【正文】 )/P(M,M)=M!/[(MN)!*N!]C(5,3)=P(5,3)/P(3,3)=(5!/2!)/3!=5*4*3/(1*2*3)=10可以這樣理解：組合與排列的區(qū)別就在於取出的M個作不作排列即M的全排列P(M,M)=M!，那麼他們之間關(guān)係就有先做組合再作M的全排列就得到了排列所以C(M,N)*P(M,M)=P(M,N)，由此可得組合公式性質(zhì)：C(M,N)=C( (MN), N )即C(5,3)=C( 5,(53) )=C(5,2) = (5!/3!)/2!=103．機率(probability)某一事件在相同的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生，這類事件成為隨機事件(random occurrence)。機率就是用來表示隨機事件發(fā)生的可能性大小的一個量。很自然而必然發(fā)生的機率定為1，並把不可能發(fā)生的事件的機率定為0，而一般隨機事件的機率是介於0和1之間的一個數(shù)。機率的定義：P=滿足某個條件的所有可能情況數(shù)量/所有可能情況數(shù)量機率的性質(zhì)：0=P=1機率的種類：1)不相容事件的機率：a，b為兩兩不相容的事件（即發(fā)生了a，就不會發(fā)生b)P(a或b)=P(a)+P(b)P(a且b)=P(a)+P(b)=0 (A，B不能同時發(fā)生)2）對立事件的機率:對立事件就是a+b就是全部情況，所以不是發(fā)生a，就是b發(fā)生，但是，有一點a，:a:一件事不發(fā)生b:一件事發(fā)生，則A，B是對立事件顯然：P（一件事發(fā)生的機率或一件事不發(fā)生的機率）=1（必然事件的機率為1）則一件事發(fā)生的機率=1 一件事不發(fā)生的機率...........公式1理解抽象的機率最好用集合的概念來講，否則結(jié)合具體較好理解a，b不是不相容事件(也就是說a，b有公共部分)分別用集合A和集合B來表示即集合A與集合B有交集，表示為A∩B （a發(fā)生且b發(fā)生）集合A與集合B的聯(lián)集，表示為A U B （a發(fā)生或b發(fā)生）則：P（A U B）= P(A)+P(B)P(A∩B).................公式23）條件機率：考慮的是事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的機率定義：設(shè)A，B是兩個事件，且P（A）0，稱P（B|A）=P（A*B）/P（A）....................公式3為事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的機率理解：就是P（A與B的交集）/P（A集合）理解: “事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的機率”，很明顯，說這句話的時候，A，B都發(fā)生了，求的是A，B同時發(fā)生的情況占A發(fā)生時的比例，就是A與B同時發(fā)生與A發(fā)生的機率比。4）獨立事件與機率兩個事件獨立也就是說，A，B的發(fā)生與否互不影響，A是A，B是B，用公式表示就是P（A|B）=P(A)所以說兩個事件同時發(fā)生的機率就是： P（A U B）＝P（A）P（B）................公式4ps:排列組合結(jié)合機率中的“古典機率”就可以解決幾乎所有的GRE數(shù)學(xué)機率問題，但要靈活應(yīng)用，而且很多題目看起來像機率題實際上它就是個抽屜原理（6個球放到5個抽屜裏則至少有一個抽屜裏有兩個或更多的球），他就讓你比較和1的大小，當然是相等。練習題:1：A， B獨立事件， ，問：兩個中發(fā)生一個或都發(fā)生的機率 ？解答： P＝P(A且!B)+P(B且!A)+P(A且B) =*()+*()+*= 另一個角度，所求機率P=1P(A，B都不發(fā)生) =1()*()=2：一道機率題：就是100以內(nèi)取兩個數(shù)是6的整倍數(shù)的機率。 解答：100以內(nèi)的倍數(shù)有6，12，18，...96共計16個所以從中取出兩個共有16*15種方法，從1100中取出兩個數(shù)的方法有99*100種，所以P=(16*15)/(99*100)=12/505=Editor’s note: P=(16/100)*(15/99)=3：1350 inclusive 中，在100299inclusive之間以3，4，5，6，7，8，9結(jié)尾的數(shù)的機率.因為100299中以3，4，5，6，7，8，9結(jié)尾的數(shù)各有20個，所以Key：（20*7）/350= （inclusive），337350之間整數(shù)占的百分比Key:(359337+1)/350=4%，問E不發(fā)生的情況下，解答：看了原來的答案，都太過分了吧?