【正文】 一種無摩擦接觸問題的有限元方法 摘要 文章提出了一種新的解決包括整體可能經(jīng)歷一定的運動和變形的接觸性問題的有限元方法。 這個方法是基于兩結構接觸性問題變成兩個同時發(fā)生的問題的分解，最終結果是在幾何學上而不是在離散的接觸表面上。 一個表面接觸單元是特定 設計在無條件下，允許在兩接觸表面間進行一直的牽引動力的傳輸。 關鍵詞：無摩擦性接觸，大的變形，有限元 有限元方法廣泛應用在解決接觸性問題上。從完全的計算角度來看， 接觸性的檢測和隨后的強制性約束 的實現(xiàn)是有待解決一般算法結構的發(fā)展的兩個重要問題。 從康里和瑟瑞 吉，禪和圖巴的早期作品以后，很多方法論都在接觸機械學的文獻中被提出了。一個相當廣泛的在題目中的調(diào)查在參考書目中發(fā)現(xiàn)。 目前的工作是參與適合 的解決在大的運動和變形的兩機構的接觸性問題有限元分析方法的發(fā)展。 這一類問題在許多實際應用 中有 特別重要的意義，如金屬成形過程和車輛事故分析 。 各種商業(yè)和科研計算機編碼采用的算法，以解決這種 問題。拉格朗日算子方法和它們的規(guī)格化（罰數(shù)和增廣的拉格朗日方法） 是典型地被用在執(zhí)行不可測知中。 工作性條件的集成方法的選擇 在線性動力平衡方面的微弱形式下與接觸牽引動力有聯(lián)系并在接觸原 理建設中起著關鍵的作用。 節(jié)點正交的使用包括一個（二個）點或一個（兩個）基座或點和面的接觸。 假設存在一些連續(xù)的接觸表面， 另外的整合法則也都是合適的 。 根據(jù)兩機構問題接近于連續(xù)的兩同時發(fā)生問題， 目前的文章的重要貢獻是鑒定一般的程序 。像傳統(tǒng)的雙行程運算法則，兩相互作用機構的表面被用來分析而不需要采用中間的接觸表面 (任意的被選擇 )。 提出的方法的重要優(yōu)勢與 雙 程節(jié)點上表面 的運算法則 相比，如果允許一個一體化規(guī)則的簡單解釋用于接觸面，并為可容許領域的適當 1 選擇 ，允許一個物體到另一個物體的連續(xù)壓力的精確傳播。 根據(jù)源于鐐銬的工作 中的斑貼試驗 ，及其以后的概括，恒壓（在大小和方向）的精確代表性的能力被看做是一個健全的必要條件和總體接觸算法的收斂。 接觸力學的一個簡潔的闡述在第 2 節(jié)中出現(xiàn)，特別強調(diào)在接連發(fā)生的算法的發(fā)展中常常用公式表示。在第 3 節(jié)中提出并分析了一個二維接觸單元 ，而在第 4 節(jié)中，提出和討論了正在使用的這個單元的選擇數(shù)值模擬的結果。在第 5 節(jié)中，給出了結束的評論。 2. 兩物體接觸問題 考慮物體 ,2,1, ?? ?? 認為等同于線性空間 3? 的開連通集 ?? ，配有標準基( 1E , 2E , 3E )和歐幾里德準則。至少有一個物體是假定可變的。在參考位形 中 ?? 的一個典型的重要點是在線性構造中重要點 ?? 用向量 ?? 數(shù)學地說明，對于每一個 t給出 ),( t??? ? ??? ，移植向量 ?u 是通過 ????? ? ????? ),(:),( ttu 來規(guī)定的。 假定至少在 ?? 內(nèi)，映射 ?? 在定義域內(nèi)是連續(xù)和可轉置的。向量 ?，在線性結構（以 t 變化）中它的范圍是用 ?t? 和 ?t?? 來確定的，因此，則有 ),(: tt ??? ? ??? 和 ),(: tt ??? ? ????? 。并且 ?t?? 的外在的單位標準記作 ?n 。 多個物體（包括一個物體）的任何系統(tǒng)的提議都受制于物質(zhì)的不可測知性，在引文 11（ 224 頁 ） 被 Truesdell 和 Toypin 規(guī)定。這意味著這兩機構問題一直有 ????? 21 tt （ 1） 在任何給定的時間上，所說的這兩個機構都與它們的邊界子集 C 有聯(lián)系，當且僅當 ???????? Ctt :21 (2) 根據(jù)上面的定義，每個物體的定義可以被唯一的分為三個相互排斥的區(qū)域 ，根據(jù)下面的式子 Cqut ??????? ??? 當?shù)依锟巳R和諾艾曼邊界條件 分別地 被強加在 ?u? 上 ?q? 。雖然沒有明白的之處，但 2 是一般依照時間來說，它應該不包含 ?u? , ?q? 和 C。 不連續(xù)函數(shù) )(?g ，可能是多值的，每個 物體的邊界按照如下的定義：對每一個22 tx ??? ， ?????? ?12)1( : ttg 是給定的為 112)1( )( nxxg ??? （ 2a） 當 )。