矩陣的逆和分塊ppt課件(已修改)
2025-04-03 05:57 本頁面
【正文】 矩陣的逆 第一章（ H） (H) 矩陣的逆 逆矩陣的概念和性質(zhì) 定義 對(duì)于 階矩 ，如果有一個(gè) 階矩陣 則說矩陣 是可逆的，并把矩陣 稱為 的 逆矩陣 . n AB ,EBAAB ??B AnA,使得 .1?AA 的逆矩陣記作例 設(shè) ,21212121,1111 ?????????????? ?? BA,EBAAB ??? .的一個(gè)逆矩陣是 AB?(H) 矩陣的逆 注：矩陣運(yùn)算中 E相當(dāng)于“ 1” ,逆矩陣相當(dāng)于“倒數(shù)”。 可逆矩陣必定是個(gè)方陣 問題：逆矩陣唯一嗎？ 定理 若 矩陣 可逆則 。 A 0?A證明 若 可逆， A .EAAA ??? 11 使即有,11 ??? ? EAA故 .0?A所以(H) 矩陣的逆 定理 若 則矩陣 可逆。 0?A A定義 行列式 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 所 構(gòu)成的如下矩陣 A ijA????????????????nnnnnnAAAAAAAAAA???????212221212111稱為矩陣 的 伴隨矩陣 . A如： A = 1 24 9230。232。231。246。248。247。2 180。 2A * =230。232。231。246。248。247。2 180。 29 24 1觀察： A*第 j列的元素是哪些代數(shù)余子式？ 性質(zhì) .EAAAAA ?? ??證明 ? ?,ijaA ?設(shè) ? ?,ijbAA ??記 則 jninjijiij AaAaAab ???? ?2211= a ik A jkk =1n229。(G) 矩陣及其運(yùn)算 ,ijA??A A * =| A | 00 | A |230。232。231。231。231。246。248。247。247。247。,即： 定理 若 則矩陣 可逆。 0?A A證明： A *| A |230。232。231。246。248。247。 A = E = AA *| A |230。232。231。246。248。247。由于 ，故 。 0?AQ1,假設(shè) n階矩陣 A可逆， A*=___A 。 Q2, 若 n階矩陣 A的行列式 |A|=D,則｜ A* |＝ ____? 1,1??? EBA ,0?A故,1存在因而 ?A 于是 EBB ? ? ?BAA 1?? ? ?ABA 1??EA 1?? .1?? AA B = E 222。 B = A 1 .推論 :方陣 證明 ? ? ? ? .,1 111 AAAA ???? 且亦可逆則可逆若逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) (H) 矩陣的逆 ? ? 且可逆則數(shù)可逆若 ,0,2 AA ?? ?? ? 且亦可逆則為同階方陣且均可逆若 ,3 ABBA? ? ??1AB B 1? 1?A? ? .1 11 ?? ? AA ??? ? .1212 ?? ? AA ??推廣 1A mA 1?mA 1?1A? ? ? ? ? ? .,4 AAAA T ?且亦可逆則可逆若 T T1? 1?? ? .AA,A 115 ?? ?則有可逆若 A 185。 0 , d e f : A 0 = E , A k = A 1( ) k .Q,diag(1,2,3,4,5)的逆矩陣是 ___? A B( ) B 1A 1( )1?? AEA ,1 EAA ?? ?? ?.111 ??? ?? ABAB證明 (H) 矩陣的逆 = A B B 1( ) A 1? ? 且亦可逆則為同階方陣且均可逆若 ,3 ABBA? ? ??1AB B 1? 1?A? ? ? ? ? ? .,4 AAAA T ?且亦可逆則可逆若 T T1? 1?? ? ? ?TTT AAAA 11 ?? ?? TE? ,E?? ? ? ? .11 TT AA ?? ??? ? .,0,10 kk AAEAA?? ??? 定義時(shí)當(dāng)另外證明 ? ?為正整數(shù)k? ? .AA,A 115 ?? ?則有可逆若證明 EAA ?? 1? 11 ?? ?AA .AA 11 ?? ?因此例 1 求方陣 的逆矩陣 . ???????????343122321A解 =2,.1存在?? A,234 1211 ??A ,333 1212 ????A逆矩陣的求法 (H) 矩陣的逆 =1 2 30 2 50 2 6=1 2 30 2 50 0 1同理可得 ,2,6,6,2 23222113 ????? AAAA,2,5,4 333231 ????? AAA,222563462????????????????A得故 ?? ? AAA11???????????????22256346221 .11125323231?
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