【正文】 第四章 隨機變量及其分布 ? 重點 隨機變量的概念 分布函數(shù)的概念 第一節(jié) 隨機變量及分布函數(shù) 本章，將用隨機變量表示事件，以便于采用高等數(shù)學的方法描述、進而研究隨機現(xiàn)象。 在前面的學習中 ,我們用字母 A、 B、 C...表示事件，并視之為樣本空間 的子集； ? 若能將樣本空間數(shù)量化 ,即用數(shù)字來表示試驗的結果 ,將會帶來很大的方便 ,更便于用數(shù)學方法和工具來研究隨機現(xiàn)象。 ? 有些隨機試驗的結果本來就可以用數(shù)量來表示 . （ 1） 在擲骰子試驗中 ,結果用 1,2,3,4,5,6來表示； 例如 : 擲硬幣試驗 ,其結果是用漢字“正面”和“反面”來表示的 可規(guī)定 : 用 1表示 “正面”，用 0 表示“反面” ? 有些隨機試驗的結果不是用數(shù)量來表示，但可數(shù)量化 例如 （ 2）抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù) 例 設箱中有 10個球，其中有 2個紅球， 8個白球；從中任意抽取 2個 ,觀察抽球結果。 取球結果為 : 兩個白球 。兩個紅球 。一紅一白 特點 ： 試驗結果數(shù)量化了，試驗結果與數(shù)建立了一個對應關系 如果用 X表示抽得的紅球數(shù) ，則 X的取值為 0， 1， 2。此時， “兩只紅球” = “X取到值 2”, 可記為 {X=2} “ 一紅一白” = {X=1}, “ 兩只白球”＝ {X=0} 試驗結果的數(shù)量化 隨機變量的定義 ? 隨機變量 設隨機試驗的樣本空間為 Ω，如果對于每一 個樣本點 ，均有唯一的實數(shù) 與 之對應，稱 為樣本空間 Ω上 的隨機變量。 ? ?? ()X ?()XX ?? 例如 : 擲硬幣試驗 ,其結果是用漢字“正面”和“反面”來表示的 可規(guī)定 : 用 1表示 “正面” ，用 0 表示“反面” 1???? 2“ 正 面 ” ， “ 反 面 ”則 ? ? ? ?121 , 0XX????為簡便起見，今后我們將事件 ? ? ? ?()A X a X a??? ? ?記 為 關于隨機變量的研究，是概率論的中心內容。前面我們所學的隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點。 可以看出，隨機事件這個概念是包容在隨機變量這個更廣的概念之內。如數(shù)學中常量與變量的區(qū)分那樣，變量概念是高等數(shù)學有別于初等數(shù)學的基礎概念。同樣，概率論能從一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎概念就是隨機變量。 ?某燈泡廠所產(chǎn)的一批燈泡中燈泡的壽命 X。 ?某電話總機在一分鐘內收到的呼叫次數(shù) Y. ?在 [0， 1]區(qū)間上隨機取點，該點的坐標 X. X 的可能取值為 [0,+?) Y 的可能取值為 0， 1， 2， 3， ...,M X 的可能取值為 [0， 1]上的全體實數(shù)。 ? 例 隨機變量的實例 隨機變量根據(jù)其取值方式的不同，通常分為兩類：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量。后面將分別進行講述。 ? 隨機事件通常都可以用 X的不同取值來表示 . “出現(xiàn)的點數(shù)大于 2小于 6”可表示為： {3? X?5} 如在擲骰子試驗中，用 X表示出現(xiàn)的點數(shù) ,則 “出現(xiàn)偶數(shù)點”可表示為： {X=2}? {X=4} ?{X=6} “出現(xiàn) 2點”可表示為： {X=2} 對于有關求隨機變量的問題，通常要解決兩點： 在一道題目當中隨機變量可能取些什么值？ 隨機變量取這些值以及隨機變量屬于數(shù)軸上 任一集合 S（即 ）或區(qū)間的概率是多少？ ? ?XS? 若解決了這兩個問題（即對任 都知道），就說確定了隨機變量 X的概率分布。 ? ?,S P X S?例 設袋中裝著標有 1,2,2,2,3,3數(shù)字的六個球。從中任 取一個，用 X表示取得的球號，求 X取任一數(shù)字的概 率及 的概率。 52PX???????解 X可能的取值為 1， 2， 3，根據(jù)古典概率計算公式 : ? ? 11 6PX ? ? ? ? ? 312 62PX ? ? ? ? ? 213 63PX ? ? ?52PX???????1162??23?一般地， X落在某區(qū)間 上的概率可以表示為： 12( , ]xx? ? ? ? ? ?1 2 2 1P x X x P X x P X x? ? ? ? ? ? 因此，對于一切 ，只要算出概率 ，就能算出 X落在任意區(qū)間 的概率了，也就相當于找到了 X的概率分布。 x ? ?P X x?12( , ]xx 因當 確定時，概率 就有確定的對應 值，因而 是 的函數(shù)。記作： x ? ?P X x?? ?P X x? x? ?()F x P X x?? ? ?( , 0 , 1 )x? ? ? ? ? ? 值 域 稱 為隨機變量 X的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。 ? ?Fx本質上是一個累積函數(shù)。 例（前）設袋中裝著標有 1,2,2,2,3,3數(shù)字的六個球。從中任取一個，用 X表示取得的球號，求 X的分布函數(shù)。 解 X： 1， 2， 3 P： 1 1 1,6 2 3x 1 0 2 3 x x x x 1x ??當 時， ? ?Xx? 是不可能事件， ? ? ? ? x P X x? ? ? ?當 時， 12x? ? ? ? ?Xx? ? ?1,X ??就 是 ? ? 1.6Fx??23x??當 時， ? ?Xx? ? ?1 2 ,XX? ? ?就 是 或? ? 1 1 2 .6 2 3Fx? ? ?