【正文】 基于 小波變換的 數(shù)字 圖像處理 摘 要： 本文先介紹了小波分析的 基本理論， 為 圖像處理 模型的構(gòu)建奠定了基礎(chǔ)， 在此基礎(chǔ)上提出了小波分析在 圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合， 圖像增強(qiáng) 等圖像處理方面的應(yīng)用 ,最后在 MATLAB 環(huán)境下 進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了小波變化在圖像處理方面的優(yōu)勢(shì)。 關(guān)鍵詞 ： 小波分析；圖像壓縮；圖像去噪；圖像融合； 圖像增強(qiáng) 引 言 數(shù)字 圖像處理是利用計(jì)算機(jī)對(duì)科學(xué)研究和生產(chǎn)中出現(xiàn)的數(shù)字化可視化圖 像信息進(jìn)行處理，作為信息技術(shù)的一個(gè)重要領(lǐng)域受到了高度廣泛的重視。 數(shù)字化圖像處理的今天，人們?yōu)閳D像建立數(shù)學(xué) 模型并對(duì)圖像特征給出各種描述，設(shè)計(jì)算子，優(yōu)化處理等。迄今為止，研究數(shù)字圖像處理應(yīng)用中數(shù)學(xué)問(wèn)題的理論越來(lái)越多，包括概率統(tǒng)計(jì)、調(diào)和分析、線性系統(tǒng)和偏微分 方程等。 小波分析，作為一種新的數(shù)學(xué)分析工具，是 泛函分析、傅立葉分析、樣條分析、調(diào)和分析以及數(shù)值分析理論的完美結(jié)合，所以小波分析具有良好性質(zhì)和實(shí)際應(yīng)用 背景，被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)視覺(jué)、圖像處理以及目 標(biāo)檢測(cè)等領(lǐng)域，并在理論和方法上取 得了重大進(jìn)展 ，小 波分析在圖 像處理及其相關(guān)領(lǐng)域所發(fā)揮的作用也越來(lái)越大。 在傳統(tǒng)的傅立葉分析中，信號(hào)完全是在頻域展開(kāi)的，不包含任何時(shí)頻的信息，其 丟棄的時(shí)域信息可能對(duì)某些應(yīng)用同樣非常重要，所以人們對(duì)傅立葉分析進(jìn)行了推廣，提出了很多能表征時(shí)域和頻域信息的信號(hào)分析方法，如短時(shí)傅立葉變換， Gabor 變換，時(shí)頻分析，小波變換等。 但短時(shí)傅立葉分析只能在一個(gè)分辨率上進(jìn)行， 所以對(duì)很多應(yīng)用來(lái)說(shuō)不夠精確，存在很大的缺陷。而小波分析則克服了短時(shí)傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，在時(shí)域和頻域都有表征信號(hào) 局部信息的能力，時(shí)間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號(hào)的具體形態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整 。 本文介紹了小波變換的基本理論，并介紹了一些常用的小波函數(shù)，然后研究了小波分析在圖像處理中 的應(yīng) 用，包括圖 像壓縮，圖像去噪，圖像融合， 圖像增強(qiáng)等 ,本文 重點(diǎn)在圖像去噪， 最后用 Matlab 進(jìn)行了仿真 [1]。 1 小波分析 理論 小波分析的思想最早出現(xiàn)在 1910 年 Haar 提出了小波規(guī)范正交基。 1981 年，Stromberg 對(duì) Haar 系進(jìn)行了改造，為小波分析奠定了基礎(chǔ)。 1986 年 Meyer 和 Lemarie提出了多尺度分析的思想。后來(lái)信號(hào)分析專家 Mallat 提出了多分辨分析的概念，給出了構(gòu)造正交小波基的一般方法，并以多分辨分析為基礎(chǔ)提出了著名的快速小波算法 ——Mallat 算法。 Mallat 算法的提出標(biāo)志著小波理論 獲得突破性 進(jìn)展，從此， 小波分析從理論研究走向了應(yīng)用研究。