhǔn)（3）”。交叉組合為： 輕（3） + 重（1） ？=======？ 輕（1） + 準(zhǔn)（3）來稱一下。又會(huì)有3種情況： (1)左面輕：這說明假幣一定在第一次稱的時(shí)候的輕的一組，因?yàn)椤爸兀?）”也出現(xiàn)在現(xiàn)在輕的一邊，我們已經(jīng)知道，假幣是輕的。那么假幣在輕（3）里面，根據(jù)推論1，再稱一次就可以了。(2)右面輕：這里有兩種可能：“重（1）”是假幣，它是重的，或者“輕（1）”是假幣，它是輕的。這兩種情況，任意 取這兩個(gè)中的一個(gè)和一個(gè)真幣稱一下即可。(3)平衡：假幣在“重（3）”里面，而且是重的。根據(jù)推論也只要稱一次即可。 同時(shí)扔一對(duì)骰子，當(dāng)?shù)弥皟慎蛔用娉宵c(diǎn)數(shù)之和為2”或“面朝上點(diǎn)數(shù)之和為8”或“骰子面朝上之和是3和4”時(shí)，試問這三種情況分別獲得多少信息量？解：設(shè)“兩骰子面朝上點(diǎn)數(shù)之和為2”為事件A，則在可能出現(xiàn)的36種可能中，只能個(gè)骰子都為1，這一種結(jié)果。即：P（A）=1/36，I（A）= P（A）=36≈ 比特設(shè)“面朝上點(diǎn)數(shù)之和為8”為事件B，則有五種可能：6；2；4；5；3；即：P（B）= 5/36，I（B）= P（B）= 36/5≈ 比特設(shè)“骰子面朝上之和是3和4”為事件C，則有兩種可能：4；3；即： P（C）= 2/36，I（C）= P（C）= 36/2≈ 比特 如果你在不知道今天是星期幾的情況下問你的朋友“明天是星期幾？”則答案中含有多少信息量？如果你在已知今天是星期四的情況下提出同樣的問題，則答案中你能獲得多少信息量（假設(shè)已知星期一至星期日的排序）解：（1）P＝1/7 I＝－Log2P＝－Log27（2）已知今天星期四，問明天是星期幾？ 即：明天是星期五是必然事件，不存在不確定性，I＝0。％是大學(xué)生，在女大學(xué)生中有75％。假如我們得知“”的消息，問獲得多少信息量？解：設(shè)A為女大學(xué)生,則依題意有: , , 所以信息量為（含52張牌），試問(1) 任一特定排列所給出的信息量是多少？(2) 若從中出去抽取13張牌，所給出的點(diǎn)數(shù)都不相同時(shí)得到多少信息量？解：（1）任一排列發(fā)生的概率為1/52!I＝log52!＝ bit （2）13張牌點(diǎn)數(shù)都不相同發(fā)生的概率為1/413I＝log413＝26 bit2. 設(shè)離散無記憶信源=,其發(fā)出的消息為（202120130213001203210110321010021032 011223210），求：（1）此消息的自信息是多少？（2）在此消息中平均每個(gè)符號(hào)攜帶的信息量是多少？ 解：(1) 因?yàn)殡x散信源是無記憶的，所以起發(fā)出的消息序列中各符號(hào)是無依賴且統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。因此，此消息的自信息就為該消息中各符號(hào)自信息之和。I（）= ?log P（） = ?log= 比特I（）= ? log P（）= ?log=2比特I（）= ?log P（）= ?log=2比特I（）= ?log P（）= ?log=3比特則此消息的自信息是： I=14I（）+ 13I（）+12 I（）+ 6I（） +132+122+63 (2)此消息中平均每個(gè)符號(hào)攜帶的信息量是： I
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