算法合集之淺析二分圖匹配在信息學競賽中的應用(已修改)
2025-10-23 20:32 本頁面
【正文】 淺析二分圖匹配 在信息學競賽中的應用 長郡中學 王俊 引言 二分圖匹配是一類經(jīng)典的圖論算法，在近年來信息學競賽中有廣泛的應用。 二分圖和匹配的基礎知識已經(jīng)在前輩的集訓隊論文中有過介紹，本文主要通過一道例題研究其應用。 [例題 ] Roads eeeEf C D????請求出修改的最小代價。 給定一個無向圖 G0=（ V0， E0， C）， V0為頂點集合 ,E0為邊集合（無重邊）， C為邊權（非負整數(shù)）。設 n= |V0|， m= |E0|， E0中前 n1條邊構成一棵生成樹T。請將邊權進行如下修改，即對于 e∈ E，把 Ce修改成 De（ De也為非負整數(shù)），使得樹 T成為圖 G的一棵最小生成樹。修改的代價定義為： 4 1 5 2 3 4 6 2 2 3 5 7 4 1 5 2 3 4 4 2 4 3 3 4 f=|64|+|22|+|53|+|74|+|33|+|24|+|44|=9 初步分析 ? 根據(jù)與樹 T的關系 ,我們可以把圖 G0中的邊分成樹邊與非樹邊兩類。 ? 設 Pe表示邊 e的兩個端點之間的樹的路徑中邊的集合。 初步分析 如右圖， u∈ T， t1， t2， t3∈ T，且 t1， t2， t3連接了 u的兩個端點，所以Pu={t1， t2， t3}。 / ? 那么用非樹邊 u代替樹邊 t1，t2， t3中任意一條都可以得到一棵新的生成樹。 ? 而如果 u的邊權比所替換的邊的邊權更小的話，則可以得到一棵權值更小的生成樹。 ? 那么要使原生成樹 T是一棵最小生成樹，必須滿足條件： Dt1≤ Du ； Dt2≤ Du ； Dt3≤ Du u t1 t2 t3 初步分析 如果邊 v， u(u可替換 v)，則必須滿足 Dv≤ Du ， 否則用 u替換 v可得到一棵權值更小的生成樹 Tv+u 。 / 對邊 v， u如果滿足條件 u∈ T ， v∈ Pu， 則稱 u可替換 v。 初步分析 不等式 Dv≤Du中 v總為樹邊 ， 而 u總為非樹邊。 那么顯然樹邊的邊權應該減小 (或不變 )，而非樹邊的邊權則應該增大 (或不變 )。 設邊權的修改量為 Δ，即 Δe=|De－ Ce| / 當 e∈ T， Δe=De－ Ce, 即 De=Ce＋ Δe 當 e∈ T， Δe=Ce－ De，即 De=Ce－ Δe 初步分析
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