高考數(shù)學(xué)之三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(已修改)
2025-04-29 13:06 本頁(yè)面
【正文】 三角函數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)定義 1 角，一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等價(jià)為一度，弧度制：把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。若圓心角的弧長(zhǎng)為 L，則其弧度數(shù)的絕對(duì)值| α|=,其中 r 是圓的半徑。L定義 3 三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角 α 的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與 x 軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn) P，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y） ，到原點(diǎn)的距離為 r,則正弦函數(shù) sinα= ,余弦函數(shù) cosα= ,正切函數(shù) tanα= ，余切函數(shù) cotα= ，ryr y定理 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tanα= ,商數(shù)關(guān)系： tanα= ；?cot1?sincot,cosin?乘積關(guān)系：tanαco sα=s inα,cotαsinα=cosα；平方關(guān)系：sin 2α+cos 2α=1, tan2α+1=sec 2α, cot 2α+1= csc2α.定理 2 誘導(dǎo)公式（Ⅰ）sin(α+π)=sin α, co s(π+α)= cosα, tan(π+α)=tan α。（Ⅱ）sin(α)=s inα, co s(α)=cosα, tan (α)=tan α。 （Ⅲ）sin(π α)=s inα, co s(πα)=cosα, tan=(π α)= tanα。 （Ⅳ）sin =cosα, co s =sinα（奇變偶不變，符號(hào)看象限） 。??????????????????2定理 3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=sinx（x∈R）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間 上為減函數(shù)，最小正周???????2,k ?????????23,2k期為 2 . 奇偶數(shù). 有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2kx+ 時(shí)，y 取最大值 1，當(dāng)且僅當(dāng) x=3k 時(shí), ? ?2y 取最小值1 。對(duì)稱性：直線 x=k + 均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)（ k , 0）均為其對(duì)稱中心，值2域?yàn)閇1，1] 。這里 k∈Z.定理 4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=cosx(x∈R)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間[2kπ, 2kπ+π]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2kππ, 2kπ]上單調(diào)遞增。最小正周期為 2π。奇偶性：偶函數(shù)。對(duì)稱性：直線 x=kπ均為其對(duì)稱軸，點(diǎn) 均為其對(duì)稱中心。有界性：當(dāng)且僅當(dāng)???????0,2?kx=2kπ時(shí)，y 取最大值 1；當(dāng)且僅當(dāng) x=2kππ時(shí)，y 取最小值 1。值域?yàn)閇1，1]。這里 k∈Z.定理 5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù) y=tanx(x kπ+ )在開區(qū)間(kπ , kπ+ )上為?2?增函數(shù), 最小正周期為 π，值域?yàn)椋?∞，+∞） ，點(diǎn)（kπ，0） ， （kπ+ ，0）均為其對(duì)稱中心。 sinyx?cosyx?tanyx?圖象函 數(shù)性質(zhì)定義域 RR,2xk???????????值域 ??1,???1,?R最值當(dāng) 時(shí)，2xk???????；當(dāng) may2時(shí)， ．??kmin1y?當(dāng) 時(shí)， ??xk????；當(dāng)may2?時(shí)， ．??kmin1y?既無(wú)最大值也無(wú)最小值周期性 ???奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)單調(diào)性在 2,2k????????上是增函數(shù)；在????32,2k????????上是減函數(shù)．??在 上是????2,kk???增函數(shù)；在 2??上是減函數(shù)．??k?在 ,2k?????????上是增函數(shù)．???對(duì)稱性對(duì)稱中心 ??,0k??對(duì)稱軸 2x???對(duì)稱中心 ??,02kk??????????對(duì)稱軸 x?對(duì)稱中心 ??,02k?????????無(wú)對(duì)稱軸定理 6 兩角和與差的基本關(guān)系式：cos( α β)=cosαcos β sinαsinβ,??sin(α β)=s inαco sβ cosαsin β。? tan(α β)= .)tan1(t??定理 7 和差化積與積化和差公式:sinα+sinβ=2s in cos ,???????2?????????sinαsinβ=2sin cos ,cosα+cos β=2cos cos ,??????2?????? cosαcosβ=2sin sin ,????sinαco sβ= [sin(α+β)+s in(α β)],21cosαsinβ= [sin(α+β)sin(α β)],21cosαcos β= [cos(α+β)+ cos(αβ)],sinαsinβ= [cos(α+β) cos(αβ)].定理 8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α =cos2αsin 2α=2cos 2α1=12s in2α, tan2α= .)tan1(2??定理 9 半角公式:sin = ,cos = ,??????2)co1(?????????2)cos1(???tan = =??????2)cos1(??.in)s(i?定理 10 萬(wàn)能公式: , ,??????2tain?????????2ta1cos2?.2tan1t?????????定理 11 輔助角公式：如果 a, b 是實(shí)數(shù)且 a2+b2 0，則取始邊在 x 軸正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)?(a, b)的一個(gè)角為 β，則 sinβ = ,cosβ= ，對(duì)任意的角 ?2?asinα+bcos α= sin(α+β).)(2定理 12 正弦定理：在任意△ABC 中有 ，其中 a, b, c 分別是RCcBbAasinisin??角 A，B，C 的對(duì)邊，R 為△ABC 外接圓半徑。定理 13 余弦定理：在任意△ABC 中有 a2=b2+c
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