其實用全機率公式是很好解決這個問題的，還是先用白話文說一遍吧: 某一個事件A的發(fā)生總是在一定的其他條件下如B，C，D發(fā)生的，也就是說A的機率其實就是在，B，C，在C發(fā)生時有一個條件機率，在D發(fā)生時有一個條件機率，如果B，C，A的機率不就是這幾個條件機率之和麼。 P(A)=P(A|B)+P(A|C)+P(A|D) 好了，看看這個題目就明白了：F發(fā)生時，E要麼發(fā)生，要麼不發(fā)生，OK?所以，P(F)=P(F|E)+P(F|!E) 感覺上也沒錯吧? 給了P(F|E)=，所以 P(F|!E)= P(F)P(F|E)= P(F)如果P(F)=1，那麼P(F|!E)==P(F)1，那麼0=P(F|!E)如果…………，唉，我就不說你什麼了…………sighEditor’s note: P(F)必定=1，答案要選”(D)不一定”統(tǒng)計學(xué)部分(mode) 一組數(shù)中出現(xiàn)頻率最高的一個或幾個數(shù)。例：mode of 1,1,1,2,3,0,0,0,5 is 1 and 0。Editor’s note：mode眾數(shù) (from劍橋百科全書)數(shù)學(xué)中得分次數(shù)最多的數(shù)集合。例如在5中的眾數(shù)是4。如果得分是分組的,那麼每一單位組寬具有最高頻率的組稱為眾數(shù)組。因此在下例標記019 2029 3039 頻率8 10 8中眾數(shù)組是2029。(range)一堆數(shù)中最大和最小數(shù)之差 ，所以統(tǒng)計學(xué)上又稱之為極差(兩極的差). range of 1，1，2，3，5 is 51=4 3. 平均數(shù)(mean） arithmetic mean（算術(shù)平均數(shù)）: n個數(shù)之和再除以n geometric mean （幾何平均數(shù)）: n個數(shù)之積的n次方根 4. 中數(shù)(median)對一組數(shù)進行排序後，正中間的一個數(shù)（數(shù)位個數(shù)為奇數(shù)）， 或者中間兩個數(shù)的平均數(shù)（數(shù)位個數(shù)為偶數(shù)）。例： median of 1,7,4,9,2,5,8 is 5 median of 1,7,4,9,2,5 is (5+7)/2=6ps: GRE經(jīng)?？疾毂姅?shù)與數(shù)的個數(shù)的積和這組數(shù)的和的大小。Editor’s note：median中位數(shù)(from劍橋百科全書)數(shù)學(xué)中數(shù)按大小次序排列時的中間數(shù)。例如1,5,3,7,2重排為1,2,3,5,7時,中間數(shù)為3。如果數(shù)字為偶數(shù)個,則中位數(shù)是兩個中間數(shù)的平均,如 1,4,5,2中位數(shù)是1/2(2+4),即3。對於連續(xù)分布的數(shù)字,則中位數(shù)M使得一半的數(shù)字比M小,而另一半數(shù)字比M大。 error 一堆數(shù)中，每個數(shù)與平均數(shù)的差的絕對值之和，除以這堆數(shù)的個數(shù)(n) . standard error of 0，2，5，7，6 is: (|04|+|24|+|54|+|74|+|64|)/5= variation 一堆數(shù)中，每個數(shù)與平均數(shù)之差的平方之和，再除以n 標準方差的公式：d2=[(a1a)2+(a2a)2+....+(ana)2 ]/n. standard variation of 0，2，5，7，6 is: average=4((04)2 +(24)2+(54)2+(74)2+(64)2)/5= deviation 就是standard variation的平方根 dps :GRE經(jīng)常讓你比較眾數(shù)(mode)或中數(shù)(median)與數(shù)的個數(shù)的乘積和這組數(shù)的和的大小，可以舉幾個極限情況的例子驗證一下。還有一種題型是給你兩組數(shù)的平均值，均方差，比較他們的中數(shù)大??；要注意中數(shù)的大小和那兩個值是沒有必然聯(lián)繫的，無法比較。 calculation of quartile(四分位數(shù)的計算)Quartile（四分位數(shù)）：第0個Quartile實際為通常所說的最小值（MINimum）；第1個Quartile（En：1st Quartile）；第2個Quartile實際為通常所說的中分位數(shù)（中數(shù)、二分位數(shù)、中位數(shù)：Median）；第3個Quartile（En：3rd Quartile）；第4個Quartile實際為通常所說的最大值（MAXimum）；我想大家除了對1st、3rd Quartile不瞭解外，對其他幾個統(tǒng)計值的求法都是比較熟悉的了，而求1st、3rd是比較麻煩的。