【正文】 tlett法進(jìn)行了兩方面的修正:一是選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)，并再周期圖計(jì)算前直接加進(jìn)去，加窗的優(yōu)點(diǎn)是無論什么樣的窗函數(shù)均可使譜估計(jì)非負(fù)。二是在分段時(shí)，可使各段之間有重疊，這樣會(huì)使方差減小。不同窗函數(shù)的welch譜估計(jì)在選擇窗函數(shù)時(shí)，一般有如下要求：1) 窗口寬度M要遠(yuǎn)小于樣本序列長度N，以排除不可靠的自相關(guān)值；2) 當(dāng)平穩(wěn)信號(hào)為實(shí)過程時(shí)，為保證平滑周期圖和真實(shí)功率譜也是實(shí)偶函數(shù)，平滑窗函必須是實(shí)偶對稱的；3) 平滑窗函數(shù)應(yīng)當(dāng)在是峰值，并且m隨絕對值增加而單調(diào)下降，使可靠的自相關(guān)值有較大的權(quán)值；4) 功率譜是頻率的非負(fù)函數(shù)且周期圖是非負(fù)的，因而要求窗函數(shù)的fourier變換是非負(fù)的。在經(jīng)典譜估計(jì)中，無論是周期圖法還是其改進(jìn)方法，都存在著頻率分辨率低、方差性能不好的問題，原因是譜估計(jì)時(shí)需要對數(shù)據(jù)加窗截?cái)?，用有限個(gè)數(shù)據(jù)或其自相關(guān)函數(shù)來估計(jì)無限個(gè)數(shù)據(jù)的功率譜，這其實(shí)是假設(shè)了窗以外的數(shù)據(jù)或自相關(guān)函數(shù)全為零，這種假設(shè)是不符合實(shí)際的，正是由于這些不符合實(shí)際的假設(shè)造成了經(jīng)典譜估計(jì)分辨率較差。另外，經(jīng)典譜估計(jì)的功率譜定義中既無求均值運(yùn)算又無求極限運(yùn)算，因而使得譜估計(jì)的方差性能較差，當(dāng)數(shù)據(jù)很短時(shí)，這個(gè)問題更為突出，如何選取最佳窗函數(shù)、提高頻率分辨率，如何在數(shù)據(jù)情況下提高信號(hào)譜估計(jì)質(zhì)量，還需要進(jìn)一步研究[10]。現(xiàn)代譜估計(jì)與經(jīng)典譜估計(jì)的主要區(qū)別就在于，現(xiàn)代譜估計(jì)一般采用信號(hào)模型法，信號(hào)模型法將原始信號(hào)視為白噪聲通過一系統(tǒng)的輸出信號(hào)，通過對輸出信號(hào)的觀測，按照一定的準(zhǔn)則，求出相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)，這樣再由輸入白噪聲和以求得的系統(tǒng)函數(shù)就很容易得到輸出信號(hào)的功率譜。由已知白噪聲和系統(tǒng)函數(shù)求得的輸出序列，實(shí)際上是對原始觀測到的輸出信號(hào)的兩端進(jìn)行了估計(jì)或延拓。數(shù)據(jù)長度加寬以后，頻譜分辨率會(huì)得到改善！因此現(xiàn)代譜估計(jì)優(yōu)于經(jīng)典譜估計(jì)。功率譜估計(jì)有著極其廣泛的應(yīng)用，不僅在認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)信號(hào)時(shí)，需要估計(jì)它的功率譜。它還被廣泛的應(yīng)用于各種信號(hào)處理中。在信號(hào)處理的許多場所，要求預(yù)先知道信號(hào)的功率譜密度。例如，在最佳線性過濾問題中，要設(shè)計(jì)一個(gè)維納濾波器就首先要求知道信號(hào)與噪聲的功率譜密度，根據(jù)信號(hào)與噪聲的功率譜才能設(shè)計(jì)出能夠盡量不失真的重現(xiàn)信號(hào)，而把噪聲最大限度抑制的維納濾波器常常利用功率譜估計(jì)來得到線性系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)。例如，當(dāng)我們要了解某一系統(tǒng)的幅頻特性時(shí)，可用一白色噪聲通過該系統(tǒng)，再從該系統(tǒng)的輸出樣本估計(jì)功率譜密度，故通過估計(jì)輸出信號(hào)的PSD，可以估計(jì)出系統(tǒng)的頻率特性。從寬帶噪聲中檢測窄帶信號(hào)。這是功率譜估計(jì)在信號(hào)處理中的一個(gè)重要用途。但是這要求功率譜估計(jì)有足夠好的頻率的分辨率，否則就不一定能夠清楚地檢測出來。所謂譜估計(jì)的分辨率可以粗略的定義為能夠分辨出的二個(gè)分立的譜分量間的最小頻率間隙，提高譜估計(jì)的分辨率已成為目前譜估計(jì)研究中的一個(gè)重要方向。功率譜估計(jì)就是通過信號(hào)的相關(guān)性估計(jì)出接受到信號(hào)的功率隨頻率的變化關(guān)系，實(shí)際用途有濾波、信號(hào)識(shí)別、信號(hào)分離、系統(tǒng)辨識(shí)等。譜估計(jì)技術(shù)是現(xiàn)代信號(hào)處理的一個(gè)重要部分，還包括空間譜估計(jì)、高階譜估計(jì)等[11]。