【正文】 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 24 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 167。 導(dǎo)數(shù)與微分 （甲）內(nèi)容要 點 一、導(dǎo)數(shù)與微分概念 導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù) )(xfy? 在點 0x 的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量 x 在 0x 處有增量 x? ，相應(yīng)地函數(shù)增量 )()( 00 xfxxfy ????? 。如果極限 x xfxxfxy xx ? ?????? ???? )()(limlim 0000 存在，則稱 此極限值為函數(shù) )(xf 在 0x 處的導(dǎo)數(shù)（也稱微商），記作 0()fx? ，或0xxy ??，0xxdxdy? ，0)( xxdxxdf ? 等，并稱 函數(shù) )(xfy? 在點 0x 處可導(dǎo)。如果上面的極限不存在，則稱函數(shù) )(xfy? 在點 0x 處不可導(dǎo)。 導(dǎo) 數(shù) 定 義 的 另 一 等 價 形 式 ， 令 xxx ??? 0 ， 0xxx ??? ，則0000( ) ( )( ) l i mxxf x f xfx xx??? ? ? 我們也引進單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。 右導(dǎo)數(shù)：00 0 00 00( ) ( ) ( ) ( )( ) l i m l i mx x xf x f x f x x f xfx x x x??? ? ? ?? ? ? ?? ???? 左導(dǎo)數(shù)：00 0 00 00( ) ( ) ( ) ( )( ) l i m l i mx x xf x f x f x x f xfx x x x??? ? ? ?? ? ? ?? ???? 則有 )(xf 在點 0x 處可導(dǎo) )(xf? 在點 0x 處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相等。 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義 如果函數(shù) )(xfy? 在點 0x 處導(dǎo)數(shù) 0()fx? 存在，則在幾何上 0()fx? 表示曲線 )(xfy?在點 （ )(, 00 xfx ） 處 的切線的斜率。 切線方程 ： 0 0 0( ) ( ) ( )y f x f x x x?? ? ? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 25 法線方程：0 0 001( ) ( ) ( ( ) 0 )()y f x x x f xfx ?? ? ? ? ?? 設(shè)物體作直線運動時路程 S與時間 t的函數(shù)關(guān)系為 )(tfS? ，如果 0()ft? 存在，則 0()ft?表示物體在時刻 0t 時的瞬時速度。 3．函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 如果函數(shù) )(xfy? 在點 0x 處可導(dǎo)，則 )(xf 在點 0x 處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù))(xfy? 在點 0x 處連續(xù)，卻不一定在點 0x 處可導(dǎo)。例如， ||)( xxfy ?? ，在 00 ?x 處連續(xù)，卻不可導(dǎo)。 4．微分的定義 設(shè)函數(shù) )(xfy? 在點 0x 處有增量 x? 時，如果函數(shù)的增量 )()( 00 xfxxfy ????? 有下面的表達式 0( ) ( )y A x x o x? ? ? ? ? （ 0??x ） 其中 )( 0xA 為 x? 為無關(guān)， ()ox? 是 0??x 時比 x? 高階的無窮小 ，則稱 )(xf 在 0x 處可微，并把 y? 中的主要線性部分 xxA ?)( 0 稱為 )(xf 在 0x 處的微分，記以0xxdy?或0)( xxxdf ?。 我們定義自變量的微分 dx 就是 x? 。 5．微分的幾何意義 )()( 00 xfxxfy ????? 是曲線 )(fy? 在點 0x 處相應(yīng)于自變量增量 x? 的縱坐標(biāo) )( 0xf 的增量，微分0xxdy?是曲線)(xfy? 在點 ))(,( 000 xfxM 處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的增量 （見圖）。 6．可微與可導(dǎo)的關(guān)系 )(xf 在 0x 處可微 ? )(xf 在 0x 處可導(dǎo)。 且0 00( ) ( )xxd y A x x f x d x? ?? ? ? 一般地， )(xfy? 則 ()dy f x dx?? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 26 所以導(dǎo)數(shù) ()dyfxdx? ? 也稱為微商，就是微 分之商的含義。 7．高階導(dǎo)數(shù)的概念 如果函數(shù) )(xfy? 的導(dǎo)數(shù) ()y f x??? 在點 0x 處仍是可導(dǎo)的，則把 ()y f x??? 在點 0x 處的導(dǎo)數(shù)稱為 )(xfy? 在點 0x 處的二階導(dǎo)數(shù)，記以0xxy ???，或 0()fx?? ，或022xxdxyd ?等，也稱 )(xf 在點 0x 處二階可導(dǎo)。 如果 )(xfy? 