( 1211 nxxx ? 是在 0)( 112 ??? nxx 這樣的式子中看做指數(shù)是 1。 1?? 的凸面性使)1(g 的值是惟一的，盡管有如此的一個幾何條件的限制也不能強加在開端。?????? ?21)2( : ttg 的一個完整的相似的定義生成下面的結果： 221)2( )(: nxxg ??? (2b) 又有對每一 11 tx ??? , )。( 2122 nxxx ? 滿足 0)( 221 ??? nxx 。定義方程式 (2a) 和(2b)即指不連續(xù)函數(shù) )1(g 和 )2(g 在 C 上是相等的，都等于 0)(:)。()。( 2)2(1)1( ??????? CgCgCg tt (3) 因此不可測知條件（ 1）根據(jù)上面的不連續(xù)函數(shù)被重寫作 0,0 )2()1( ?? gg 。 在不存在慣性效應時，方程式的局部形式控制著如下給出的每個物體的運動， div 0?? ??? ? bt in ?t? (4a) ?? ??uu on ?u? （ 4b） ??? ?ntnt ? on ?q? (4c) 0)( ??g on ?t? (4d) 當 ?t 是克西的應力張量， ?? 是質(zhì)量密度， ?b 是每單位質(zhì)量的質(zhì)量力， ?u 是法定的界壁位移， ??nt是在 ?q? 上的法定牽引向量。 標準加權殘值法的應用，與拉格朗日乘數(shù)的引入 p ≥ 0 對費解的限制相結合，結果在運動方程的若形式中指出，位移解方程（ 4 ）和拉格朗日乘數(shù)外地 p 滿足 ? ? ? ? ?? ? ? ? ????????2 1 221 0)(}:{? ???????? ? ? ? ???t t q Cn dnwwpdtwdvbwdvtdi v w (5a) 3 ??? ??? ??t dgpq 0)( )( (5b) ?w 和 q 是對所有的允許函數(shù)。在大部分的缺失 )2(g 不被用在 方程 (5a)中時，則不連續(xù)函數(shù)定義在 C 上。位移區(qū)域 ?u 屬于空間 ?? 即 ?????? ??????? ???uxxx onuuHu |)(1 質(zhì)量函數(shù) ?w 也屬于空間 x? ，定義為 }0|)}({ 1 ??? uxx onwHw ?????? 允許函數(shù) p ≥ 0 是分段連續(xù)的。 為了證明方程式 (5a)的正確性，把這項工作看做是允許函數(shù) 1w 和 2w 上沿 C 的觸點壓力，即為 ? ? ??????? C Cc dnwwpdnwwpW ?? 221121 )()( (6) 在 C 上，在沒有摩擦和回顧時 21 nn ?? ，柯西引理應力矢量意味著 12 )(1 )( :21 pntt nn ???? (7) 借助于方程 (7)，方程 (6)可寫為 ?? ??????? CCc dynwwpdynwwpW 221121 )()( 這表明 拉 格朗日乘數(shù)區(qū)域是自然等同于正常的在接觸范圍內(nèi)的牽動引力（壓力）。壓力場 p 一般假定僅僅是分段光滑的， 因此認為每個物體的特征材料的接觸面在 C的附近。而且由于 0)( ??pg on ?t?? (8) 不等式 (5b)是從 (4d)的形式中得到的，而且假定 q 是非負的。 為了進一步證明 拉 格朗日乘數(shù)在兩物體接觸問題中的作用，為接著發(fā)生的近似數(shù)值提供了一些動機，用 (2b) 和 (8)改寫 (5b)中在接觸面 C 上構成整體所 必需的，即 ?? ???? CC dynxxqgdypq ])[()( 221 ?? ?????)2()1( 2211 CC dyxqxdynqx (9) 符號 )(?C 僅僅被用來強調(diào)接觸面 C 不普遍的看做 ?t?? 的一部分，就像 (3)中所表明的。 4 整式 (9)表明，在每個物體的范圍內(nèi)，適當?shù)慕o定一個 拉 格朗日區(qū)域 )(?p ， (5b)可以在每個接觸面上分別作用。然而，很顯然區(qū)域 )(?p 應該滿足在（一般地）接觸面 ?C 上的線動量的平衡，即為 )2()1( pp ? 以上資料數(shù)據(jù)將被應用在 (5a) 和 (5b)的近似解決方案中。 . (9)式的推導用下面的程序，等式 (5a) 和 (5b)被記作 ???? ? ??????? ? ??? ? 0}:{ )()(2 1 dynwpdtwdvbwpdvtdi v w xxnxxx q xtt ????? ? ???? (10a) ? ?? ??2 1 )( 0)(? ? dynXq xx