通過(guò)小波分析，可以將各種交織在一起的由不同頻率組成的混合信號(hào)分解成不同頻率的塊信號(hào)，能夠有效地解決諸如數(shù)值分析、信號(hào)分析、圖像處理、量子理論、地震勘探、語(yǔ)音識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、 CT成像、機(jī)械故障診斷等問(wèn)題。 小波及小波變換 小波的核心作用是用小波及其伸縮和平移來(lái)表示 函數(shù)和信號(hào)，不但具有局部化時(shí)頻分析能力，而且時(shí)間分辨率和頻率分辨率均可以調(diào)整。 定義：設(shè) )()( 2 RLt ?? ,其傅立葉變換為 )(??? ，當(dāng) )(? ?? 滿足允許條件（完全重構(gòu)條件或恒等分辨條件） ??RdC ????? 2)(? ? 時(shí)，我們稱 )(t? 為一個(gè)基本小波或母小波。將母函數(shù) )(t? 經(jīng)伸縮和平移后得 )(1)(, a btatba ?? ?? 0。, ?? aRba 稱其為一個(gè)小波序列。其中 a 為伸縮因子， b為平移因子。 對(duì)于任意的函數(shù))()( 2 RLtf ? 的連續(xù)小波變換為 dta bttfafbaWRbaf)()(,),( 2/1, ????? ?? ?? 其重構(gòu)公式（逆變換）為 ? ????????? dad ba btbaWaCtf f )(),(11)( 2 ?? 把連續(xù)小波變換中的尺度參數(shù) a和平移參數(shù) b進(jìn)行離散化： jaa 0? ， 00bkab j? ，其中 Zj? ,為了方便起見(jiàn)，總是假設(shè) a00，則得到離散小波函數(shù) )()()(002/00 002/0, kbtaaa bkatat jjjjjkj ???? ??? ??? 相應(yīng)的離散小波變換 dtkbtatfatfbaW jRabaf )()()(,),( 002/0, ????? ?? ? ?? 其重構(gòu)公式為 )(,)()()()(,),( , ,002/0, tftdt fkbtatfatfbaW baZba baaRabaf ???? ?? ??? ???????? 由于基小波 )(t? 生成的小波 )(, tba? 在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀測(cè)窗的作用，所以 )(t? 還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件 ???? dtt)(?〈 ? 故 )(??? 是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。這意味著，為了滿足完全重構(gòu)條件式 , )(??? 在原點(diǎn)必須等于 0，即 0)()0(? ?????? dtt?? 為了使信號(hào)重構(gòu) 的實(shí)現(xiàn)在數(shù)值上是穩(wěn)定的， 除 完全重構(gòu)條件外，還要求小波 )(t? 的傅立葉變化滿足下面的穩(wěn)定性條件： ????? ?? BA j 2)2(? ?? 式中 0〈 A? B〈 ? 。 [3] (1)Haar 小波 Haar 于 1990 年提出一種正交函數(shù)系 ,定義如下： ???????011H? 其它12/12/10????xx 這是一種最簡(jiǎn)單的正交小波，即 0)()( ?????? dxnxt ?? ,2,1???n … (2)Daubechies（ dbN）小波系 該小波是 Daubechies 從兩尺度方程系數(shù) ??kh 出發(fā)設(shè)計(jì)出來(lái)的離散正交小波。一般簡(jiǎn)寫(xiě)為 dbN， N 是小波的階數(shù)。小波 ? 和尺度函數(shù) 中的支撐區(qū)為 2N1。 ? 的消失矩為 N。除 N＝ 1 外 (Haar 小波 )， dbN 不具對(duì)稱性 (即非線性相位 )， 沒(méi)有顯式表達(dá)式 (除 N＝ 1 外 )。但 ??kh 的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達(dá)式。假設(shè) ?????? 101)( NkkkNk yCyP ，其中， kNkC ??1 為二項(xiàng)式的系數(shù)，則有 )2(s in)2(c os)( 2220 ??? Pm N? 