一個(gè)幾何模型在中考題中及變式拓展(已修改)
2025-01-19 20:51 本頁面
【正文】 1 一個(gè)幾何模型在中考題中的變式拓展 卜以樓 1 一個(gè)幾何模型及其變式 1． 1 基本模型 已知，點(diǎn) M、 N在直線 AB的異側(cè)，在 AB找一點(diǎn) P，使 P點(diǎn)到點(diǎn) M、 N的距離和最小 . 對(duì)于這樣一個(gè)問題，我們只要連接 M、 N交直線 AB于點(diǎn) P（圖 1），則點(diǎn) P就是要所求作的點(diǎn)． 該問題的本質(zhì)是，已知兩個(gè)定點(diǎn)和一條定直線，并且兩定點(diǎn)在定直線的異側(cè)，那么，在定直線上必存在一點(diǎn)，到兩定點(diǎn)的距離和最小 .我們把該問題稱為本文要討論的“基本模型” . 1． 2 變 式模型 已知，點(diǎn) M、 N在直線 AB的同側(cè)，在 AB找一點(diǎn) P，使 P點(diǎn)到點(diǎn) M、 N的距離和最小 . 對(duì)于這樣一個(gè)問題，我們只要將 M、 N在 AB的同側(cè)轉(zhuǎn)化成在 AB的異側(cè)即可 .因此，可找出 M、 N中的某一點(diǎn)關(guān)于直線 AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)交直線 AB于點(diǎn) P（圖 2），則點(diǎn) P就是要所求作的點(diǎn) . 該問題的本質(zhì)是，已知兩個(gè)定點(diǎn)和一條定直線，并且兩定點(diǎn)在定直線的同側(cè)，那么，在定直線上必存在一點(diǎn)，到兩定點(diǎn)的距離和最小 .我們把該問題稱為本文要討論的“變式模型” . 解決“基本模型”和“變式模型”的思想方法，就是將線段 PM， PN首尾相連在同一條直線上，根據(jù)“兩點(diǎn)間線段最短”可得到問題的答案 . 2． 基本模型的拓展 * 原載于《中學(xué) 數(shù)學(xué) 》（初中）（湖北大學(xué)，湖北省數(shù)學(xué)會(huì) ）， 2022 年第 6 期。 NMBAP圖 1NPMM′BA圖 2′圖 2 例 1 （ 09年佛山市中考題 ）如圖 3，一個(gè)長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角 A 處沿著木柜表面爬到柜角 1C 處． （ 1）請(qǐng)你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑； （ 2）當(dāng) 14 4 5AB BC C C? ? ?， ，時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長； （ 3）求點(diǎn) 1B 到最短路徑的距離． 分析 本題將“基本模型”拓展到空間圖形中了，因 此，只要將空間圖形化為平面圖形即可． （ 1）如圖 4，木柜的可見表面展開圖是兩個(gè)矩形 11ABCD? 和 11ACCA ．螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的 11AC? 和 1AC ． （ 2）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段 11AB 到 1C ，爬過的路徑的長221 4 ( 4 5 ) 9 7l ? ? ? ?． 螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段 1BB 到 1C ，爬過的路徑的長是 222 ( 4 4 ) 5 8 9l ? ? ? ?． 12ll? ，最短路徑的長是 2 89l ? ． （ 3）作 11BE AC? 于 E ，則 111 1BCBE AC?1 489AA? 205 8989? 為所求． 點(diǎn)評(píng) 本題的的背景有趣，模型簡單．但是，解決問題要建立在有一定空間想像力基礎(chǔ)上，并且還要有根據(jù)空間圖形畫出平面圖形的能力，輔之于必要的算法算理，方能達(dá)到目的
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