【正文】 仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院第三屆數(shù)學(xué)建模大賽暨校數(shù)學(xué)建模隊(duì)選拔賽論文2009第三屆校級(jí)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題2009第三屆校級(jí)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題專業(yè)班級(jí)姓名性別是否想?yún)⒓邮钇诩?xùn)與全國(guó)賽聯(lián)系方法網(wǎng)絡(luò)071蔡瓊鋒男是13760747949網(wǎng)絡(luò)071林海濤男是13760725083網(wǎng)絡(luò)072杜梓男是15802019989A題: 購(gòu)房貸款問(wèn)題【摘要】本文通過(guò)對(duì)購(gòu)房貸款問(wèn)題的分析和研究，建立了銀行住房貸款利率變化的情況下還款的數(shù)學(xué)模型，其還款方式有等額本息還款和等額本金還款。等額本息還款法，把按揭貸款的本金總額與利息總額相加，然后平均分?jǐn)偟竭€款期限的每個(gè)月中。作為還款人，每個(gè)月還給銀行固定金額，但每月還款額中的本金比重逐月遞增、利息比重逐月遞減。等額本金還款法，又稱利隨本清、等本不等息還款法，貸款人將本金分?jǐn)偟矫總€(gè)月內(nèi)，同時(shí)付清上一交易日至本次還款日之間的利息。這種還款方式相對(duì)等額本息而言，總的利息支出較低，但是前期支付的本金和利息較多，還款負(fù)擔(dān)逐月遞減。根據(jù)已知年利率，針對(duì)貸款額、每月月底欠款額、當(dāng)時(shí)貸款年利率、計(jì)劃還款月數(shù)等條件，推算出等額本息、等額本金還款法在不同利率情況下的還款公式。本文對(duì)極具代表性的購(gòu)房貸款問(wèn)題進(jìn)行了全面細(xì)致的討論，給出了幾種比較實(shí)用的還款方式，同時(shí)對(duì)購(gòu)房貸款還款期間年利率調(diào)整的不同情況下每個(gè)月所要還款的余額和預(yù)計(jì)還款總利息進(jìn)行分析討論。此模型給出的公式和程序能適合任意年限和年利率情況下的相關(guān)計(jì)算，適用范圍較廣。我們還通過(guò)Matlab設(shè)計(jì)出了各種還款方式的還款余額和還款利息的程序。此外，我們針對(duì)等額本息還款和等額本金還款進(jìn)行最優(yōu)討論，最大程度上為不同階層的購(gòu)房的消費(fèi)者提高最佳的貸款購(gòu)房方式的建議。關(guān)鍵詞：購(gòu)房貸款；等額本息還款；等額本金還款。一、 問(wèn)題的重述某家庭于05年12月底貸款36萬(wàn)元購(gòu)買一套房子，當(dāng)時(shí)貸款(年)%，打算用10年的時(shí)間還清貸款。(1) 他們采用等額本息還款的方式（即每月的還款額相同）償還貸款,該家庭每月的還款額是多少？預(yù)計(jì)要付多少利息？(2) 他們采用等額本金還款的方式（即每月還相同的本金）償還貸款,該家庭每月的還款額是多少？預(yù)計(jì)要付多少利息？與(1)問(wèn)比較哪一種最優(yōu)？(3) 銀行利率在07與08兩年每年一月份調(diào)整一次，當(dāng)月立即執(zhí)行。各年（年）利率見附表。采用等額本息還款的方，該家庭每月的還款額是多 少？如果不考慮08年以后利率的調(diào)整，預(yù)計(jì)要付多少利息？ (4) 假設(shè)他們?cè)?7年12月與08年1月兩個(gè)月沒(méi)有能按時(shí)還款，在不考慮銀行罰金的情況下，重新做第3問(wèn).(5) 到09年底，在經(jīng)濟(jì)狀況許可的條件下，他們將考慮是否提前還貸，那么他們?cè)谶@個(gè)月末，在第4問(wèn)的基礎(chǔ)上需要一次付給銀行多少錢，才能將余下全部的貸款還清？(6)一般來(lái)說(shuō)，隨著工作經(jīng)歷的增長(zhǎng)，家庭收入也在增長(zhǎng)。因此，銀行增補(bǔ)性地推出了逐步增加還款額的還貸方式。具體的辦法是：如果第1年的每月還款額是1000元，第2年的每月還款額是1400元的，第3年的每月還款額是1800元，第4年的每月還款額是2200元，以此類推。如果他們又打算從09年1月份開始采用逐步增加還款額的還款方式來(lái)償還貸款，在假設(shè)貸款利率不再改變的情況下，在第4問(wèn)的基礎(chǔ)上他們需要多長(zhǎng)時(shí)間就可以還清貸款？(7)從07年起每年的貸款利率保持上浮5%的水平，%的還款額的還款方式來(lái)償還貸款需要多長(zhǎng)時(shí)間就可以還清貸款？（8）假如該家庭于05年12月底貸款是38萬(wàn)元購(gòu)買房子，當(dāng)時(shí)貸款(年)%，從07年起每年的貸款利率保持上浮5%的水平，用10年的時(shí)間還清貸款。他們采用本金以每年遞增20%還款的方式償還貸款,該家庭每月的還款額是多少？貸款(年)利率調(diào)整表06年 %07年 %08年 %15年5年以上二、 模型假設(shè)與符號(hào)的約定 模型假設(shè)：假設(shè)該家庭能夠在計(jì)劃的期限之內(nèi)還清所有貸款和利息；假設(shè)該家庭能夠嚴(yán)格遵守銀行貸款年利率調(diào)整表；假設(shè)銀行每月計(jì)算利息的日期固定；假設(shè)該家庭嚴(yán)格執(zhí)行銀行的規(guī)定，每個(gè)月按時(shí)還款。 符號(hào)說(shuō)明：B：第i個(gè)月的的月還款額；L：等額本金還款每個(gè)月的利息；A：第i個(gè)月末的欠款額；C：等額本金每月月底還款本金款額；Y：利息總額；R：第i年的年利率；r：第i年的月利率；n：第n個(gè)月份。三、 問(wèn)題的分析 問(wèn)題一 采用等額本息還款的方式（即每月的還款額相同）償還貸款: 使用當(dāng)時(shí)貸款(年)%時(shí),每月的還款額和預(yù)計(jì)要付的利息。 銀行利率在07與08兩年每年一月份調(diào)整一次，且當(dāng)月立即執(zhí)行時(shí)，則每月的還款額；不考慮08年以后利率的調(diào)整時(shí)，預(yù)計(jì)要付的利息；在07年12月與08年1月兩個(gè)月沒(méi)有能按時(shí)還款，不考慮銀行罰金、不考慮08年以后利率調(diào)整的情況下，每月的還款額和預(yù)計(jì)要付的利息。 到09年底，由于經(jīng)濟(jì)狀況的許可，為了提前還貸，并且07年12月與08年1月兩個(gè)月沒(méi)有能按時(shí)還款，不考慮銀行罰金，在這個(gè)月末，需要一次付給銀行的多少錢才能還清貸款。 隨著工作經(jīng)歷的增長(zhǎng)，家庭收入也在增長(zhǎng)。因此，銀行增補(bǔ)性地推出了逐步增加還款額的還貸方式。具體的辦法是：如果第1年的每月還款額是1000元，第2年的每月還款額是1400元的，第3年的每月還款額是1800元，第4年的每月還款額是2200元，以此類推。