第二章隨機向量-文庫吧
2025-07-17 13:04 本頁面
【正文】 ? (2)設(shè) A,B,C為常數(shù)矩陣，則 E(AXB+C)=AE(X)B+C ? 特別地，對于隨機向量 x，有 E(Ax)=AE(x) ? (3)設(shè) X1,X2,?,Xn為 n個同階的隨機矩陣，則 E(X1+X2+?+Xn)=E(X1)+E(X2)+?+E(Xn) 10 二、協(xié)方差矩陣 ?協(xié)方差 定義為 ?若 Cov(x,y)=0，則稱 x和 y不相關(guān) 。 ?兩個獨立的隨機變量必然不相關(guān)，但兩個不相關(guān)的隨機變量未必獨立。 ?當(dāng) x=y時，協(xié)方差即為 方差 ，也就是 ? 的 協(xié)方差矩陣（簡稱 協(xié)差陣 ）定義為 ? ? ? ?1 2 1 2, , , , , ,pqx x x y y y????xy 和? ? ? ? ? ?C o v ,x y E x E x y E y? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?C o v ,x x V x?11 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 12 1 2 2 2121 1 1 1 1 111Cov , Cov , Cov ,Cov , Cov , Cov ,Cov ,Cov , Cov , Cov ,qqp p p qqqp p p p q qx y x y x yx y x y x yx y x y x yE x E x y E y E x E x y E yE x E x y E y E x E x y E y????? ???????? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ???xy? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?1111,qqppx E xE y E y y E yx E xE E E???????? ? ???????????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?x x y y12 ? 若 Cov(x,y)=0，則稱 x和 y不相關(guān) 。 ? 兩個獨立的隨機向量必然不相關(guān)，但兩個不相關(guān)的隨機向量未必獨立。 ? V(x)亦記作 Σ=(σij)，其中 σij=Cov(xi,xj)， σii=σi 2=V(xi)。在給定x2的條件下， x1的 協(xié)差陣 稱為 條件 協(xié)差陣 ，記作 V(x1|x2)。 ? ? ? ?C ov , C ov , ???? ??x y y x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 2 12 1 2 212C ov ,C ov , C ov ,C ov , C ov ,C ov , C ov ,ppp p pV E E EV x x x x xx x V x x xx x x x V x?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????????x x x x x x x13 ? 協(xié)差陣 Σ既包含了 x各分量的方差，也包含了每兩個分量之間的協(xié)方差。顯然， Σ是一 個對稱矩陣。 ? 例 一 隨機向量由 x和 y組成，其 協(xié)差陣 可作如下剖分 ： ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?==,=C o v ,C o v ,V E E EEE E EEE E E EEE E E EVV?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?????? ??????????????? ??? ? ? ?????? ? ? ??????????x x x x xy y y y yxxx x y yyyx x x x x x y yy y x x y y y yx x yy x y14 協(xié)差陣的性質(zhì) ?
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