生產(chǎn)運(yùn)籌--非線性規(guī)劃的基本概念-文庫吧
2025-02-13 12:17 本頁面
【正文】 635? 例 3：用圖解法求解 ? ②再畫出不等式約束區(qū)域， ? ③最后畫出目標(biāo)函數(shù)等值線， ? 所以 最優(yōu)解 x*=(4,1), 最優(yōu)值 min f(x)=4. 4 梯度、 Hesse矩陣、 Jacobi陣 ? (1) 二次函數(shù) 一般形式 : 矩陣形式 : 二次型 : 矩陣 A的 正定性 : 正定、半正定、負(fù)定、不定。 其中 A＝ AT。 二次型的 正定性 : 正定、半正定、負(fù)定、不定。 ? ? cxbxxgxxxf iniininjjiijn ??? ?? ??? ? 11 121 21, ?? ?cxbAxxxf TT ??? 21? ? Axxxf T21? （ 2） 梯度 定義： f(x) 是定義在 En上的可微函數(shù)。 f(x) 的 n個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為分量的向量稱為 f(x) 的 梯度 . ? ? ? ? ? ? Tnxxfxxfxxfxf?????????????? ?,)(21 性質(zhì) ：設(shè) f(x) 在定義域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即有連續(xù)梯度，則梯度有以下兩個(gè)重要性質(zhì)： 性質(zhì)一 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度不為零，則該梯度方向必與過該點(diǎn)的等值面垂直 。 性質(zhì)二 梯度方向是函數(shù)具有最大變化率的方向（負(fù)梯度方向也叫 最速下降方向 ）。 解： 由于 ,46 211xxxf ????? ?102121????????????????????????xxxfxfxfP例： 試求目標(biāo)函數(shù) 在點(diǎn) x =[0,1]T 處的最速下降方向，并求沿這個(gè)方向移動(dòng)一個(gè)單位長度后新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。 ? ? 22212121 43, xxxxxxf ??? 則函數(shù)在 x =[0,1]T 處的最速下降方向是 21224 xxxf ????? ????????????????????? 24244610212121xxxxxx這個(gè)方向上的單位向量是： ? ?? ? ? ? ? ? ??????????????????????????????551552242422xfxfe 解： 由于 例： 試求目標(biāo)函數(shù) 在點(diǎn) x =[0,1]T 處的最速下降方向，并求沿這個(gè)方向移動(dòng)一個(gè)單位長度后新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。 ? ? 22212121 43, xxxxxxf ???新點(diǎn)是： ? ?? ? ? ? ? ? ??????????????????????????????551552242422xfxfe???????????????????????????????????5511552551552101exx? ? 52526|43 12221211 ????? xxxxxxf函數(shù)值： ? 幾個(gè)常用的梯度公式 ： ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? AxxfAxxxfAxxfxxxfbxfxbxfCxfCxfTTT2 .4...20 .0,.1??????????????則對稱矩陣。則則即則常數(shù) （ 3） Hesse矩陣 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???????????????????????????????????????????????????????22221222222212121222122nxxfnxxxfnxxxfxnxxfxxfxxxfxnxxfxxxfxxfxfxf??????多元函數(shù) f(x) 關(guān)于 x的二階導(dǎo)數(shù)，稱為 f(x)的 Hesse矩陣 . 當(dāng) f(x)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí) ,即 ? ? ? ?ijji xxxfxxxf??????? 22Hesse矩陣是對稱的 . 時(shí)， ? ? 。0)(,)( 2 ?????? xfbxfxbxf T? ? )。()(,)(21 2 單位陣Ixfxxfxxxf T ??????? ? .)(,)(,21 2 AxfAxxfAAxxxf T ?????? 對稱?幾個(gè)常用 Hessian公式： （ 4） Jacobi矩陣 ? 向量變量值函數(shù) ： ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????????????????????????????????????????nmmmnnxxgxxgxxgxxgxxgxxgxxgxxgxxgxg0201002202102012011010??????向量值函數(shù) g(x)在點(diǎn) x0處的 Jacobi矩陣 Tn xgxgxgxg ))(,),(),(()( 21 ??? 向量變量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ： Tnxxxx ),( 21 ?? (1)凸函數(shù)： ）有，（若對是非空凸集，設(shè) 10,: 1 ???? ?RSfRS n定義 上是凸的。在上的凸函數(shù)，或是則稱 SS ff 上是嚴(yán)格凸的。在上的嚴(yán)格凸函數(shù)，或是則稱 SS ff 凹的。嚴(yán)格上是在或凹函數(shù)嚴(yán)格上的是凸函數(shù)，稱嚴(yán)格上的是若)(S,)(S)(Sfff?5 凸函數(shù)和凸規(guī)劃 Sxxxfxfxxf ???????212121 ,),()1()())1(( ???? Sxxxfxfxxf ??????? 212121 ,),()1()())1(( ????若 即是凸的也是凹的。其中例 1,)( RRxxxf nT ???? ???? 是凸函數(shù)其中例 nRxxxf ?? ||||)( 例：正定二次函數(shù) ,21)( cxbAxxxf TT ???其中 A是正定矩陣， f(x)是凸函數(shù)。 參見 P104例。 是非空凸集設(shè) nRS ?性質(zhì) 1: 上的凸函數(shù)；是，則上的凸函數(shù)，是若 S0S)1( ff ?? ? 上的凸函數(shù)。是上的凸函數(shù)是若 S,S,)2( 2121 ffff ??（ 2）凸函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì) 2: 則集合是凸函數(shù)是非空凸集設(shè) , 1RcfRS n ?? ? ?cxfSxcfH S ??? )(|),(是凸集。 證明 :略 . 則可微：是非空開凸集，設(shè) ,S 1RSfR n ?? ?上的凸函數(shù)是）（ S1 f Sxxxfxfxxxf T ?????? 2112121 ,),()()()( 處的梯度。是函數(shù)在點(diǎn)）（其中11111 )(,)()( xxxfxxfxf Tn?????? ?定理 1：（一階條件） ?上的嚴(yán)格凸函數(shù)是）（ S2 f 212112121 , ),()()()( xxSxxxfxfxxxf T ???????n=1時(shí)幾何意義：可微函數(shù)是凸的等價(jià)于切線不在函數(shù)圖像上方。 ? （ 3） 凸函數(shù)的判定 逆命題不成立）上的嚴(yán)格凸函數(shù)（此時(shí)是上是正定矩陣時(shí)在當(dāng)上是半正定的。在上的凸函數(shù)是則二階連續(xù)可導(dǎo)是非空開凸集設(shè),)(S)( ,:,S221SfSxfxfSfRSfRn???????????
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