【正文】 1 全國(guó) 2020 年 10 月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）試題 課程代碼： 04184 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 10小題，每小題 2分，共 20分） 1．設(shè) A 為 3 階方陣，且3131 ?? A，則 ?||A （ ） A． 9 B． 3 C． 1 D． 9 2．設(shè) A、 B 為 n 階方陣，滿足 22 BA ? ，則必有（ ） A． BA? B． BA ?? C． |||| BA? D． 22 |||| BA ? 3．已知矩陣 A= ???????? ?10 11， B= ???????? 11 01，則 ??BAAB （ ） A． ???????? ?? 12 01 B． ???????? ?10 11 C． ???????? 10 01 D． ???????? 00 00 4．設(shè) A 是 2 階可逆矩陣，則下列矩陣中與 A 等價(jià)的矩陣是（ ） A． ???????? 00 00 B． ???????? 00 01 C． ???????? 00 11 D． ???????? 10 11 5．設(shè)向量 ),(),( 22221111 cbacba ?? ?? ， ),(),( 2222211111 dcbadcba ?? ?? ，下列命題中正確的是（ ） A．若 21,?? 線性相關(guān)，則必有 21,?? 線性相關(guān) B．若 21,?? 線性無(wú)關(guān)，則必有 21,?? 線性無(wú)關(guān) C．若 21,?? 線性相關(guān)，則必有 21,?? 線性無(wú)關(guān) D．若 21,?? 線性無(wú)關(guān)，則必有 21,?? 線性相關(guān) 6．已知????????????????????? 132,121 是齊次線性方程組 Ax=0 的兩個(gè)解，則矩 陣 A 可為（ ） A． )1,3,5( ?? B． ???????? ? 112 135 C． ???????? ? ?712 321 D．??????????????135221121 7．設(shè) m n 矩陣 A 的秩 r(A)=n3（ n3）， ??? , 是 齊次線性方程組 Ax=0 的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系為（ ） A． ???? ?, B． ???? ?, C． ?????? ??? , D． ?????? ??? , 8．已知矩陣 A 與對(duì)角矩陣 D=????????????100010001 相似，則 ?2A （ ） 2 A． A B． D C． E D． E? 9．設(shè)矩陣 A=??????????001010100 ，則 A 的特征值為（ ） A． 1， 1， 0 B． 1， 1， 1 C． 1， 1， 1 D． 1， 1， 1 10．設(shè) A 為 n（ 2?n ） 階矩陣，且 EA?2 ，則必有（ ） A． A 的行列式等于 1 B． A 的逆矩陣等于 E C． A 的秩等于 n D． A 的特征值均為 1 二、填空題（本大題共 10小題，每小題 2分，共 20分） 11．已知行列式 011103212??a ，則數(shù) a =__ __． 12．設(shè)方程組??? ?? ?? 02 02 21 21 kxx xx有非零解，則數(shù) k = __ __． 13．設(shè)矩陣 A= ???????? ?? 311 102， B= ???????? 753 240，則 ?BAT ． 14．已知向量組??????????????????????????????????????????????4212,0510,2001321 t??? 的秩為 2，則數(shù) t=__ __． 15．設(shè)向量 )1,21,1,2( ???，則 ? 的長(zhǎng)度為 __ __． 16．設(shè)向量組 )3,2,1(1 ?? ， )6,5,4(2 ?? ， )3,3,3(3 ?? 與向量組 321 , ??? 等價(jià)，則向量組 321 , ???的秩為 __ __． 17．已知 3 階矩陣 A 的 3 個(gè)特征值為 3,2,1 ，則 ??||A __ __． 18．設(shè) 3 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A 的特征值為 0,3 321 ??? ??? ，則 r(A)= __ __． 19．矩陣 A=????????????314122421 對(duì)應(yīng)的二次型 f = ． 20．設(shè)矩陣 A= ????????? 10 02，則二次型 AxxT 的規(guī)范形是 ． 三、計(jì)算題（本大題共 6小題，每小題 9分，共 54分） 3 21．計(jì)算行列式 D=5021011321014321???的值． 22．已知 A= ????????? 21 41， B= ????????? 11 02， C= ???????? ?10 13，矩陣 X 滿足 AXB=C，求解 X． 23． 求向量 T)2,1,3( ??? 在基 T)2,1,1(1 ?? ， T)1,3,1(2 ??? ， T)1,1,1(3 ?? 下的坐標(biāo)，并將 ? 用此基線性表示． 4 24．設(shè)向量組 321 , ??? 線性無(wú)關(guān)，令 311 ??? ??? ， 322 22 ??? ?? ， 3213 352 ???? ??? ，試確定向量組 321 , ??? 的線性相關(guān)性． 25．已知線性方程組?????????????????322321321321????xxxxxxxxx ， （ 1）討論 ? 