【正文】 20202021備戰(zhàn)中考數(shù)學二輪 二次函數(shù) 專項培優(yōu)及答案解析一、二次函數(shù)1．如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設其橫坐標為m.（1）求拋物線的解析式； （2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值； （3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）y=x24x+3.（2）當m=時，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點的坐標為 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】分析：（1）利用對稱性可得點D的坐標，利用交點式可得拋物線的解析式；（2）設P（m，m24m+3），根據(jù)OE的解析式表示點G的坐標，表示PG的長，根據(jù)面積和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；（3）存在四種情況：如圖3，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)OM=PN列方程可得點P的坐標；同理可得其他圖形中點P的坐標．詳解：（1）如圖1，設拋物線與x軸的另一個交點為D，由對稱性得：D（3，0），設拋物線的解析式為：y=a（x1）（x3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴拋物線的解析式；y=x24x+3；（2）如圖2，設P（m，m24m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90176。，∴∠AOE=45176。，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式為：y=x，過P作PG∥y軸，交OE于點G，∴G（m，m），∴PG=m（m24m+3）=m2+5m3，∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，=33+PG?AE，=+3（m2+5m3），=m2+m，=（m）2+，∵＜0，∴當m=時，S有最大值是；（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m24m+3），則m2+4m3=2m，解得：m=或，∴P的坐標為（，）或（，）；如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，則m2+4m3=m2，解得：x=或；P的坐標為（，）或（，）；綜上所述，點P的坐標是：（，）或（，）或（，）或（，）．點睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時需要運用配方法，解第（3）問時需要運用分類討論思想和方程的思想解決問題．2．（10分）（2015?佛山）如圖，一小球從斜坡O點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫．（1）請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標；（2）小球的落點是A，求點A的坐標；（3）連接拋物線的最高點P與點O、A得△POA，求△POA的面積；（4）在OA上方的拋物線上存在一點M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請直接寫出點M的坐標．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】試題分析：（1）利用配方法拋物線的一般式化為頂點式，即可求出二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標；（2）聯(lián)立兩解析式，可求出交點A的坐標；（3）作PQ⊥x軸于點Q，AB⊥x軸于點B．根據(jù)S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入數(shù)值計算即可求解；（4）過P作OA的平行線，交拋物線于點M，連結(jié)OM、AM，由于兩平行線之間的距離相等，根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等，可得△MOA的面積等于△POA的面積．設直線PM的解析式為y=x+b，將P（2，4）代入，求出直線PM的解析式為y=x+3．再與拋物線的解析式聯(lián)立，得到方程組，解方程組即可求出點M的坐標．試題解析：（1）由題意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標為（2，4）；（2）聯(lián)立兩解析式可得：，解得：，或．故可得點A的坐標為（，）；（3）如圖，作PQ⊥x軸于點Q，AB⊥x軸于點B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=24+（+4）（﹣2）﹣=4+﹣=；（4）過P作OA的平行線，交拋物線于點M，連結(jié)OM、AM，則△MOA的面積等于△POA的面積．設直線PM的解析式為y=x+b，∵P的坐標為（2，4），∴4=2+b，解得b=3，∴直線PM的解析式為y=x+3．由，解得，∴點M的坐標為（，）．考點：二次函數(shù)的綜合題3．某市實施產(chǎn)業(yè)精準扶貧，幫助貧困戶承包荒山種植某品種蜜柚．已知該蜜柚的成本價為6元/千克，到了收獲季節(jié)投入市場銷售時，調(diào)查市場行情后，發(fā)現(xiàn)該蜜柚不會虧本，且每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系如圖所示．（1）求y與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；（2）當該品種蜜柚定價為多少時，每天銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（3）某村農(nóng)戶今年共采摘蜜柚12000千克，若該品種蜜柚的保質(zhì)期為50天，按照（2）的銷售方式，能否在保質(zhì)期內(nèi)全部銷售完這批蜜柚？若能，請說明理由；若不能，應定銷售價為多少元時，既能銷售完又能獲得最大利潤？【答案】（1）y＝﹣20x+500，（x≥6）；（2）當x＝，w的最大值為1805元；（3）當x＝13時，w＝1680，此時，既能銷售完又能獲得最大利潤．【解析】【分析】（1）將點（15，200）、（10，300）代入一次函數(shù)表達式：y＝kx+b即可求解；（2）由題意得：w＝y(tǒng)（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），∵﹣20＜0，故w有最大值，即可求解；（3）當x＝，y＝190，50190＜12000，故：按照（2）的銷售方式，不能在保質(zhì)期內(nèi)全部銷售完；由50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，當x＝13時，既能銷售完又能獲得最大利潤．【詳解】解：（1）將點（15，200）、（10，300）代入一次函數(shù)表達式：y＝kx+b得：，解得：，即：函數(shù)的表達式為：y＝﹣20x+500，（x≥6）；（2）設：該品種蜜柚定價為x元時，每天銷售獲得的利潤w最大，則：w＝y(tǒng)（x﹣6）＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），∵﹣20＜0，故w有最大值，當x＝﹣＝＝，w的最大值為1805元；（3）當x＝，y＝190，50190＜12000，故：按照（2）的銷售方式，不能在保質(zhì)期內(nèi)全部銷售完；設：應定銷售價為x元時，既能銷售完又能獲得最大利潤w，由題意得：50（500﹣20x）≥12000，解得：x≤13，w＝﹣20（x﹣25）（x﹣6），當x＝13時，w＝1680，此時，既能銷售完又能獲得最大利潤．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應用．最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值）.4．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=﹣x+n與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)過C、B兩點，交x軸于另一點A，連接AC，且tan∠CAO=3．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P是射線CB上一點，過點P作x軸的垂線，垂足為H，交拋物線于Q，設P點橫坐標為t，線段PQ的長為d，求出d與t之間的函數(shù)關系式，并寫出相應的自變量t的取值范圍；(3)在(2)的條件下，當點P在線段BC上時，設PH=e，已知d，e是以y為未知數(shù)的一元二次方程：y2－(m+3)y+(5m2－2m+13)=0 (m為常數(shù))的兩個實數(shù)根，點M在拋物線上，連接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及點M的坐標．【答案】(1) y=x2+2x+3；(2)；（3）t=1，(1+，2)和(1－，2).【解析】【分析】（1）當x=0時代入拋物線