【正文】 c oss i n21)c os(s i n 2 ???? AAAA?, ? ? ?sin c o sA A 62 ② ① + ② 得 sin A ? ?2 64。 ① － ② 得 cos A ? ?2 64。 從而 s in 2 6 4ta n 2 3c o s 4 26AA A ?? ? ? ? ? ??。 以下解法略去。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識(shí)，著重?cái)?shù)學(xué)考查運(yùn)算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來(lái)，你認(rèn)為哪一種解法比較簡(jiǎn)單呢？ 例 4．（ 06年湖南） 已知Δ ABC的三個(gè)內(nèi)角 A、 B． C成等差數(shù)列，其外接圓半徑為 1，且有22)c os (22s i ns i n ???? CACA。（ 1）求 A、 B． C的大?。唬?2）求Δ ABC的的面積。 解析：∵ A+B+C=180176。且 2B=A+C，∴ B=60176。， A+C=120176。， C=120176。－ A。 ∵22)c os (22s i ns i n ???? CACA， ∴ )]60(s i n21[22c os2 3s i n21 02 ???? AAA = 22 ， .2 2)60s i n(0)60s i n(,0)]60s i n(21)[60s i n( 0000 ?????????? AAAA 或 又∵ 0176。 A180176。，∴ A=60176?；?A=105176。， 當(dāng) A=60176。時(shí)， B=60176。， C=60176。， 。4 3360s i n421s i n21 032 ????? RBacS此時(shí) 當(dāng) A=105176。時(shí)， B=60176。， C=15176。， 第 6 頁(yè) 共 24 頁(yè) .4 360s i n15s i n105s i n421s i n21 0002 ????? RBacS此時(shí) 點(diǎn)評(píng)：要善于借助三角形內(nèi)的部分變形條件，同時(shí)兼顧三角形的面積公式求得結(jié)果。 題型 3：與三角形邊角相關(guān)的問(wèn)題 例 5．（ 1） （ 20xx 江蘇 5） △ ABC 中， , 3,3A BC???則△ ABC 的周長(zhǎng)為（ ） A． 4 3 si n( ) 33B ??? B． 4 3 si n( ) 36B ??? C． 6sin( ) 33B ??? D． 6sin( ) 36B ??? （ 2）（ 06 年全國(guó) 2 文， 17）在 254 5 , 1 0 , c o s5A B C B A C C? ? ? ? ? ?中 ，求（ 1） ?BC? （ 2）若點(diǎn) D AB是 的 中 點(diǎn) ， 求 中 線 CD 的 長(zhǎng) 度 。 解析：（ 1）答案： D 解析：在 ABC? 中，由正弦定理得： ,233sin ?BAC 化簡(jiǎn)得 AC= ,sin32 B 233)3(s in [ ??? ?? BAB ，化簡(jiǎn)得 AB= )32sin(32 B?? ， 所以三角形的周長(zhǎng)為： 3+AC+AB=3+ Bsin32 + )32sin(32 B?? =3+ .3)6s i n(6c os3s i n33 ???? ?BBB。故選 D。 （ 2）解：（ 1）由 2 5 5c o s s in55CC??得， 2 3 1 0s in s in ( 1 8 0 4 5 ) ( c o s s in )2 1 0A C C C? ? ? ? ? ?， 由正弦定理知 10 3 10si n 3 2si n 1022ACBC AB? ? ? ? ?， 第 7 頁(yè) 共 24 頁(yè) （ 2） 10 5sin 2sin 522ACA B CB? ? ? ? ?， 1 12BD AB??。 由余弦定理知： 22 2 c os21 18 2 1 3 2 132CD B D B C B D B C B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 點(diǎn)評(píng)：本題考查了在三角形正弦定理的的運(yùn)用，以及三角公式恒等變形、化簡(jiǎn)等知識(shí)的運(yùn)用。 例 6． 在銳角 ABC△ 中，角 A B C， ， 所對(duì)的邊分別為 a b c， ， ，已知 22sin3A?，（ 1）求 22ta n si n22B C A? ?的值；（ 2）若 2a? ， 2ABCS ?△ ，求 b 的值。 解析：（ 1）因?yàn)殇J角△ ABC 中， A＋ B＋ C＝ ?， 22sin3A?，所以 cosA＝ 13， 則 22 2 22BCsinB C A A2ta n sin sinBC2 2 2c o s21 c o s B C 1 1 c o s A 1 71 c o s A1 c o s B C 2 1 c o sA 3 3＋＋ ＋ ＝ ＋＋－ （ ＋ ） ＋＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝＋ （ ＋ ） － （ 2）A B C A B C 1 1 2 2S 2 S b c s in A b c2 2 3?