為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有惟一解、有無(wú)窮多個(gè)解． （ 2）在方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解（用一個(gè)特 解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）． 26．已知矩陣 A=??????????111111111 ，求正交矩陣 P 和對(duì)角矩陣 ? ，使 ??? APP 1 ． 四、證明題（本題 6分） 27．設(shè) ? 為非齊次線性方程組 Ax=b 的一個(gè)解， r??? , 21 ? 是其導(dǎo)出組 Ax=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系．證明 r???? , 21 ? 線性無(wú)關(guān)． 5 全國(guó) 2020年 10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）試題答案 課程代碼： 04184 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 10小題，每小題 2分，共 20分） 1．設(shè) A 為 3 階方陣，且3131 ?? A，則 ?||A （ A ） A． 9 B． 3 C． 1 D． 9 3131 ?? A，31||313 ???????? A， 9|| ??A ． 2．設(shè) A、 B 為 n 階方陣，滿足 22 BA ? ，則必有（ D ） A． BA? B． BA ?? C． |||| BA? D． 22 |||| BA ? 3．已知矩陣 A= ???????? ?10 11， B= ???????? 11 01，則 ??BAAB （ A ） A． ???????? ?? 12 01 B． ???????? ?10 11 C． ???????? 10 01 D． ???????? 00 00 ??BAAB ???????? ?10 11 ????????? 11 01 ???????? 11 01 ???????? ?10 11= ????????? ?? 11 12 ???????? 01 11= ???????? ?? 12 01． 4．設(shè) A 是 2 階可逆矩陣，則下列矩陣中與 A 等價(jià)的矩陣是（ D ） A． ???????? 00 00 B． ???????? 00 01 C． ???????? 00 11 D． ???????? 10 11 5．設(shè)向量 ),(),( 22221111 cbacba ?? ?? ， ),(),( 2222211111 dcbadcba ?? ?? ，下列命題中正確的是（ B ） A．若 21,?? 線性 相關(guān)，則必有 21,?? 線性相關(guān) B．若 21,?? 線性無(wú)關(guān)，則必有 21,?? 線性無(wú)關(guān) C．若 21,?? 線性相關(guān)，則必有 21,?? 線性無(wú)關(guān) D．若 21,?? 線性無(wú)關(guān)，則必有 21,?? 線性相關(guān) 6．已知????????????????????? 132,121 是齊次線性方程組 Ax=0 的兩個(gè)解，則矩陣 A 可為（ A ） A． )1,3,5( ?? B． ???????? ? 112 135 C． ???????? ? ?712 321 D．??????????????135221121 6 )1,3,5( ?? 0121????????????， )1,3,5( ?? 0132??????????? ． 7．設(shè) m n 矩陣 A 的秩 r(A)=n3（ n3）， ??? , 是 齊次線性方程組 Ax=0 的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系為（ D ） A． ???? ?, B． ???? ?, C． ?????? ??? , D． ?????? ??? , 其中只有 ?????? ??? , 線性無(wú)關(guān)． 8．已知矩陣 A 與對(duì)角矩陣 D=????????????100010001 相似，則 ?2A （ C ） A． A B． D C． E D． E? 存在 P ，使 DAPP ??1 ， 1??PDPA ， EPPP E PPPDA ???? ??? 11122 ． 9．設(shè)矩陣 A=??????????001010100 ，則 A 的特征值為（ D ） A． 1， 1， 0 B． 1， 1， 1 C． 1， 1， 1 D． 1， 1， 1 )1()1()1)(1(1 1)1(0101010|| 22 ??????? ???????? ??????????? AE ． 10．設(shè) A 為 n（ 2?n ） 階矩陣，且 EA?2 ，則必有（ C ） A． A 的行列式等于 1 B． A 的逆矩陣等于 E C． A 的秩等于 n D． A 的特征值均為 1 1|| 2?A ， 0|| ?A ， A 的秩等于 n． 二、填空題（本大題共 10小題，每小題 2分，共 20分） 11．已知行列式 011103212??a ，則數(shù) a =__3__． 0)3(332 3111103203111103212?????????aaaa ， 3?a ． 12．設(shè)方程組??? ?? ?? 02 02 21 21 kxx xx有非零解，則數(shù) k = __4__． 042 21 ??? kk ， 4?k ． 7 13．設(shè)矩陣 A= ???????? ?? 311 102， B= ???????? 753 240，則 ?BAT???????????????19119753333 ． ?BAT????????????311012???????? 753 240 = ???????????????19119753333 ．