【正文】 第 8章 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) ? 在得到 H(z)之后 ， 還應(yīng)該將其實(shí)現(xiàn) 。 H(z)實(shí)際上是一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式 ， 它的不同的數(shù)學(xué)表示形式對(duì)應(yīng)著不同的算法結(jié)構(gòu) 。 這就是說 ， 同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù) H(z)， 可以用不同的算法結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn) 。 不同的算法結(jié)構(gòu) ， 使得濾波器具有不同的性能 。 與算法結(jié)構(gòu)有關(guān)的濾波器性能主要指以下幾個(gè)方面 。 1． 相乘 、 相加 、 延遲等運(yùn)算的運(yùn)算量 ， 這關(guān)系到運(yùn)算的復(fù)雜程度和運(yùn)算速度 。 2． 所用的加法器 、 乘法器 、 延遲器的數(shù)目 ， 這關(guān)系到系統(tǒng)的復(fù)雜度和系統(tǒng)成本 ， 而延遲器的數(shù)目直接影響系統(tǒng)所需存儲(chǔ)器的多少 。 3．系統(tǒng)頻率特性對(duì)于乘法器系數(shù)變化的靈敏度，這是數(shù)字濾波器的非常重要的性能。在設(shè)計(jì) H(z)時(shí)，并沒有考慮系數(shù)的精度問題，即是在無限精度的條件下進(jìn)行設(shè)計(jì)的。但是，在實(shí)現(xiàn) H(z)時(shí)，這些系數(shù)都要化為二進(jìn)制數(shù)以有限的字長(zhǎng)即有限的精度來進(jìn)行運(yùn)算。于是，實(shí)現(xiàn)時(shí) H(z)產(chǎn)生的系數(shù)誤差使得所設(shè)計(jì)的零極點(diǎn)位置發(fā)生變化，系統(tǒng)的頻率特性也就發(fā)生變化。 ? 在相同的二進(jìn)制字長(zhǎng)的條件下，或者說在相同的系數(shù)誤差范圍的情況下，不同的濾波器結(jié)構(gòu)所引起的頻率特性的變化程度不同，頻率特性變化大的結(jié)構(gòu)對(duì)于乘法器系數(shù)變化的靈敏度就高，或者說這種結(jié)構(gòu)的靈敏度特性差，反之則是靈敏度特性好。 ? 對(duì)于 IIR濾波器 ， 結(jié)構(gòu)的靈敏度特性不僅影響系統(tǒng)的頻率特性 ， 還影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ， 這是因?yàn)闉V波器實(shí)現(xiàn)時(shí)系數(shù)的誤差若使得極點(diǎn)的位置變化較大 ， 就有可能從單位園內(nèi)移出 ， 這將使系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 ? 綜上所述，算法結(jié)構(gòu)的選擇對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)非常重要。一個(gè)確定的數(shù)字系統(tǒng)有其確定的差分方程、確定的單位抽樣響應(yīng) h(n) 以及確定的系統(tǒng)函數(shù) H(z)， 而同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù) H(z)， 卻可以畫出不同的算法結(jié)構(gòu)。用什么樣的結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn) H(z)， 也是數(shù)字濾波器的一個(gè)很重要的問題，而信號(hào)流圖是數(shù)字網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的一種非常方便、直觀、有效的表示。 數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖 信號(hào)流圖及其有關(guān)概念 ? 信號(hào)流圖是由連接節(jié)點(diǎn)的有向線段構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò) ， 它是表示信號(hào)流通的幾何圖形 。 信號(hào)流圖清楚地表示了系統(tǒng)的算法結(jié)構(gòu) ， 通過信號(hào)流圖 ， 可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行有效的分析 ， 還可以方便地求出系統(tǒng)函數(shù) 。 ? 下面結(jié)合圖 。 圖 一個(gè)信號(hào)流圖 1． 節(jié)點(diǎn)： 信號(hào)流圖中每一節(jié)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)變量 ， 或者說代表一個(gè)信號(hào) 。 節(jié)點(diǎn)又叫做節(jié)點(diǎn)變量 。 2． 支路與支路傳輸： 支路是連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向線段 。支路旁邊標(biāo)注的系數(shù) （ 或稱加權(quán) ） 叫做支路傳輸 ， 它們起著相乘的作用 。 