【正文】 1 智軒 關(guān)于 2020 數(shù)學(xué) 3 五 大 特別專題 輔導(dǎo) ■ 新數(shù)學(xué) 3 專題 一 導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用 【原數(shù)學(xué) 34 內(nèi)容不變】 一、 經(jīng)濟(jì)分析中常用的五大經(jīng)濟(jì)學(xué)函數(shù) 1． 總成本函數(shù) ??Cx （ Total Cost Function） 在經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中的總成本（用字母 C 表示）與產(chǎn)品的產(chǎn)量（用字母 x 表示）密切相關(guān)，經(jīng)過(guò)抽象簡(jiǎn)化，可以看成僅是產(chǎn)量的函數(shù)，即： ? ?C C x? 在不考慮產(chǎn)品積壓，假設(shè)供求平衡的條件下， x 為產(chǎn)品的 產(chǎn)量 ? x 為產(chǎn)品的 銷售量 。 ? ? ? ?01C x C C x?? 其中： 0C 表示固定成本，如設(shè)備維修費(fèi)、企業(yè)管理費(fèi)等等， ??1Cx表示可變成本，如購(gòu)買原材料、動(dòng)力費(fèi)等等。 平均成本： ? ? ? ? ? ?10C x C xCCx x x x? ? ? 2． 總收入（或稱總收益）函數(shù) ??Rx （用字母 R 表示）（ Total Receipt Function） ? ?RRx? 當(dāng)產(chǎn)品的單價(jià)（ price）為 p， x 為銷售量時(shí) ? ?? ? ? ? ? ?RpRp x R , xxx xx???? 即 平 均 收 益 函 數(shù) 3） 總利潤(rùn)函數(shù) ??Lx （用字母 L表示）（ Total Gain Function） ? ? ? ? ? ? L L x R x C x tx? ? ? ? tx為 國(guó) 家 征 稅 率 ， 為 產(chǎn) 量 。 ? ? 0Lx ?? 稱 為 ： 收 支 平 衡 4） 需求函數(shù) dQ （用字母 dQ 表示）（ Demand Function） 2 ? ?? ?m a x 0 , 0 0 , ddddQ Q pQ a b p a baQpb?? ? ? ?? ? ?在 線 形 情 況 下 ：稱 為 最 大 銷 售 價(jià) 格 。 5） 供給函數(shù) SQ （用字母 sQ 表示）（ Supply Function） ? ?? ?0 0 , 0 , ssssdQ Q pQ c d p c dacQ Q a b p c d p pbd?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??在 線 形 情 況 下 ：稱 為 均 衡 價(jià) 格 。 6） 復(fù)利公式 設(shè)銀行存款的年利率為 r，開(kāi)始存錢為 0T ，則 t年后， 年復(fù)利公式： ? ? ? ?0 1 tT t T r?? 月復(fù)利公式： ? ? 120 1 12trT t T ???????? 連續(xù)復(fù)利 公式 （ 即：按天、時(shí)或更少的時(shí)間 ） ： ? ? nt rt00n rT t lim T 1 T en?? ??? ? ????? 如果當(dāng)初的 0T 沒(méi)有存入銀行，則當(dāng)初的 0T 相當(dāng)于現(xiàn)在的值： ? ? 0 rtT t Te?? 二、 邊際與邊際分析 在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，常常會(huì)使用變化率的概念，變化率又分為平 均變化率和瞬時(shí)變化率．平均變化率就是函數(shù)增量與自變量增量之比，函數(shù) )(xfy? 在 ),( 00 xxx ?? 內(nèi)的平均變化率為 xy?? ，如我們常用到年產(chǎn)量的平均變化率、成本的平均變化率、利潤(rùn)的平均變化率等．瞬時(shí)變化率就是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，即當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)平均變化率的極限： )()()(lim0000 xfx xfxxfx ??? ????? 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù) )(xf 的導(dǎo)數(shù) )(xf? 稱為該函數(shù)的 邊際函數(shù) ． )(xf 在點(diǎn) 0xx? 處的導(dǎo)數(shù) )( 0xf? 稱為 )(xf 在點(diǎn) 0xx? 處的變化率，也稱為 )(xf 在點(diǎn) 0xx? 處的邊際函數(shù)值．它表示 )(xf 在點(diǎn) 0xx? 處的變化速度． 現(xiàn)設(shè) )(xfy? 是一個(gè)可導(dǎo)的經(jīng)濟(jì)函數(shù)，于是當(dāng) x? 很小時(shí) xxfxxxfxfxxf ??????????? )()()()()( ?． 3 由于產(chǎn)品的最小單位是 1， 故， 當(dāng) 1??x 或 1???x 時(shí)，分別給出 )()()1( xfxfxf ???? 