空間直角坐標系和空間向量典型例題-文庫吧
2025-07-08 13:44 本頁面
【正文】 即（三）利用面面垂直關系構建直角坐標系 例3 如圖3，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD． ?。?）證明AB⊥平面VAD； ?。?）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值． 解析：（1）取AD的中點O為原點，建立如圖3所示的空間直角坐標系．設AD＝2，則A（1，０，０）、D（－1，０，０）、B（1，2，０）、V（０，０，），∴＝（０，2，０），＝（1，０，－）． 由，得 AB⊥VA．又AB⊥AD，從而AB與平面VAD內(nèi)兩條相交直線VA、AD都垂直，∴ AB⊥平面VAD； ?。?）設E為DV的中點，則 ∴，． ∴， ∴EB⊥DV． 又EA⊥DV，因此∠AEB是所求二面角的平面角． ∴．故所求二面角的余弦值為．（四）利用正棱錐的中心與高所在直線構建直角坐標系 例4 已知正四棱錐V－ABCD中，E為VC中點，正四棱錐底面邊長為2a，高為h． （1）求∠DEB的余弦值； （2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值． 解析：（1）如圖4，以V在平面AC的射影O為坐標原點建立空間直角坐標系，其中Ox∥BC，Oy∥AB，則由AB＝2a，OV＝h，有B（a，a，０）、C（a，a，０）、D（a，a，０）、V（0，0，h）、 ∴，． ∴， 即；（2）因為E是VC的中點，又BE⊥VC，所以，即，∴，∴．這時，即．引入空間向量坐標運算
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