一種支路傳輸就是乘法器系數(shù)；另一種實(shí)際上表示延遲 ， 如圖中支路 X0X1的傳輸 z1， 有 X1 = z1 X0 , 即 x1(n) = x0(n1)。 3. 源 (節(jié) )點(diǎn) : 對(duì)于一個(gè)節(jié)點(diǎn) ， 流入該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)叫輸入 ，流出該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)叫輸出 。 若一個(gè)節(jié)點(diǎn)只有輸出支路與之相連接 ， 則稱之為源節(jié)點(diǎn) ， 或輸入節(jié)點(diǎn) 。 4. 匯點(diǎn) : 若一個(gè)節(jié)點(diǎn)只有輸入支路與之相連接 ， 則稱之為匯點(diǎn) ， 或輸出節(jié)點(diǎn) 。 5. 混合節(jié)點(diǎn) : 若一個(gè)節(jié)點(diǎn)既有輸入支路與之相連接 ， 又有輸出支路與之相連接 ， 則稱之為混合節(jié)點(diǎn) 。 6. 開路徑 : 也叫通路 ， 即是從某一節(jié)點(diǎn)出發(fā) ， 沿支路方向連續(xù)經(jīng)過一些支路而中止到另一節(jié)點(diǎn)上的路徑 。 注意 ，每一節(jié)點(diǎn)只通過一次 。 7． 閉路徑 : 也叫自環(huán)或者環(huán)路 ， 即是從某一節(jié)點(diǎn)出發(fā) ， 沿著支路方向 ， 連續(xù)經(jīng)過一些支路又中止在出發(fā)節(jié)點(diǎn)的路徑 。注意 ， 途中各節(jié)點(diǎn)只通過一次 。 8． 節(jié)點(diǎn)變量的值 : 設(shè)連接節(jié)點(diǎn) Xi 與 Xj的支路 XjXi的支路傳輸為 tji， 則節(jié)點(diǎn)變量 Xi的值為： () ? 即節(jié)點(diǎn)變量的值等于流入該節(jié)點(diǎn)的全部信號(hào)的疊加 。 要特別注意 ， 計(jì)算節(jié)點(diǎn)變量值時(shí)不要考慮輸出支路 。 ??jjiji tXX? 圖 ， 節(jié)點(diǎn)變量 X X X X4之值分別為： X1 =z1 () X2=aX0+bX1+eX3 () X3=cX1+dX2+fX3 () X4=X2 () ? 而源節(jié)點(diǎn) X0 無值可言 。 解代數(shù)方程組求節(jié)點(diǎn)變量之值 ? 將流圖中各節(jié)點(diǎn)變量的值都表示出來，就組成了一代數(shù)方程組。如果流圖中除了源點(diǎn)之外有 M個(gè)節(jié)點(diǎn)，那末可以得到含有 M個(gè)未知數(shù)由 M個(gè)方程組成的線性方程組。但是為了簡(jiǎn)化方程組的求解過程，應(yīng)當(dāng)盡量減少需要求解的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。 ? 一般情況下 ， 這樣的線性方程組有且只有一組解 ， 另外 ，往往也不需要解出每個(gè)節(jié)點(diǎn)變量 ， 因此 ， 采用克萊姆法則來求解比較方便 。 ? 例 用代數(shù)方程組求解法求圖 H=X4/X0 。 ? 解：由于 X4=X2， 因此只需要解出節(jié)點(diǎn)變量 X2 。 由上面已有的節(jié)點(diǎn)之值表示式 ()、 ()和 ()，可以得到方程組的矩陣表示形式： ????????????????????????????????0 1 10 0 1001321aXXzXXX f c d e b 根據(jù)克萊姆法則 ， 可求得： X2 =Δ 2/Δ 這里 Δ 為系數(shù)矩陣行列式： def ?????? 11f de 1 1 f d ce 1 b0 0 1而 ec]1)[ b ( fXz1)(faX 1f ce b1f 0 e 1f 0 c e aX b0 Xz 1 0100100012????????XzaX于是可求得系統(tǒng)函數(shù)： defeczzfbfaXXXXXH????????????? ??1)1()1( 11020204? 看得出 ， 從 X2 到 X4這條傳輸為 1的支路是從 X2延伸出來的 ，實(shí)際上 ， 可以直接從 X2 獲取輸出 ， 并且直接求出節(jié)點(diǎn) X2與源點(diǎn) X0之間的系統(tǒng)函數(shù) 。 以此類推 ， 可以根據(jù)信號(hào)流圖求出從源點(diǎn)到其它任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)的傳輸函數(shù)也即系統(tǒng)函數(shù) 。 化簡(jiǎn)信號(hào)流圖求系統(tǒng)函數(shù) ? 如果一個(gè)信號(hào)流圖最終被化簡(jiǎn)為圖 ，那末支路傳輸 H顯然就是系統(tǒng)函數(shù)，因?yàn)?Y=HX0， H=Y/X0 。信號(hào)流圖化簡(jiǎn)的依據(jù)是節(jié)點(diǎn)變量的表示式和代數(shù)方程的恒等關(guān)系，主要有下面三種情況。 圖 信號(hào)流圖的最簡(jiǎn)形式 Y о о X0 H 合并支路 ? 串聯(lián)的支路通過支路傳輸相乘來合并 ， 并聯(lián)的支路通過支路傳輸相加來合并 。 例如圖 ： ? H=a(bdeg+cfh)ij。 