下面以求1st Quartile為例：設(shè)樣本數(shù)為n（即共有n個數(shù)），可以按下列步驟求1st Quartile：1．n個數(shù)從小到大排列，求(n1)/4，設(shè)商為i，餘數(shù)為j2．則可求得1st Quartile為：(第i+1個數(shù))*(4j)/4+(第i+2個數(shù))*j/4例（已經(jīng)排過序啦！）：1）.設(shè)序列為{5}，只有一個樣本則：(11)/4 商0，餘數(shù)01st=第1個數(shù)*4/4+第2個數(shù)*0/4=52）.設(shè)序列為{1，4}，有兩個樣本則：(21)/4 商0，餘數(shù)11st=第1個數(shù)*3/4+第2個數(shù)*1/4=3）.設(shè)序列為{1，5，7}，有三個樣本則：(31)/4 商0，餘數(shù)21st=第1個數(shù)*2/4+第2個數(shù)*2/4=34）.設(shè)序列為{1，3，6，10}，四個樣本：(41)/4 商0，餘數(shù)31st=第1個數(shù)*1/4+第2個數(shù)*3/4=5）.其他類推！因為3rd與1rd的位置對稱，這是可以將序列從大到小排（即倒過來排），再用1rd的公式即可求得：例（各序列同上各列，只是逆排）：{5}，3rd=52.{4，1}，3rd=4*3/4+1*1/4=3.{7，5，1}，3rd=7*2/4+5*2/4=64.{10，6，3，1}，3rd=10*1/4+6*3/4=79．The calculation of Percentile 設(shè)一個序列供有n個數(shù)，要求（k%）的Percentile： （1）從小到大排序，求(n1)*k%，記整數(shù)部分為i，小數(shù)部分為j 可以如此記憶：n個數(shù)中間有n1個間隔，n1/4就是處於前四分之一處，（2）所求結(jié)果＝（1－j）*第(i＋1)個數(shù)＋j*第(i+2)個數(shù) 特別注意以下兩種最可能考的情況： （1）j為0，即(n1)*k%恰為整數(shù)，則結(jié)果恰為第(i+1)個數(shù) （2）第(i+1)個數(shù)與第(i+2)個數(shù)相等，不用算也知道正是這兩個數(shù). 注意：前面提到的Quartile也可用這種方法計算， 其中1st Quartile的k%=25% 2nd Quartile的k%=50% 3rd Quartile的k%=75% 計算結(jié)果一樣. 例：（注意一定要先從小到大排序的，這裏已經(jīng)排過序啦！） ｛1，3，4，5，6，7，8，9，19，29，39，49，59，69，79，80｝共16個樣本 要求:percentile＝30%：則(161)*30%==4+ i＝4，j＝()*第5個數(shù)＋*第6個數(shù)=*6+*7= find median using StemandLeaf (莖葉法計算中位數(shù)) StemandLeaf method 其實並不是很適用於GRE考試，除非有大量資料時可以用這種方法比較迅速的將資料有序化。一般GRE給出的資料在10個左右，莖葉法有點大材小用. StemandLeaf 其實就是一種分級將資料分類的方法。Stem就是大的劃分，如可以劃分為1～10，11～20，21～30…，而Leaf就是把劃分到Stem一類中的資料再排一下序。看了例子就明白了。Example for StemandLeaf method:Data：23，51，1，24，18，2，2，27，59，4，12，23，15，200| 1 2 2 4 1| 12 15 18 2| 20 23 23 24 27 5| 51 59 Stem (unit) = 10 Leaf (unit) = 1 分析如下：最左邊的一豎行 0， 1， 2， 5叫做Stem， 而右邊剩下的就是Leaf(leaves). 上面的StemandLeaf 共包含了14個data， 根據(jù)Stem及l(fā)eaf的unit， 分別是： 1， 2， 2， 4 (first row)， 12， 15， 18 (second row)， 20， 23， 23， 24， 27(third row)， 51， 59 (last row)。Stem and Leaf其實就是把各個unit，比如個位，十位等歸類了而已，一般是從小到大有序排列，所以在找Stemand Leaf 找median的時候， (如果data個數(shù)是偶，則取中間兩數(shù)的平均數(shù))， =19. 大家在碰到這種題的時候都可以用上面的方法做，只要注意unit也就是分類的數(shù)量級就行了.為什麼用StemandLeaf 方法？可能你覺得這樣做太麻煩了，其實StemandLeaf 方法好處就是：你不必從一大堆數(shù)裏去