其中 ????? 1200 21)( Nkikk ehm ?? (3)SymletsA（ symN）小波系 Symlets 函數(shù)系是由 Daubechies 提出的近似對(duì)稱的小波函數(shù)，它是對(duì) db 函數(shù)的一種改進(jìn)。 Symlets 函數(shù)系通常表示為 symN（ N=2， 3，…， 8）的形式。 雙 尺度 關(guān)系與分解關(guān)系 )(t? 與 )(t? 的兩尺度關(guān)系： ?????????????????????nnnnntqtntpt)2()()2()(?????????????????????????nnnnntqtntpt)2()()2()(???? )(t? 與 )(t? 的分解關(guān)系： 其中 小波進(jìn)行分解與重構(gòu) 兩 尺度函數(shù)的兩 尺度關(guān)系是 由兩尺度關(guān)系，得序列 再由 得 則有小波函數(shù)的兩尺度關(guān)系是 進(jìn)一步得分解關(guān)系 由分解算法 得 由重構(gòu)算法 得 2 圖像處理的模型分析 圖像的數(shù)學(xué)模型 [4] 物體反射或投射的物質(zhì)能量在空間上的分布在數(shù)學(xué)上可以表述為一能量場(chǎng) E(x,y,z,λ ,t)， 其中 x， y， z 表示在幾何空間中點(diǎn)的坐標(biāo) ， λ 為輻射波長(zhǎng)， t 為時(shí)刻。適當(dāng)選取坐標(biāo)系使取圖平面垂直于 z 軸，設(shè)截距為 Z0，圖像可看作只 是記錄在平面 z=z0上 的能量分布 [2]， 實(shí)際中這種物質(zhì)能量的記錄值往往用亮度值表示。 則 )],([),( yxEgyxf ? 式中 x， y 為像平面中點(diǎn)的坐標(biāo)。 圖像的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)二元函數(shù) f(x,y)，它反映了圖像上點(diǎn)坐標(biāo) f(x,y)與該點(diǎn)上的能量值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于一幅灰度照片，它上面點(diǎn)的明暗程度需用不同的數(shù)值代表。圖像在某點(diǎn)處的函數(shù)值稱為圖像在該點(diǎn)的灰度或亮 度。 由于 f 的值是能量的記錄，故其?,2,1,0)}()({)2( 22 ???????? ????? ?? lntbntalt n nlnl ???nnnn hbga ?? ?? 2121 ::)12()2()( ??? ttt ???011, 1pp??,)1( 1???? nnn pq 011, 1qq? ??)12()2()( ??? ttt ???? ?1( 2 ) ( ) ( )2t t t? ? ??? ? ?1( 2 1) ( ) ( )2t t t? ? ?? ? ??????????????l lknlnkl lknlnk cbdcac,12,12,? ?? ?, 0 0 1 , 0 1 1 ,1 1 , 0 1 ,1, 0 0 1 , 0 1 1 ,1 1 , 0 1 ,11212k k k k kk k k k kc a c a c c cd b c b c c c? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ? ???)( 2,2,1 lnlkl lnlknk qdpcc ??? ?? ?1 , 0 , 0 0 , 0 0 , 0 , 0k k k k kc c p d q c d? ? ? ? ?1 ,1 , 0 1 , 0 1 , 0 , 0k k k k kc c p d q c d? ? ? ? ?是非負(fù)有界的實(shí)數(shù)，即 Ayxf ?? ),(0 一幅實(shí)際圖像的尺寸是有 限的，一般定義 (x,y)在某一矩形域中，即有 ??? ??? ???yyxx LyL LxL 圖像處理的小波模型 通常情 況下，圖像處理可以被抽象為一 個(gè)輸入 — 輸出系統(tǒng)，即以各種形式的算符 Q來(lái)對(duì)圖像 F 進(jìn)行處理，算符 Q 的形式?jīng)Q定