或 )()1()( xfxfxf ???? ． 因此邊際函數(shù)值 )( 0xf? 的經(jīng)濟(jì)意義 是：經(jīng)濟(jì)函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0xx? 處，當(dāng)自變量 x 再增加 1 個(gè)單位時(shí)，因變量 y 的改變量的近似值，或近似于經(jīng)濟(jì)函數(shù)值 )( 0xf 與 )1( 0?xf 之差．但在應(yīng)用問(wèn)題中解釋邊際函數(shù)值的具體意義時(shí)，常略去“近似 ”兩字 ，因?yàn)楫a(chǎn)品的最小單位為 1，不存在小數(shù) ． 【 例 1】 設(shè)函數(shù) 2xy? ，試求 y 在 5?x 時(shí)的邊際函數(shù)值． 解 因?yàn)?xy 2?? ，所以 .105 ?? ?xy 該值表明：當(dāng) 5?x 時(shí)， x 改變一個(gè)單位 (增加或減少一個(gè)單位 )， y 約改變 10個(gè)單位 (增加或減少 10個(gè)單位 )． 下面介紹經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的 三個(gè) 邊際概念． 1． 邊際成本 ??Cx? 某產(chǎn)品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟(jì)資源投入 (勞力、原料、設(shè)備等 )的價(jià)格或費(fèi)用總額．它由固定成本和可變成本兩部分組成． 平均成本是生產(chǎn)一定量產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品的成本． 邊際成本是總成本的變化率． 在生產(chǎn)技術(shù)水平和生產(chǎn)要素的價(jià)格固定不變的條件下，成本是產(chǎn)量的函數(shù)． 設(shè)總成本函數(shù) )(QCC? ， Q 為產(chǎn)量，則平均成本函數(shù)為 CQCC )()( ??， 生產(chǎn) Q 個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的邊際成本函數(shù)為 )(QCC ??? ． )( 0QC? 稱為當(dāng)產(chǎn)量為 0Q 時(shí)的邊際成本．西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)它的解釋是：當(dāng)生產(chǎn) 0Q 個(gè)單位產(chǎn)品前最后增加的那個(gè)單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本或生產(chǎn) 0Q 個(gè)單位產(chǎn)品后增加的那個(gè)單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本．這兩種理解均算正確 ，我們一般使用后一種說(shuō)法 ． 【 例 2】 已知生產(chǎn)某產(chǎn)品 Q 件的成本為 C ??? (元 )，試求： (1)邊際成本函數(shù)； (2)產(chǎn)量為 1000 件時(shí)的邊際成本，并解釋 其經(jīng)濟(jì)意義； (3)產(chǎn)量為多少件時(shí)，平均成本最小？ 4 解 (1)邊際成本函數(shù)： QC ??? ． (2)產(chǎn)量為 1000 件時(shí)的邊際成本： .6010 )10 00( ?????C 它表示當(dāng)產(chǎn)量為 1000 件時(shí)，再生產(chǎn) 1件產(chǎn)品需要的成本為 60 元； (3)平均成本： QCC 0 0 0 ???? ， 0 0 02 ???? QC ， 令 ??C 0，得 Q = 3000(件 )．由于 ??C 0，故當(dāng)產(chǎn)量為 3000 件時(shí)平均成本最?。? 【 例 3】 某工廠生產(chǎn) Q 個(gè)單位產(chǎn)品的總成本 C 為產(chǎn)量 Q 的函數(shù) 2120202000)( CC ??? ， 求： (1)生產(chǎn) 900 個(gè)單位時(shí)的總成本和平均成本； (2)生產(chǎn) 900 個(gè)單位到 1000 個(gè)單位時(shí)的總成本的平均變化率； (3)生產(chǎn) 900 個(gè)單位時(shí)的邊際成本； 解 (1)生產(chǎn) 900 個(gè)單位時(shí)的總成本為 1775900120202000)900( 2 ???? CC ． 平均成本為 )900( ??C ． (2)生產(chǎn) 900 個(gè)單位到 1000 個(gè)單位時(shí)的總成本的平均變化率為 0 01 7 7 51 9 3 39 0 01 0 0 0 )9 0 0()1 0 0 0( ???????? CCQC ． (3)生產(chǎn) 900 個(gè)單位時(shí)的邊際成本為 0 011 2 0 011 1 0 0)9 0 0(9009002 ????????? ????? C ． 2． 邊際收益 ??Rx? 和 邊際利潤(rùn) ??Lx? 總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部收入．平均收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品所得到的收入，即單位商品的售價(jià) p ．