(備用)貝葉斯方法(估計_推斷_決策)-文庫吧
2025-02-16 15:16 本頁面
【正文】 ??樣本 X與參數(shù)的聯(lián)合分布為 ?),( ?xh10,1,0,)1( ???? ? ??? nxC xnxxn ?此式在定義域上與二項分布有區(qū)別。再計算 X的邊際密度為 nxn xnxCdxhxm xn ,1,0,)2( )1()1(),()( 10??? ??????? ? ?? 10,)1()1()1()2()( ??????????? ? ????? xnxxnxnx即 )1,1(~ ??? xnxBeX?拉普拉斯計算過這個概率 ,研究男嬰的誕生比例是否大于 ?如抽了 251527個男嬰 ,女嬰241945個 貝葉斯統(tǒng)計學首先要想方設法先去尋求 θ的先驗分布。先驗分布的確定大致可分以下幾步： 第一步，選一個適應面較廣的分布族作先驗分布族，使它在數(shù)學處理上方便一些，這里我們選用 β分布族 0,0,10,)1()()( )()( 11 ??????? ??? ?? baba ba ba ????? 注： 0,0,)()()(),(0,0,)1(),(!)1(,0,)(101101????????????????????????qpbaqpqpBqpdxxxqpBnnsdxexsqpxs作為 θ的先驗分布族是恰當?shù)模瑥囊韵聨追矫婵紤]： 1 參數(shù) θ是廢品率，它僅在（ 0， 1）上取值。因此，必需用區(qū)間（ 0， 1）上的一個分布去擬合先驗信息。β分布正是這樣一個分布。 2 β分布含有兩個參數(shù) a與 b，不同的 a與 b就對應不同的先驗分布，因此這種分布的適應面較大 3 樣本 X的分布為二項分布 b（ n， θ）時，假如 θ的先驗分布為 β分布，則用貝葉斯估計算得的后驗分布仍然是 β分布，只是其中的參數(shù)不同。這樣的先驗分布（ β分布）稱為參數(shù) θ的共軛先驗分布。選擇共軛先驗分布在處理數(shù)學問題上帶來不少方便。 4 國內(nèi)外不少人使用 β分布獲得成功。 第二步，根據(jù)先驗信息在先驗分布族中選一個分布作為先驗分布，使它與先驗信息符合較好。利用 θ的先驗信息去確定 β分布中的兩個參數(shù) a與 b。從文獻來看，確定 a與 b的方法很多。例如，如果能從先驗信息中較為準確地算得 θ先驗平均和先驗方差，則可令其分別等于 β分布的期望與方差最后解出 a與 b。 22 )1()( ??Sbabaabbaa??????? ??????)1()1(22?????abSa如果從先驗信息獲得 ，責可解得 a=3， b=12這意味著 θ的先驗分布是參數(shù) a=3， b=12的 β分布。 假如我們能從先驗信息中較為準確地把握 θ的兩個分位數(shù)，如確定 θ確定的 10％分位數(shù)θ0。 1和 50％的中位數(shù) θ0。 5，那可以通過如下兩個方程來確定 a與 b。 , 2 ?? ?? S ?????????.)(,)(00????????dd假如的信息較為豐富，譬如對此產(chǎn)品經(jīng)常進行抽樣檢查，每次都對廢品率作出一個估計，把這些估計值看作的一些觀察值，再經(jīng)過整理，可用一個分布去擬合它。 假如關于的信息較少，甚至沒有什么有用的先驗信息，那可以用區(qū)間（ 0， 1）上的均勻分布（ a=b=1情況）。用均勻分布意味著我們對的各種取值是“同等對待的”，是“機會均等的”。貝葉斯本人認為，當你對參數(shù) θ的認識除了在有限區(qū)間（ c， d）之外，其它毫無所知時，就可用區(qū)間（ c， d）上的均勻分布作為 θ的先驗分布。這個看法被后人稱之為“貝葉斯假設”。 確定了先驗分布后，就可計算出后驗分布，過程如下 11 )1()()()(()(),(????? ????????????????xnbxaxnbabaxXpxp??????x=0， 1， … ， n， 0θ1 于是 X的邊際分布為 .,1,0,)( )()()()( )(),() 10nxxnnba xnbxaba badxpxp ????????????????????????? ? ?? 最后在給出 X=x的條件下， θ的后驗密度為 10,)1()()( )()( ),()( 11 ???????? ????? ????? xxnbxa nbaxp xpx xnbxa ?????顯然這個后驗分布仍然是 β分布，它的兩個參數(shù)分別是 a+x和 b+nx。我們選后驗期望作為的貝葉斯估計，則 θ的貝葉斯估計為 nbaxadxB ????? ? 10 )(? ?????與前面的極大似然估計是不同的。 baaXEbaX??)(),(~ ?如果用（ 0， 1）上的均勻作為 θ的先驗分布，則 θ的貝葉斯估計為 21????nxB?計算如下： 10.,1,0,)1()()(),(???????? ???????nxCxXpxpxnxxn ? 10,)1()1()1()2()(),()()2()1()1()1()(10?????????????????????????xxnxnxpxpxnxnxCdCxpxnxxnxnxxn????????后驗分布為 )1,1( ??? xnx? 三、 常用的一些共軛先驗分布 對于一些常用的指數(shù)分布族，如果僅對其中的參數(shù) θ感興趣，下表列出了它們的共軛先驗分布及后驗期望。 分 布 共 軛 先 驗 分 布 后 驗 分
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