【正文】 第 7章 自適應濾波及其應用 本章內(nèi)容 ? 一、自適應濾波的基本概念 ? 二、橫向自適應濾波器結構與隨機梯度法 ? 三、自適應濾波的最小均方算法 ? 四、自適應濾波器的遞歸最小二乘法 ? 五、自適應濾波器在醫(yī)學信號分析處理中的應用 自適應濾波的基本概念 ? 自適應濾波或自適應濾波器是信號處理領域的一個重要分支。自適應濾波器是一種能夠根據(jù)輸入信號自動調(diào)整自身性能并進行數(shù)字信號處理的數(shù)字濾波器，其本質(zhì)特點是具有自學習和自調(diào)整即所謂自適應的能力。 ? 自適應濾波器的原理如圖 。 橫向自適應濾波器結構與隨機梯度法 .橫向自適應濾波器 橫向自適應濾波器是一類基本的自適應濾波器形式，一般分為單輸入和多輸入兩種結構。 在圖 ，自適應濾波器的權矢量為 () 單輸入結構，輸入信號矢量 來自單一的信號源，即 ( ) 對于多輸入結構的輸入信號矢量來自 M+1個不同的信號源，即 () ? ? ? ? ? ? ? ?? ?TM nnnnw ??? . ..10?? ? ? ? ? ? ? ?? ?TMnxnxnxnx ??? . ..1? ? ? ? ? ? ? ?? ?TM nxnxnxnx .. .10?輸入信號矢量 與濾波器權系數(shù)矢量 相乘 形成了時刻 n的輸出信號，即 () 自適應系統(tǒng)的誤差信號則為 ? () ? ?nx ? ?nw? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nxnwnwnxny TT ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nwnxndnxnwndnyndneTT ??????? 當輸入信號為平穩(wěn)隨機序列時，對式（ ）兩邊平方，并取數(shù)學期望，可得 （ ） 定義輸入信號的自相關矩陣 R為 () ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?nwnxndnwnxnxnwndne TTT ??????? 222? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????????????????????????MnxnxMnxnxMnxMnxnxnxnxnxMnxnxnxnxnxnxnxR T222. . .1...1. . .11. . .1? 或者 () ? 式（ ）對應單輸入的情況，是（ ）對應多輸入的情況。 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????????????nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxRMMMMMT210110101020. . ..... . .. . .? 自適應濾波器的性能函數(shù) ? 習慣上稱均方誤差 為自適應濾波器的性能函數(shù)，并記為 、 J或 MSE，即 MSE= =J= () 圖 ，通常稱性能函數(shù)曲面為自適應濾波器的性能表面。 f? ?? ?ne2??? ? ?? ?ne2? ? 所謂在性能表面的搜索，其目的是找出性能函數(shù)最小值，并由此得到這個最小值的最佳權矢量，在數(shù)學上是利用導數(shù)求取曲線和曲面極值的問題。對于性能函數(shù)來說，需求其梯度，再根據(jù)二次型的性質(zhì)，當梯度值為 0時，即對應著性能函數(shù)的最小值。 ? 1. 牛頓法 ? 牛頓法是求 的數(shù)學方法。假定 為變量 x的一元函數(shù)，牛頓法的求解過程是由初始估值 開始，利用 的一階導數(shù)在 點的值來計算新值 ，即 （ ） ? 然后，利用 來計算 。迭代公式為 （ ） ? ? 0?xf ? ?xf0x ??xf 0x1x1x? ?? ?039。 001 xfxfxx ???,1,0,)(39。 )(1 ???? kxf xfxxkkkk1x 2x? 通常用式 （ ） 對導數(shù)值進行估計，即 （ ） ? 這樣，牛頓法可以表示為 （ ） ? 注意，分母不能為零。 ? ? ? ? ? ?1139。?????kkkkk xxxfxfxf? ? ? ? ? ? ,....1,0,111 ???????? kxfxfxfxxxxkkkkkkk? 利用牛頓法搜索性能表面，實際上是尋找性能函數(shù)的最小值，即其一階導數(shù)（或梯度）為零的點。定義 為性能函數(shù)第 m個權系數(shù)的一階導數(shù)，則權系數(shù)的迭代公式為 （ ） ? 其中， 和 分別為均方誤差函數(shù)相對于第 m個權系數(shù)的一階二階導數(shù)。 ? ? Mmm , . . . ,1,0,39。 ???? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? MmnnnnmmmM ,... ,1,0,39。39。39。1 ??????????? ?? ?nm?? 39。 ? ?? ?nm?? 39。39。? 考慮矢量形式，性能函數(shù)的梯度可以表示為 （ ） ? 其性能函數(shù)的二階導數(shù)為 （ ） ? 另一方面，已知均方誤差性能函數(shù)的梯度表示為 （ ） ? ? ? ?? ?TMnwn ?????????????????????? ...39。10? ? ? ?? ?TMnwn ???????????????22212202...39。39。39。 ? ?? ?? ??? ? ? ? pnRwn 22 ??? ? 用 左乘上式兩邊，并根據(jù) ，有 （ ） ? 寫成自適應迭代形式，有 （ ） ? 這表明，當性能函數(shù)為二次型函數(shù)時，牛頓法經(jīng)過一步迭代就可以達到最佳 。 121 ?R pRw