【正文】 準形式 當 q=0時 ， 上式成為 4階常系數齊次微分方程 （ 415） ，式中的 ?為基于 Winkler地基模型的參數 ， 它綜合表達了梁土體系抵抗變形的能力 ， ? 的表達式為： qbpxwEI ???44dd（ 412） qbkwxwEI ???44dd （ 413） qwxw ?? 4444dd ?32 ?的單位為 m1， 稱為梁的柔度系數或特征系數 ， 其倒數 1/?稱為梁的特征長度 ， 而 ?l 稱為梁的柔度指數 。 微分方程 （ 415） 的通解為 式中的 C1~C4為待定常數 ， 決定于梁的邊界條件 。 4 4 EIbk??)s i nc o s()s i nc o s( xCxCexCxCew xx ???? ?? 4321 ???? ?（ 417） （ 416） 33 1. 集中力作用下的無限長梁 無限長梁承受集中荷載 F0作用時 ， 可將坐標系的原點設于 F0處 ， 從而可以利用對稱性 （ 圖 414） 。 于是邊界條件可以寫為： 1） x??時 ， w=0； 2） 由對稱性 ， 當 x=0時 ， ?=dw/dx=0； 3） 由對稱性和平衡條件 ， 在 x=0處的左右截面上的剪力的量值相等 ， 均為 F0 /2。 由 1） ， 得到 C1=C2=0， 于是 簡單條件下梁的計算 )s i nc o s( xCxCew x ??? 43 ?? ?34 微分后引入邊界條件 2） ， 有 所以有 再由邊界條件 3） ， 有 C=F0?/2kb， 所以 這就是 無限長梁承受集中荷載 F0作用時的基本解答 。 對上式求導 ， 利用微分關系 CCC ?? 43（ 419a） 0dd340433400????????? ????)(]s i n)(c os)[(CCxCCxCCexwxxxx????? ?)s i n( c o s xxekbFw x ??? ? ?? ?2 0?? ???? xwMxEIVxM dddddd ,35 可以求得梁在任意截面處的位移和內力 ， 再由Winkler地基模型可以確定地基反力 p=kw， 結果如公式（ 419） ， 式中的系數如公式 （ 420） 。 公式 （ 419） 只適用于 x?0的情形 ， 對于 x0（ 即梁的左半段 ） 的情況 ， 應利用對稱性求解 ， 請見圖 415。 實際上 ， 當 x0 時 ， 邊界條件 1） 有所改變 ， 公式 （ 417） 保留下來的是第 1項 ， 故得到的解答在形式上與 （ 419） 稍有差異 。 36 圖 415 圖 416 37 2. 集中力矩作用下的無限長梁 梁上只作用力矩 M0時 ， 如圖 416， 梁的邊界條件為： 1） x??時 ， w=0； 2） x=0時 ， w=0； 3） 由對稱性和平衡條件 ， 在 x=0處的左右截面上的彎矩的數值相等 ， 均為 M0/2， 但按材料力學的規(guī)定 ， 兩者的符號相反 。 根據上述邊界條件可以求得 C1=C2=C3=0， C4=M0?2/kb，相應的解答如公式 （ 421） ， 式中的系數仍為公式 （ 420） 。 38 與公式 （ 419） 的情況相同 ， （ 421） 只適用于 x?0的情形 ， 對于 x0（ 即梁的左半段 ） 的情況 ， 應利用對稱性求解 ， 請見圖 416。 注意無限長梁上作用集中力和集中力矩時在對稱性利用上的差別 。 3. 集中力作用下的半無限長梁 如圖 418（ a） ， 在半無限長梁的一端作用一集中力F0， 將坐標系的原點選在梁的端部 ， 梁的邊界條件為： 1） x??時 ， w=0； 2） x=0時 ， M=0； 3） x=0時 ， V=F0。 39 可以求得 C1=C2=C4=0， C3=2F0?/kb， 得到相應的解答如公式 （ 422） ， 式中的系數仍為公式 （ 420） 。 圖 418 40 4. 集中力矩作用下的半無限長梁 如圖 418（ b） ， 在半無限長梁的一端作用一集中力矩 M0，坐標系的原點選在梁的端部 ， 梁的邊界條件為： 1） x??時 ， w=0； 2） x=0時 ， M=M0； 3） x=0時 ， V=0。 