的 1?n 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 存在 ，稱為 )(xfy? 的 n 階導(dǎo)數(shù)，記以 )(ny ，)()( xyn ， nndxyd 等，這時也稱 )(xfy? 是 n 階可導(dǎo)。 二、導(dǎo)數(shù)與微分計算 1．導(dǎo)數(shù)與微分表（略） 2．導(dǎo)數(shù)與微分的運算法則 （ 1）四則運算求導(dǎo)和微分公式 （ 2） 反函數(shù)求導(dǎo)公式 （ 3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和微分公式 （ 4）隱函數(shù)求導(dǎo)法則 （ 5）對數(shù)求導(dǎo)法 （ 6）用參數(shù)表示函數(shù)的求導(dǎo)公式 （乙）典型例題 一、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù) 例 設(shè) )()()( xgaxxf ?? ，其中 )(xg 在 ax? 處連續(xù)，求 ()fa? 解： ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) l im l im ( )x a x af x f a x a g xf a g ax a x a??? ? ?? ? ? ??? 二、分段函數(shù)在分段點處的可導(dǎo)性 例 1 設(shè)函數(shù) ??? ?? ?? 1, 1,)( 2 xbax xxxf 試確定 a 、 b 的值，使 )(xf 在點 1?x 處可導(dǎo)。 解： ∵ 可導(dǎo)一定連續(xù)， ∴ )(xf 在 1?x 處也是連續(xù)的。 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 27 由 1lim)(lim)01( 211 ???? ?? ?? xxff xx babaxxff xx ?????? ?? ?? )(lim)(lim)01( 11 要使 )(xf 在點 1?x 處連續(xù)，必須有 1??ba 或 ab ??1 又 21 1 1( ) ( 1 ) 1( 1 ) l i m l i m l i m ( 1 ) 211x x xf x f xfxxx? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? 1 1 1( ) ( 1 ) 1 ( 1 )( 1 ) l im l im l im1 1 1x x xf x f a x b a xfax x x? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 要使 )(xf 在點 1?x 處可導(dǎo)，必須 (1) (1)ff????? ，即 a?2 . 故當(dāng) 1211,2 ??????? aba 時， )(xf 在點 1?x 處可導(dǎo) . 例 2 設(shè) 1lim)()1()1(2 ? ??????? xnxnn ebaxexxf ，問 a 和 b 為何值時， )(xf 可導(dǎo)，且求 ()fx? 解： ∵ 1?x 時 ， ?????? )1(lim xnn e， 1?x 時， 0lim )1( ???? xnn e ∴ ??????????????，xbax，xba，xxxf1,1,2 11,)(2 由 1?x 處連續(xù)性， 1lim)(lim 211 ?? ?? ?? xxf xx， 12 1)1( ???? baf ，可知 1??ba 再由 1?x 處可導(dǎo)性， 21(1)(1) lim 1xxff x?? ??? ? ?存在 1( ) (1 )(1 ) lim 1xa x b ff x?? ???? ? ?存在 且 (1) (1)ff????? 根據(jù)洛必達法則12(1) lim 21xxf?? ?? ?? 1(1) lim 1xafa?? ?? ??， ∴ 2?a 于是 11 ???? ab 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 28 ??????????,1,12,1,1,1,)(2xxxxxxf 2 , 1 ,() 2, 1 ,xxfx x ??? ? ? ?? 三、運用各種運算法則求導(dǎo)數(shù)或 微分 例 1 設(shè) )(xf 可微， )()(ln xfexfy ?? ，求 dy 解： )( ln)( ln )()( xdfedexfdy xfxf ?? ( ) ( )1( ) ( l n ) ( l n )f x f xf x e f x d x f x e d xx???? () 1[ ( ) ( l n ) ( l n ) ]fxe f x f x f x d xx?? 例 2 設(shè) xxxy? )0( ?x ，求 dxdy 解： xxy x lnln ? 對 x 求導(dǎo)，得 11( ) lnxxy x x xyx???? 再令 xxy ?1 ， xxy lnln 1 ? ，對 x 求導(dǎo)， 111 ln 1yxy ???， ∴ ( ) (ln 1)xxx x x??? 于是 ? ? xxxx xxxxxdxdy 1ln)1( ln ???? （ 0?x ） 例 3 設(shè) )(xyy? 由方程 xy yx ? 所確定，求 dxdy 解：兩邊取對數(shù)，得 yxxy lnln ? ， 對 x 求導(dǎo)， ln lnyxy x y yxy??? ? ? ( ln ) lnxyy x yyx? ? ? ?， 22 nlny xy yy x xy x??? ? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 29 例 4 設(shè) ??????????t uttuduueyuduex20 )1ln (s in2 2 求dydx 解：)21ln (2s ins in222 24tetettedtdydtdxdydxttt????