第一講--數(shù)系的擴(kuò)充-文庫(kù)吧
2025-07-31 23:44 本頁(yè)面
【正文】 中葉，德國(guó)數(shù)學(xué)家 康托 提出了自然數(shù)的基數(shù)理論，基數(shù)理論以“ 集合 ”為原始概念，利用 集合的知識(shí) 來(lái)定義自然數(shù)以及各種運(yùn)算。 基數(shù)理論反映了“ 多少個(gè) ”在數(shù)量上的意義，但沒(méi)有能揭示自然數(shù)在順序上“第幾個(gè)”的意義，也沒(méi)有給出自然數(shù)的加乘運(yùn)算的具體方法。 伽利略的困惑 直觀上看 ：自然數(shù)多，完全平方數(shù)在自然數(shù)中，有如滄海一粟，占的比例極少。 理論上得 ：自然數(shù)與完全平方數(shù)一樣多。 自然數(shù)的序數(shù)理論 皮亞諾 （ ）在 1889年提出自然數(shù)的公理，建立了自然數(shù)的序數(shù)理論，以“ 集合 ”、“ 后繼 ”為原始概念，用一組公理刻劃： 公理 I說(shuō)明 1是自然數(shù)， 公理 III說(shuō)明 1是最前面的自然數(shù)， 公理 IV說(shuō)明 N中任何數(shù)都有唯一的后繼元，且不同數(shù)的后繼數(shù)也不同。 德國(guó)數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克有一句名言：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其他的數(shù)都是人造的了?！? 自然數(shù)集是一個(gè)無(wú)限集，也是人們?cè)跀?shù)學(xué)上遇到的最簡(jiǎn)單、最直接的無(wú)限集。從 1開(kāi)始采用求后繼的辦法，可以求出任何一個(gè)自然數(shù)，而且求每一個(gè)自然數(shù)的過(guò)程是有限的，把自然數(shù)集的這種無(wú)限性叫做“潛無(wú)限”。 歸納公理 是第一數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)和邏輯基礎(chǔ) 。 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)自然數(shù)的命題時(shí)應(yīng)注意： 第一步是 奠基部分 ，歸納法原理的兩步缺一不可，否則將導(dǎo)致矛盾； 在證明推導(dǎo)第二步時(shí)，一定要用歸納假設(shè)的結(jié)論作為第二步推理的 基礎(chǔ) 。 數(shù)學(xué)歸納法是建立在“ 潛無(wú)限” 的觀念基礎(chǔ)上，推導(dǎo)過(guò)程看似一個(gè)有限的過(guò)程，但是在邏輯上保證命題對(duì)“一切自然數(shù)”都正確。用 “有限”體現(xiàn)“無(wú)限” 的過(guò)程。 正確理解“潛無(wú)限” 三毛悖論：“任何有頭發(fā)的人都是禿子”。 我國(guó)的數(shù)學(xué)教科書(shū)中在 20世紀(jì) 90年代之前，一直沒(méi)有把 0作為自然數(shù)，但是 1993年頒發(fā)的《 中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn) 》 中 《 量和單位 》規(guī)定自然數(shù)包括 ：用 0表示“一個(gè)物體也沒(méi)有”所對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)。 最小數(shù)原理 最小數(shù)原理是第二數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)和理論依據(jù)。 “瑞雪兆豐年”與數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法考察了以下能力傾向： （ 1）從 整體結(jié)構(gòu) 上直接領(lǐng)悟數(shù)
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