【正文】 第十一講 乘法原理與加法原理知識(shí)提要理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和組合的概念及計(jì)算方法。加法原理：N= m1＋m2＋……＋mn。乘法原理： N= m1m2……mn。經(jīng)典例題家橋?qū)W校ABCDGEF例1 小剛從家到學(xué)校要經(jīng)過一座橋，從家到橋時(shí)有3條路可以走，過了橋再到學(xué)校時(shí)有4條路可以走（如下圖）。小剛從家到學(xué)校一共可以有多少種不同的走法？分析與解：把從小剛家到學(xué)校的路分為兩步。第一步從家到橋，第二步從橋到學(xué)校。這兩步中每一步都不能單獨(dú)走完從家到學(xué)校的路，只有兩步合在一起，才能完成。從圖中看出從家到學(xué)校共有12種不同的走法：AD AE AF AG BD BE BF BG CD CE CF CG根據(jù)此題，得出如下結(jié)論：乘法原理 要完成一項(xiàng)任務(wù)，由幾個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)，第一步有m1種不同的方法；第二步有m2種不同的方法；……第n步有mn種不同的方法；那么要完成任務(wù)共有：N= m1m2……mn。5876例2 有四張數(shù)字卡片， 用這四張數(shù)字卡片組成三位數(shù)，可以組成多少個(gè)？分析與解：用卡片組成三位數(shù)要分成三步，第一步選取百位上的數(shù)字，可以有4種選擇；第二步選取十位上的數(shù)字，可以有3種選擇；第三步選取個(gè)位上的數(shù)字，可以有2種選擇。所以可以組成不同的三位數(shù)共有：432=24（個(gè)）例3：由數(shù)字6可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？ 分析與解：要求奇數(shù)，所以個(gè)位數(shù)字只能取5中的一個(gè)，有3種取法；十位數(shù)字可以從余下的五個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有5種不同取法；百位數(shù)字還有4種取法；千位數(shù)字只有3種取法。由乘法原理，共可組成： 3543＝180（個(gè)）沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)。例4：下圖為44的棋盤，要把A、B、C、D四個(gè)不同的棋子放在棋盤的方格中，并使每行每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子。問：共有多少種不同的放法？ 分析與解：四個(gè)棋子要一個(gè)一個(gè)地放，故可看做分四步完成任務(wù)，第一步放棋子A，A可以放在16個(gè)方格中的任意一個(gè)中，故有16種不同方法；第二步放棋子B，放A棋子的一行和一列都不能放B，還剩下9個(gè)方格可以放B，所以B有9種方法；第三步放C，再去掉放B的行和列，還有4個(gè)方格可以放C，故C有4種放法；最后放D，再去掉C所在的行和列，只剩下一個(gè)方格放D了，D只有一種方法，由乘法原理，共有 16941＝576（種）不同放法。 在解題時(shí)應(yīng)注意加法原理和乘法原理的區(qū)別，往往是要綜合使用的。例5 從北京到鄭州可以坐飛機(jī)，乘火車，還可以乘汽車。一天中有飛機(jī)2班，火車有3趟，汽車有5趟。同一天中從北京到鄭州乘坐以上三種交通工具，共有幾種不同的走法？分析與解：三種交通工具中的任何一種都可以到達(dá)目的地，那么每類交通工具中有幾中不同的方法。（飛機(jī)2班，火車3趟，汽車5趟）因此，要到達(dá)目的地應(yīng)有2＋3＋5=10不同的方法。根據(jù)此題，得出如下結(jié)論：加法原理 要完成一種任務(wù)有幾類辦法，在第一類辦法中有m1中不同方法；在第二類辦法中有m2中不同方法；……在第n類辦法中有mn中不同方法。在這些不同的方法中，每一種方法都能獨(dú)立完成任務(wù)，那么完成這一任務(wù)共有：N= m1＋m2＋……＋mn。例6：如圖：從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地有3條路可走。那么，從甲地到丙地共有多少種不同走法？ 解：從甲地到丙地共有兩類不同走法。 第一類：由甲地途徑乙地到丙地。這時(shí)要分二步走。第一步，從甲地到乙地有4種走法；第二步從乙地到丙地有2種走法。據(jù)乘法原理，從甲地經(jīng)乙地到丙地共有： 42＝8種不同走法。 第二類：從甲地直接到丙地，有3種走法。由加法原理，從甲地到丙地若有 8＋3＝11 種不同的走法。例7：有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字6，將兩個(gè)正方體任意放到桌面上，向上一面的兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？ 解：兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，這兩個(gè)數(shù)字的奇偶性必相同，所以分兩大類。 第一類：兩個(gè)數(shù)字同奇，第一個(gè)正方體有3種可能，第二個(gè)正方體也有3種可能，由乘法原理，共有33＝9種不同的情形。 第二類：是兩個(gè)數(shù)字同偶。也有9種不同的情況。 據(jù)加法原理：兩個(gè)正方體向上一面數(shù)字之和為偶數(shù)。共有： 9＋9＝18種不同的情況?；居?xùn)練，六二班有40人，六三班有37人。從中選1人去人民大會(huì)堂開會(huì)，有多少種選法？ ，第二小隊(duì)有11人，第三小隊(duì)有13人。從每個(gè)小隊(duì)中各選1人去人民大會(huì)堂開會(huì)，有多少種選法？ 3. 某人在小學(xué)、初中、高中時(shí)分別有兩個(gè)學(xué)校可以選擇，那么他共有幾種不同的由小學(xué)讀完高中的不同選擇方式？4．如圖所示，三條平行線上分別有兩個(gè)點(diǎn)、四個(gè)點(diǎn)、三個(gè)點(diǎn)，且不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)一定不共線，在每條直線上各取一點(diǎn)可以畫一個(gè)三角形，如三角形BEH，問可以畫多少個(gè)不同的三角形？5. 由數(shù)字8可以組成多少個(gè)(1)三位數(shù)？(2)三位偶數(shù)？(3)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？(4)百位有8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(5)百位為8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？拓展提高 1．某個(gè)地區(qū)的電話號(hào)碼是八位數(shù)，如果首位不是0，其余各位上可以是0～9這十個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)，不同數(shù)位上的數(shù)字可以重復(fù)，那么，這個(gè)地區(qū)可以有多少個(gè)電話號(hào)碼？2．兩位數(shù)中個(gè)位數(shù)字加十位數(shù)字的和是雙數(shù)，這樣的兩位數(shù)一共有多少個(gè)？3．某公司買了8輛汽車，這8輛汽車的鑰匙混裝在一個(gè)紙袋里，要想把每輛汽車的鑰匙挑出來，最多要試多少次？奧賽訓(xùn)練1． 超市的一個(gè)貨架上擺放著10種不同的蔬菜，另一個(gè)貨架上擺放著8種不同的水果。如果媽媽從這兩個(gè)貨架中至少選購(gòu)一種，最多選購(gòu)兩種，一共有多少種不同的選購(gòu)方法？2． 從1～30這三十個(gè)自然數(shù)中，選出兩個(gè)數(shù)，使它們的和大于30，一共有多少中不同的選法？3．自然數(shù)1～1000中，“0”這個(gè)數(shù)字一共出現(xiàn)了多少次？ 第十二講 簡(jiǎn)單的排列與組合知識(shí)提要理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和組合的概念及計(jì)算方法。