因?yàn)?＝ ，又 ＝ ＝，則 bc＝ 3。 將 a＝ 2， cosA＝ 13， c＝ 3b代入余弦定理： 2 2 2a b c 2b c c os A＝ ＋ － 中， 得 42b 6b 9 0－ ＋ ＝ 解得 b＝ 3 。 點(diǎn)評(píng)：知道三角形邊外的元素如中線長(zhǎng)、面積、周長(zhǎng)等時(shí)，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。 題型 4：三角形中求值問(wèn)題 例 7． ABC? 的三個(gè)內(nèi)角為 A B C、 、 ，求當(dāng) A 為何值時(shí)， cos 2 cos 2BCA ?? 取得最大值，并求出這個(gè)最大值。 第 8 頁(yè) 共 24 頁(yè) 解析： 由 A+B+C=π，得 B+C2 =π 2 － A2，所以有 cosB+C2 =sinA2。 cosA+2cosB+C2 =cosA+2sinA2 =1－ 2sin2A2 + 2sinA2 =－ 2(sinA2 － 12)2+ 32； 當(dāng) sinA2 = 12，即 A=π 3 時(shí) , cosA+2cosB+C2 取得最大值為 32。 點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用三角恒等式簡(jiǎn)化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通過(guò)三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。 例 8．（ 06 四川文， 18） 已知 A、 B、 C 是 ABC? 三內(nèi)角，向量)3,1(??m )sin,(cos AAn ? ，且 1. ?nm ，（Ⅰ）求角 A；（Ⅱ）若221 s in 2 3,c o s s inBBB? ??? 求 tanC 。 解析：（ Ⅰ）∵ 1mn?? ∴ ? ? ? ?1, 3 c o s , sin 1AA? ? ?，即 3 si n cos 1AA??， 312 s in c o s 122AA??? ? ? ?????， 1sin 62A ?????????； ∵ 50,6 6 6AA? ? ??? ? ? ? ? ?，∴66A ????，∴3A?。 （Ⅱ）由題知221 2 sin co s 3co s sinBBBB? ???， 整理得 si n si n c os 2 c os 0B B B B? ? ?，∴ cos 0B? ∴ 2ta n ta n 2 0BB? ? ?； ∴ tan 2B? 或 tan 1B?? ，而 tan 1B?? 使 22cos si n 0BB??，舍去； ∴ tan 2B? 。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。 題型 5：三角形中的三角恒等變換問(wèn)題 例 9．在△ ABC 中， a、 b、 c 分別是∠ A、∠ B、∠ C 的對(duì)邊長(zhǎng)，已知 a、 b、 c 成等比數(shù)列，且 a2－ c2=ac－ bc，求∠ A 的 大小及cBbsin的值。 分析：因給出的是 a、 b、 c 之間的等量關(guān)系，要求∠ A，需找∠ A 與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。由 b2=ac 可變形為cb2=a，再用正弦定理可求cBbsin的值。 解法一：∵ a、 b、 c 成等比數(shù)列，∴ b2=ac。 又 a2－ c2=ac－ bc，∴ b2+c2－ a2=bc。 第 9 頁(yè) 共 24 頁(yè) 在△ ABC 中，由余弦定理得： cosA=bc acb 2 222 ??=bcbc2=21，∴∠ A=60176。 在△ ABC 中，由正弦定理得 sinB=aAbsin，∵ b2=ac，∠ A=60176。， ∴acbc Bb ?? 60sinsin 2=sin60176。 =23。 解法二：在△ ABC 中， 由面積公式得21bcsinA=21acsinB。 ∵ b2=ac，∠ A=60176。，∴ bcsinA=b2sinB。 ∴cBbsin=sinA=23。 評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。 例 10．（ 20xx 京皖春， 17 ）在△ ABC 中，已知 A、 B、 C 成等差數(shù)列，求2t a n2t a n32t a n2t a n CACA ?? 的值。 解析：因?yàn)?A、 B、 C 成等差數(shù)列，又 A＋ B＋ C＝ 180176。，所以 A＋ C＝ 120176。， 從而2CA?＝ 60176。，故 tan 32 ??CA.由兩角和的正切公式， 得 32ta n2ta n12ta n2ta n ???CACA。 所以 ,2t a n2t a n332t a n2t a n CACA ??? 32t a n2t a n32t a n2t a n ??? CACA 。 點(diǎn)評(píng)：在三角函數(shù)求值問(wèn)題中的解題思路，一般是運(yùn)用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時(shí)結(jié)合三角變換公式的逆用。 題型 6：正、余弦定