【正文】 第三章 最佳逼近 最佳逼近問題 函數的最佳平方逼近 數據擬合的最小二乘法 167。 1 最佳逼近問題 一、函數的逼近方法 關于函數的 n次多項式逼近方法，已知有下面的幾種： 1. Taylor展式： 10)1(00)(000)()!1()()(!)())(()()(????????????nnnnxxnfxxnxfxxxfxfxf??如果 nnxxn xfxxxfxfxf )(! )())(()()( 00)(000 ??????? ?誤差為 10)1()()!1( )()( ????? nnn xxnfxR ?2. 插值多項式 ),(),()!1( )()( 1)1(baxnfxR nnn ??? ?????? ???? ?????????????njjijinjiin yxxxxxL0 0)( 同為 n 次多項式，哪一個逼近效果更好呢？這時可以建立一個度量標準來進行度量。在所建立的度量標準之下，就可以給出最佳的 n 次逼近多項式。 除了用多項式來逼近一個函數 f(x) ,也可以用其它具有某種的特征的函數來逼近 f(x) ， 并求出其最佳逼近。 3. 最佳逼近問題 給定函數空間 X 中的一個子集合 ，尋求 X 中的 函數 f(x) 在 中關于某個度量標準下的最佳逼近元 p(x), 稱作最佳逼近問題。 ??X )( xf??)( xp?0? 本章我們主要考慮連續(xù)函數空間 X=C[a,b]上的最佳逼近問題，這時的子集合 可以取為由具有某種共同特征的函數組成，例如三角函數、指數函數、分式有理函數、多項數函數等。 ? 同時，還需要給出連續(xù)函數 空間上的一個度量標準，下面通過內積給出平方范數。 二、連續(xù)函數的平方范數 已知所有連續(xù)函數構成的集合 C[a,b]是一個線性空間，對于 C[a,b]中的任意函數 、 ，定義實數 )(xf )(xg?? ba dxxgxfgf )()(),(可以證明此實數滿足性質： )。,(),().1( fggf ?。),(),().2( Rfggf ?? ???)。,(),(),().3( hghfhgf ???.00,0),().4( ??? ），時，（當且僅當 fffff),( gf這時，稱 為 與 的內積。 )(xf )(xg（ 1） ，當且僅當 ， ； 02 ?f 0?f 02 ?f22 fccf ?（ 2） 222 gfgf ???（ 3） 為函數 的平方范數， )(xf 且滿足以下性質： 給出了函數的范數，便給出了函數的一個度量標準，在此度量標準之下，就可以找出 在不同函數類中的最佳逼近。下面就來考慮這一最佳逼近問題的解決。 )(xf? ? ??? ba dxxffff )(, 22并稱 （ ） 167。 2 函數的最佳平方逼近 一、公式的推導 對 于連續(xù)函數空間 C[a,b] 中的元素 f(x) 及其子空間 )}(,),(),({ 10 xxxsp a n n??? ???所謂 f(x) 在 中的最佳 平方 逼近，就是存在 ?nnn cccxp ??? ???? ???? ?1100)(使得對于一切 ?????? nnn cccxp ??? ?1100)(22* )()()()( xpxfxpxf nn ???都有： 22* )()()()( xpxfxpxf nn ???不等式 說明，所求的 nnn cccxp ??? ???? ???? ?1100)(滿足等式： 而 nnn cccxp ??? ???? ?1100)(22* )()(m i n)()( xpxfxpxfnpnn??? ??() 是由系數 唯一確定的，因此，只要我們求出了滿足 ()的 ，就可以求出f(x)最佳平方逼近 。 nccc , 10 ?nccc , 10 ?2210 )()(),( xpxfcccI nn ???令 ? ????baniii dxxcxf20])()([ ?() 則 ? ?????? ?? baniiin dxxcxfcccI2010 ])()([),( ??22* )()(m i n)()( xpxfxpxfnpnn??? ??這時等式 () 意味著 ),(m i n),( 10),(10 ncccIcccIi?????????? ?() 也就是說，求出滿足等式 ()的 ，等價于求出滿足等式 ()的 。 )( xpn???? nccc , 10 ? 由 ()可知 是 n+1元函數 ()的最小值點。 ??? nccc , 10 ?而 n+1元函數 ? ????baniiin dxxcxfcccI2010 ])()([),( ??在區(qū)間 上具有一階連續(xù)導函數，因此根據極值原理，在最小值點 處： ),( ??????? nccc , 10 ?nkcIk,2,1,0,0 ?????dxxxcxfcIkbaniiik)()]()([20??? ???????而 于是 0)()()()([0??? ???dxxxcdxxxf kbaba iniik ???即 ??? ??ba kkba inii dxxxfdxxxc )()()()(0???),()()( kiba ki dxxx ???? ??nkdxxxfdxxxcba kkba inii,1,0)()()()(0??? ???????利用內積 ),()()( kba k fdxxxf ?? ??可以得到 nkfc kniiki ,1,0),(),(0????????這是一個含有 n+1個變量的方程組，具體形式為： nkfccc knknkk,1,0),(),(),(),( 1100??????? ???????再寫成 ???????????????????????????????????????),(),(),()()()()()()()()()(1010,1,01,1,11,00,0,10,0nnnnnnnnfffccc?????????????????????????????????????????????????