圖 支路的合并 消除節(jié)點(diǎn) 圖 節(jié)點(diǎn)的消除 ? 圖 ，由于 X2 =bX1 =b(aX0)=abX0 以及 X3 =cX1 =c(aX0)=acX0 ， 因此消去了節(jié)點(diǎn) X1。 消除自環(huán) 圖 自環(huán)的消除 ? 由圖 ： X2 =bX1 =b(aX0+cX2)， 于是 X2 =abX0+bcX2 ， 即為中間的流圖；再將含 X2的項(xiàng)移到等式左邊 ， 得到： ， 即為右邊的流圖 ， 此時(shí)消除了自環(huán) ， 流圖化為最簡(jiǎn) 。 02 1 XbcabX??? 例 如圖 , 利用自環(huán)消除的規(guī)則首先消除了左邊流圖的自環(huán)和節(jié)點(diǎn) X2， 然后經(jīng)支路合并后得到了最簡(jiǎn)形式 。 ? 此例的流圖還可以首先消除節(jié)點(diǎn) X3來進(jìn)行簡(jiǎn)化 ， 如圖 。 圖 例 （ 一 ） 圖 例 （ 二 ） ? 例 信號(hào)流圖如圖 (a) 所示 ， 中間的三個(gè)節(jié)點(diǎn) XX X4以及三個(gè)自環(huán)按圖中所示步驟逐一消除 。 應(yīng)注意 ，在流圖 (c)中 ， 節(jié)點(diǎn) X3后面有一條輸入支路的權(quán)值要受 X3上自環(huán)消除的影響 ， 事實(shí)上 ， 在流圖 (b)中 ， 有： X3 = abX1 + bcX3 + eX4 ? 由此式得： ? 這即為流圖 (c)中的情形 。 后面的化簡(jiǎn)也類似處理 。 413 11 XbceXbcabX???? 圖 例 ? 最后得： ? 顯然 ， D=X5/X1 就是這個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 。 115 )1(1 Xbcgfedbca b d fDXX?????? Mason公式 ? 在給出 Mason公式之前 ， 首先解釋以下名詞 。 1． 通路傳輸：通路邊界間 （ 即開始節(jié)點(diǎn)與終止節(jié)點(diǎn)之間 ）各支路傳輸之乘積 。 2．環(huán)路傳輸：繞環(huán)路一周各支路傳輸之乘積。 3． 不接觸：兩條通路間或兩個(gè)環(huán)路間或一條通路與一個(gè)環(huán)路之間若無公共節(jié)點(diǎn)則稱它們互不接觸 。 ? Mason公式給出了一個(gè)信號(hào)流圖中 ， 從源點(diǎn)到其余任一節(jié)點(diǎn)的傳輸函數(shù) （ 即系統(tǒng)函數(shù) ） 的表達(dá)式： () ??? ? iigH? 其中 ， △ 為流圖的行列式： ? △ = 1 （ 所有環(huán)路傳輸之和 ） +（ 每?jī)蓚€(gè)互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和 ） （ 每三個(gè)互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和 ） + … ? 而 gi 是從源點(diǎn)到這一節(jié)點(diǎn)的第 i 條通路的通路傳輸，△ i 則是此通路流圖的余子式： ? △ i = 1（ 與此通路不接觸的各環(huán)路傳輸之和） +（與此通路不接觸的每?jī)蓚€(gè)互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和） （與此通路不接觸的每三個(gè)互不接觸的環(huán)路傳輸乘積之和）+ … ? 例 由一電路網(wǎng)絡(luò)所得到的信號(hào)流圖如圖 ，試用 Mason公式求其系統(tǒng)函數(shù)： H=V4/Vg 。 圖 一個(gè)電路網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖 ? 解： 這實(shí)際上是一個(gè)模擬網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖 ， 但是 ， 從流圖的觀點(diǎn) ， 并不需要考慮節(jié)點(diǎn)和支路傳輸?shù)奈锢硪饬x ， 也就是說 ， 模擬網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖可以與數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖同樣地處理 。 ? 圖中，每條支路用其編號(hào)來代表，如①、②等等；另外，對(duì)于同一條支路，有： ZjYj=1, RjGj=1。 ? 為求得 Mason公式中的分母 △ ， 應(yīng)找出流圖中所有環(huán)路： ? ,13； ,11； ,12； ,9； ,7,8,13。 ,3,4,11。 ? 于是 Δ =1(Z1Y2G3R4+α Z1G3+μ Z1G3α G3R4)+(G3R4Z1Y2α G3R4) ? 為求得 Mason公式中的分子 ， 需要找出由 Vg到 V4的所有通路 。 各條通路的具體情況如下： 1 ) . ⑤ , ⑩ ； g1=G3R4； Δ 1=1(Z1Y2+α Y1Z1)=1+Z1Y2α . 2). ① ,② ,③ ,④ ； g2=Y2Z1α Y1R4=α Y2R4； Δ 2=1. 3). ① ,⑥ ,⑦ ,⑩ ； g3=Y2μ Z2G3R4=μ G3R4； Δ 3=1α Y1Z1=1α . 4). ⑤ ,⑧ ,③ ,④ ； g4=G3Z1α Y1R4=α G3R4；