【正文】 多元統(tǒng)計分析 —— 期末復習 )}()(21e x p {||)2( 1 1212 ??? ?????? ? XX Tn f (x1,x2, …, xn) 則稱 X服從 n元正態(tài)分布 . 其中 ∑是 (X1,X2, …, Xn) 的協(xié)方差矩陣 . | ∑ |是它的行列式， 表示 ∑ 的逆矩陣， 1??X和 是 n維列向量， 表示 X的轉置 . ?TX 設 =(X1,X2, …, Xn)是一個 n維隨機向量 , 若它的概率密度為 X?多元正態(tài)分布 推論 1 niNXXXX iipin ,. .. ,2,1,),(~,. .. , )()()2()1( ???相互獨立，且設),(~1211???????niiiiniiniii KKNXK ?有則對于任意的 , .. . , 21 nKKK也為一元正態(tài)變量，為一元正態(tài)變量，而知由性質，則對任意的向量證：只需取????niiTiTTnXpiXXXXX1)()()()2()1(, . . . ,2,13), . . . ,(???維正態(tài)分布服從知由性質 PXKYniii???1)(3也為一元正態(tài)變量，注意到 YXKXK TniiiTniiTi ??? ??????1)(1)( ??????????niiiniiiniii KXKEXKEYE11)(1)( )()()( ?而，?????????????niiiniiiniiiniiiKXDKXKDXKDYD121)(21)(1)()()()()(獨立??????niiiniii KKNY121),(~ ?)1,(1,),(~,. .. ,31)()()2()1(????? nNXnXNi i dXXXpniipn??～證明設例則可＝＝＝＝分析：利用推論，當取 ,1,...,21nKKK n).(~,0,),(~521 nXXNXTp????）（）（則設性質???????).,(~),. .. ,(212121IONXYYYYXYpTp）（）（令證：????????????)1,0(~, .. ., 21 NiidYYY p即）（）＝（）（）（而 ???? ??????? ??? XXXX TTT 21211 )(YYXX TTT ????? ?? ]][)([ 2121）（）（＝ ??).(~. .. 222221 pYYY p ????＝的密度函數為定義 TpXXXX ),. .. ,( 21?)]()(21e xp[)2(1),( 121212????????? ? xxxxxf Tp p?~ ( , )X p X N ? ?則 稱 服 從 維 正 態(tài) 分 布 ， 記 為參數 的 極大似然估計 ？ 估計量的性質： 1無偏性 2有效性 若 的某個無偏估計 是 的所有無偏估計中最有效的一個，即有 ，則稱為的有效估計。 ,? ?()E ???( ) ( ) ,VV? ? ?? ? ?? ??1,xAn? ? ? ?定理 則依據上假設有： ),(~ 11)1()1( 1 ??pNX ),(~][ )1()2( 2 ??PNXX1~ ( , ) ,pX N X X?????（ ）設 對 任 一 分 量 的 邊 緣分 布 都 是 正 態(tài) 分 布 ， 它 的 均 值 、 方 差 、 協(xié) 方 差可 以 通 過 選 取 、 的 適 當 分 量 獲 得 ， 而 其 剩 余 的分 量 部 分 的 條 件 分 布 也 為 正 態(tài) 分 布 。 ?????? ?＝)( )1()1(11121)2( ??? ????? ? X其中，),(~][ )2()1( 1 ??PNXX同理211 ???????＝ )( )2()2(12212)1( ??? ????? ? X其中，),(~ 22)2()2( 2 ??pNX例 1 21 1 1 22 22 1 2 2~ ( , ) ,XN? ? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ? ? ?????? ??21設 其 中試 求 在 給 定 x 時 x 的 條 件 分 布1( 1 ) ( 2 ) 1 . 2 . 1 1 . 2[ ] ~ ( , )PX X N ? ?注 )( )2()2(12212)1( ??? ????? ? X其中， ?????? ?＝1 2 1 1 . 2 . 1 1 . 2[ ] ~ ( , )x x N ? ?( 1 ) 1 ( 2 ) ( 1 ) 2 1 ( 2 )1 2 1 . 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )E x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 2 111 . 2 11 12 22 21 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?＝( 1 ) ( 2 )111 2 222( ) ( )E x x x??? ? ? ???? ? ?221 (1 )????( 1 ) ( 2 ) 2 2111 2 1 2 122[ ] ~ ( ( ) , ( 1 ) )x x N x??? ? ? ? ? ?? ? ? 例 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ),( , ) ,X X X? ?p設 , 是 獨 立 的 P 元 正 態(tài) 向 量服 從 N 令 ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 1 )1 2 3y X X y X X y X X? ? ? ? ? ?,1 2 1 2 3試 求 yy 和 y (y ,y ) 的 分 布 .320 2 20 ~ 2 , 20 2 2PIII I Ny I I????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????(1)1(2)2(3)解 : 由yXyXX 12試 求 yy 的 分 布 .222~,PN??? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ???? ? ? ??? ??12yy1 2 1 . 2 1 1 . 2[ ] ~ ( , )Py y N ? ?21若 在 給 定 y 下 y 的 條 件 分 布11. 2 1 12 22 2 2()y? ? ??? ? ? ? ?而122 ( 2 ) ( 2 )y???? ? ? ? ?212y???11 1 . 2 1 1 1 2 2 2 2 1?? ? ? ? ? ?＝1 3( 2 )2?? ? ? ? ? ? ?＝ 2???1 2 P 213y y N ( + y , ) .22 1 2 3試 求 y (y ,y ) 的 分 布 .1 2 3 1 . 2 1 1 . 2[ ( , ) ] ~ ( , )Py y y N ? ?2 3 1若 在 給 定 ( y , y ) 下 y 的 條 件 分 布11. 2 1 12 22 2 2()y? ? ??? ? ? ? ?而? ?123222 ( ) . . .22yy?????? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???11 1 . 2 1 1 1 2 2 2 2 1?? ? ? ? ? ?＝? ?12...2?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?＝ 23222~ 2 , 222PNy???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ???12yy 定理 1 正態(tài)向量 的兩 (多 )個獨立部分量的邊緣分布遵從正態(tài)分布。 不妨設 TpppTp xxxXxxxXXXX ),... ,(,),... ,(