邊際收益為總收益的變化率． 總收益、平均收益、邊際收益均為產(chǎn)量的函數(shù)． 5 設(shè) P 為價(jià)格， Q （有時(shí)也用 x 表示，但要注意 Q 與 ,ds完全不同?。?為銷售量，則總收益函數(shù)為： PRR ??? )( ． 若需求函數(shù)為 )(QPP? ，則總收益函數(shù)為 )()( QPRR ??? ， 故平均收益函數(shù)為 )()()()( QPQ PRQRR ????， 即價(jià)格 )(QP 可視作從需求量 (這里需求量即為銷售量 )Q 上獲得的平均收益．邊際收益為 )()())(()( QPQPPRR ?????????? ． )( 0QR? 的經(jīng)濟(jì)意義為： )( 0QR? 表示銷售量為 0Q 個(gè)單位時(shí)，多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品或少銷售一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)收益 的改變量． 由經(jīng)濟(jì)學(xué)知識(shí)，總利潤(rùn)是總收益與總成本之差，設(shè)總利潤(rùn)為 L ，則總利潤(rùn)函數(shù)為 )()()( QCQRQLL ??? (其中 Q 為商品量 ) 那么邊際利潤(rùn)函數(shù)為 )()()( QCQRQLL ??????? 它的經(jīng)濟(jì)意義是： )( 0QL? 表示銷售量為 0Q 單位時(shí)，再銷售一個(gè)單位商品時(shí)利潤(rùn)的改變量． 【 例 4】 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為： 520 QP ?? ， 其中 P 為價(jià)格， Q 為銷售量，當(dāng)銷售量為 15個(gè)單位時(shí)，求總收益、平均收益與邊際收益； 解 因?yàn)樾枨蠛瘮?shù)為 520 QP ?? ，則總收益函數(shù)為： 520)()( 2QPRR ????? ， 故銷售量為 15 個(gè)單位時(shí)，有 總收益 2555151520)15( 2 ????R ， 平均收益 17)()()()15(151515 ???? ??? Q QPQPRR ， 6 邊際收益 14155220)(15 ??????? ?RR． 【 例 5】 某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品的固定成本為 2020 元，每增產(chǎn)一噸產(chǎn)品成本增加 50 元，設(shè)該產(chǎn)品的市場(chǎng)需求規(guī)律為 Q = 1100 – 10P(P 為價(jià)格 )，產(chǎn)銷平衡，試求： (1)產(chǎn)量為 100 噸時(shí)的邊際利潤(rùn)； (2)產(chǎn)量為多少噸時(shí)利潤(rùn)最大？ 解 由于 ,10110 QP ?? 故總收入為 10110 2PQR ??? ， 總成本為 QC 50200 0?? ， 故總利潤(rùn)為 20202060 2 ????? CRL ． (1)邊際利潤(rùn)為 560 QL ??? ． 當(dāng)產(chǎn)量為 100 噸時(shí)，邊際利潤(rùn)為 4051 0 060)1 0 0( ????L (元 )． (2)令 0??L 得 Q = 300(噸 )．由于 0??L ，故當(dāng)產(chǎn)量為 300 噸時(shí)，利潤(rùn)最大． 同樣，還有邊際需求 ? ?dQp? 和邊際供給 ? ?sQp? ， 一共 5 個(gè)邊際函數(shù) 。 三、 彈性與彈性分析 前面所談的函數(shù)改變量與函數(shù)變化率是絕對(duì)改變量與絕對(duì)變化率．在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)僅知道函數(shù) )(xfy? 的改變量 y? 及絕對(duì)改變率 )(xf? 是不夠的．例如，設(shè)有 A 和 B 兩種商品，其單價(jià)分別為 10 元和 100 元．同時(shí)提價(jià) 1元，顯然改變量相同，但提價(jià)的百分?jǐn)?shù)大不相同，分別為 10%和 1%．前者是后者的 10 倍，因此有必要研究函數(shù)的相對(duì)改變量以及相對(duì)變化率，這在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為 彈性 ．它定量地反映了一個(gè)經(jīng)濟(jì)量 (自變量 )變動(dòng)時(shí)，另一個(gè)經(jīng)濟(jì)量 (因變量 )隨之變動(dòng)的靈敏程度，即自變量變動(dòng)百分之一時(shí)，因變量變動(dòng)的百分?jǐn)?shù)． 定義 設(shè)函數(shù) )(xfy? 在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，且 ( ) 0y f x??．函數(shù)的相對(duì)改變量 yy?與自變量的 7 相對(duì)改變量 xx?之比當(dāng) 0??x 時(shí)的極限 )()(lim 0 xfxf xyyxxx yyx ???????? ． 稱為函數(shù) )(xfy? 在點(diǎn) x 處的彈性，記作0xxyx