如果打算從09年1月份開始采用逐步增加還款額的還款方式來(lái)償還貸款，再假設(shè)貸款利率不再改變的情況下，在07年12月與08年1月兩個(gè)月沒(méi)有能按時(shí)還款，不考慮銀行罰金，且銀行利率在07與08兩年每年一月份調(diào)整一次，當(dāng)月立即執(zhí)行。等額本息還款的方式，還清貸款需要的時(shí)間。 從07年起每年的貸款利率保持上浮5%的水平，采用等額本息還款的方式償還貸款，使用貸款(年)%時(shí),每月的還款額和預(yù)計(jì)要付的利息。如果在采用等額本息還款的方式的基礎(chǔ)上08年開始采用每年逐步增加20%的還款額的還款方式來(lái)償還貸款可以還清貸款需要的時(shí)間。 問(wèn)題二 采用等額本金還款的方式（即每月還相同的本金）償還貸款: 每月的還款額和預(yù)計(jì)要付的利息；并且比較與等額本息還款方式的最優(yōu)。 假如該家庭于05年12月底貸款是38萬(wàn)元購(gòu)買房子，當(dāng)時(shí)貸款(年)%，從07年起每年的貸款利率保持上浮5%的水平，用10年的時(shí)間還清貸款。他們采用本金以每年遞增20%還款的方式償還貸款,該家庭每月的還款額。四、模型的建立及求解 模型一的建立：等額本息還款方式：假設(shè) 某家庭貸款額為A，該家庭在每月月底欠款額為，當(dāng)時(shí)貸款年利率為R、月利率為r ，計(jì)劃還款月數(shù)為n，每月還款額為B，還款利息總和為Y根據(jù)上面所假設(shè)，當(dāng)時(shí)貸款年利率與月利率的關(guān)系為：R＝12r。還款利息總和與計(jì)劃還款月數(shù)、貸款額、每月還款額的關(guān)系為：Y＝nB－A；第一個(gè)月的月底欠款額：A= A（1＋r）－B；第二個(gè)月的月底欠款額：A=（A（1＋r）－B）（1＋r）－B = A（1＋r）－B；第三個(gè)月的月底欠款額：A=（（A（1＋r）－B）（1＋r）－B）（1＋r）－B = A（1＋r）－B；由此可推導(dǎo)出第i個(gè)月的月底欠款額：＝（（（A（1＋r）－B）（1＋r）－B）……）（1＋r）－B ＝ A－B－B － …… － B－B ＝ A－B ＝ A－B。由此可得出第n個(gè)月的月底欠款額：＝（（（A（1＋r）－B）（1＋r）－B）……）（1＋r）－B ＝A－B。 令 ＝0，可得每月還款額：B ＝A。：等額本金還款方式：假設(shè) 某家庭貸款額為A，每月月底欠款額為，當(dāng)時(shí)貸款年利率為R、月利率為r ，計(jì)劃還款月數(shù)為n，每月月利息為，每月還款額為，每月月底本金還款額為C，還款利息總和為Y根據(jù)上面所假設(shè)，當(dāng)時(shí)貸款年利率與月利率的關(guān)系為：R＝12r；每月月底本金還款額與每月月底欠款額、計(jì)劃還款月數(shù)的關(guān)系為C＝；第i個(gè)月的月底欠款額：＝A－Ci ；第i個(gè)月的月利息為＝r ；第i個(gè)月的還款額為＝＋C ；還款利息總和與每月月利息的關(guān)系為：Y ＝；由以上模型分析可得：（1）采用等額本息還款的方式（即每月的還款額相同）償還貸款,該家庭每月的還款額、預(yù)計(jì)要付的利息為：等額本息方式每月的還款額均為（單位：元）預(yù)計(jì)要付的總利息（單位：元）（2）①、 采用等額本金還款的方式（即每月還相同的本金）償還貸款,該家庭每月的還款額是、預(yù)計(jì)要付利息為：等額本金還款方式每月的還款額（單位：元）06年1月06年2月06年3月06年4月06年5月06年6月06年7月06年8月06年9月06年10月06年11月06年12月07年1月07年2月07年3月07年4月0