同樣可以求得 C1=C2=0， C3=C4=2M0?2/kb ， 得到的解答如公式 （ 423） ， 式中的系數仍為公式 （ 420） 。 5. 有限 長梁 有限長梁的解答也可通過引入邊界條件由公式 （ 415） 得到 ， 但結果過于復雜 。 下面介紹應用疊加法求解有限長梁 。 41 按疊加法求解有限長梁的基本思想如下： 設彈性地基梁的長度為 l， 其上作用有任意荷載 ， 如圖 419的梁 I， 梁 I的兩端為自由端 。 為了利用疊加法 ， 假想將梁 I的兩端延伸到無窮遠 ， 成為梁 II， 于是可按無限長梁求得相應于梁 I兩端點 A、 B處的內力 Ma、 Va、 Mb和 Vb。 由于梁 I在 A、 B處的內力為零 ， 為滿足該條件 ， 設想在梁 II的 A、 B兩點各加上一對虛擬的外力 MA、 PA、 MB和 PB，以使得梁 II在 A、 B兩點內力為零 。 于是將需要施加的兩對力稱為邊界條件力 。 按此條件可以得到公式 （ 424） 。 求解 （ 424） 得到梁 II在 A、 B兩點應施加的外力 MA、 PA、MB和 PB， 將其施加到梁 II上 。 42 Fl lA B梁 I梁 IIF1 2MVMVaabb梁 IIMAPAFMBPB圖 419 43 求解該梁可以得到需要的解答 （ 該解答只在梁 I的長度范圍內有效 ） 。 按疊加法求解有限長梁的步驟如下： 1） 將梁 I延長為梁 II， 按無限長梁的公式計算梁 II相應于梁 I兩端處的內力 Ma、 Va、 Mb和 Vb； 2） 按公式 （ 424） 計算梁 II在 A、 B兩點需要施加的邊界條件力 MA、 PA、 MB和 PB； 3） 將 MA、 PA、 MB和 PB施加到梁 II上 ， 再按疊加法計算梁 II在原有荷載和邊界條件力共同作用下的位移 、 內力和地基反力 ， 將其結果限定在梁 I的范圍內 。 6. 短 梁 當梁的長度很短時 ， 梁本身的變形對地基反力的分布不產生顯著的影響 ， 可按剛性基礎基底壓力的簡化算法確定地基反力 ， 進而可求得基礎的內力 。 44 7. 梁的類型劃分標準 劃分梁的類型是為了求解的方便 。 梁的類型對求解過程的影響很大 。 根據分析的結果 ， 實用中可按下述標準劃分梁的類型 （ p. 88） ： 1） 無限長梁 —— 荷載作用點距梁兩端的距離均大于 ?/?的梁 ； 2） 半無限長梁 —— 荷載作用于梁的一端 ， 長度大于 ?/?的梁 ； 3） 有限長梁 —— 長度大于 ?/(4?)， 但小 于 ?/?的梁； 4） 短 梁 —— 長度小于或等于 ?/(4?)的梁 。 需要注意的是 ， 當前關于梁的類型劃分的標準并不統(tǒng)一 ，各類型梁的名稱也不一致 。 45 [題目 ] 圖示地基梁的橫截面為矩形 ， 已知 b=，h=， E=?107kPa， k=20MN/m3， 荷載已示于圖中 ，求梁在 b點處的位移 、 轉角 、 彎矩 、 剪力和地基反力 。 解： 由題給條件 ， 算得 例 1 無限長梁的計算 433 m0 1 801260112 .. ???? bhI1200 k N150 k Nm6m 6m 7m7m46 ?l1=?l2=?13=?， 所以可按無限長梁計算 。 b點處： x=0， 由公式 （ 420） ： 按疊加法由公式 （ 419） 和 （ 421） ， 求得梁在 b點處的位移 、 轉角 、 彎矩 、 剪力和地基反力： 1474 m34 3001 80102420 00 014 .. ???????EIbk?1000 ????? ? )s i n( c o s)s i n( c o s exxeA xx ???000 ??? ? s i ns i n exeB xx ??1000 ????? ? )s i n( c o s)s i n( c o s exxeC xx ???100 ??? ? c o sc o s exeD xx ??m01030012022022 120224302 200b .. ????? ???? xx BKMAKFw ??47 弧度000301202201 34301500 33020b .. ??? ?????? xx C