線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解-文庫(kù)吧
2025-07-31 20:38 本頁(yè)面
【正文】 ?? ? ? ? ? ?????xx. . .!. . .!2 22??????? kkAttkAtAAtIe? 利用矩陣指數(shù)函數(shù)符號(hào) ,齊次狀態(tài)方程的解可寫(xiě)為： x(t)=eAtx0 2．拉氏變換法 ? 若將對(duì)標(biāo)量函數(shù)拉氏變換的定義擴(kuò)展到向量函數(shù)和矩陣函數(shù) ,定義對(duì)向量函數(shù)和矩陣函數(shù)的拉氏變換為分別對(duì)該向量函數(shù)和矩陣函數(shù)的各個(gè)元素求相應(yīng)的拉氏變換 ,那么可利用拉氏變換及拉氏反變換的方法求解齊次狀態(tài)方程 的解。 ? 對(duì)該齊次狀態(tài)方程 x’=Ax,設(shè)初始時(shí)刻 t0=0且初始狀態(tài) x(t)=x0,對(duì)方程兩邊取拉氏變換 ,可得 sX(s)x0=AX(s) ? 于是可求得該齊次狀態(tài)方程的解 x(t)的拉氏變換為 X(s)=(sIA)1x0 ? 對(duì)上式取拉氏反變換 ,即得齊次狀態(tài)方程的解為 x(t)=L1[(sIA)1]x0 ? 下面討論如何求解拉氏反變換 L1[(sIA)1]。 ? 主要思想為將標(biāo)量函數(shù)的拉氏變換與反變換平行推廣至矩陣函數(shù)中。 ? 對(duì)標(biāo)量函數(shù) ,我們有 2112322111( ) ... ...1 ... ... [ ( ) ]2 ! !kkkkata a asas s s sa t a tat L s ak????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?e? 將上述關(guān)系式推廣到矩陣函數(shù)則有 ...!...!2......)(2213221????????????????ktAtAAtIsAsAsAsIAsIkkAtkke其中 eAt稱(chēng)為時(shí)間 t的矩陣指數(shù)函數(shù)，并有 AtkkkkktAtAAtIsAsAsAsILAsILe????????????????????????...!...!2......])[(221322111? 因此 ,基于上述 (sIA)1的拉氏反變換 ,該齊次方程的解為 x(t)=L1[(sIA)1]x0 = eAt x0 ? 上述拉氏反變換法求解結(jié)果與前面的級(jí)數(shù)展開(kāi)法求解結(jié)果一致。 ? 若初始時(shí)刻 t0?0,對(duì)上述齊次狀態(tài)方程的解作坐標(biāo)變換 ,則可得解的另一種表述形式 : 0() 0( ) e ( )A t ttt??xx? 狀態(tài)方程的解表達(dá)式說(shuō)明了齊次狀態(tài)方程的解實(shí)質(zhì)上是初始狀態(tài) x(t0)從初始時(shí)刻 t0到時(shí)刻 t系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移 ,其轉(zhuǎn)移特性和時(shí)刻 t的狀態(tài) 完全由矩陣指數(shù)函數(shù) 和初始狀態(tài) x(t0)所決定。 )( 0e ttA ?? 為討論方便 ,引入能描述系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性的線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下 : ?(t)=eAt ? 因此 ,有如下關(guān)系式 x(t)=?(t)x0=?(tt0)x(t0) ? 由上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義和齊次狀態(tài)方程的解 ,系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣有如下關(guān)系 ?(t)=L1[(sIA)1] )(0 0e)( ttAtt ???? 齊次狀態(tài)方程的解描述了線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)。 ? 由解的表達(dá)式可以看出 ,系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的軌線(xiàn)是由從初始時(shí)刻的初始狀態(tài)到 t時(shí)刻的狀態(tài)的轉(zhuǎn)移刻劃的 ,如圖 31所示。 0 t x x 0 1 x ( t )= ? ( t ) x 0 ? ( t ) )0(x)( 1tx)0( 1 ?t?)( 2tx)( 12 tt ??t1x2x0 1t 2t圖 31 狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性 ? 當(dāng)初始狀態(tài)給定以后 ,系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性就完全由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣所決定。 ?所以 ,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的全部信息。 ? 可見(jiàn) ,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算是齊次狀態(tài)方程求解的關(guān)鍵。 213 2 ( 1 ) ( 2)31a dj ( ) 1()2( 1 ) ( 2)2 1 1 11 2 1 2
范文總結(jié)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1