2 譜估計(jì)簡介 隨機(jī)變量隨機(jī)變量（random variable）表示隨機(jī)現(xiàn)象（在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象）各種結(jié)果的變量（一切可能的樣本點(diǎn)）。例如某一時(shí)間內(nèi)公共汽車站等車乘客人數(shù)，電話交換臺(tái)在一定時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)等等，都是隨機(jī)變量的實(shí)例。隨機(jī)變量在不同的條件下由于偶然因素影響，其可能取各種不同的值，具有不確定性和隨機(jī)性，但這些取值落在某個(gè)范圍的概率是一定的，此種變量稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量可以是離散型的，也可以是連續(xù)型的。如分析測試中的測定值就是一個(gè)以概率取值的隨機(jī)變量，被測定量的取值可能在某一范圍內(nèi)隨機(jī)變化，具體取什么值在測定之前是無法確定的，但測定的結(jié)果是確定的，多次重復(fù)測定所得到的測定值具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。隨機(jī)變量與模糊變量的不確定性的本質(zhì)差別在于，后者的測定結(jié)果仍具有不確定性，即模糊性。按照隨機(jī)變量可能取得的值，可以把它們分為兩種基本類型：①離散型隨機(jī)變量，即在一定區(qū)間內(nèi)變量取值為有限個(gè)，或數(shù)值可以一一列舉出來。例如某地區(qū)某年人口的出生數(shù)、死亡數(shù)，某藥治療某病病人的有效數(shù)、無效數(shù)等。②連續(xù)型隨機(jī)變量，即在一定區(qū)間內(nèi)變量取值有無限個(gè),或數(shù)值無法一一列舉出來。例如某地區(qū)男性健康成人的身長值、體重值，一批傳染性肝炎患者的血清轉(zhuǎn)氨酶測定值等。設(shè)X是隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)，事件{Xx}的概率稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。記為，即，易知，對任意實(shí)數(shù)a,b,。分布函數(shù)的性質(zhì)(1) 單調(diào)不減性：若, 則；(2) 歸一性：對任意實(shí)數(shù)，且 ，(3) 左連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù)x，、方差、標(biāo)準(zhǔn)差定義： ,為的數(shù)學(xué)期望值，或簡稱為均值。；以上分別稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差和方差。若為離散型隨機(jī)變量，則上述的求均值運(yùn)算將有積分改為求和。例如，式中的是取值為時(shí)的概率[12]。在某些實(shí)際問題中，往往需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來描述試驗(yàn)的結(jié)果。設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 樣本空間是，設(shè)和是定義在Ω上的隨機(jī)變量， 由它們構(gòu)成的一個(gè)向量叫做二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。（注: 二維隨機(jī)向量 的性質(zhì)不僅與和有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系。）概率密度函數(shù)是為了表示瞬時(shí)數(shù)據(jù)落在指定幅值范圍的概率。其定義為：。瞬時(shí)值小于或等于某值x的概率定義為概率分布函數(shù)或累計(jì)概率分布函數(shù)表征了一個(gè)隨機(jī)過程自身在不同時(shí)刻的狀態(tài)間，或者兩個(gè)隨機(jī)過程在某個(gè)時(shí)刻狀態(tài)間線性依從關(guān)系的數(shù)字特征。相關(guān)函數(shù)是兩隨機(jī)變量之積的數(shù)學(xué)期望，稱為相關(guān)性。統(tǒng)計(jì)學(xué)中用相關(guān)系數(shù)xy來描述變量x，y之間的相關(guān)性，函數(shù)的相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)函數(shù)：隨機(jī)信號(hào)具有不重復(fù)性、不確定性，通常用概率與統(tǒng)計(jì)方法研究其中是否存在某些重復(fù)、確定的成分。隨機(jī)過程在某一時(shí)刻的均值（一階矩）可將總體中各樣本函數(shù)在的瞬時(shí)值相加，然后除以樣本函數(shù)的個(gè)數(shù)而得到。自相關(guān)函數(shù)即為隨機(jī)過程兩不同時(shí)刻之值的相關(guān)性，又稱二階矩。用和兩時(shí)刻瞬時(shí)值乘積的總體平均值得到。自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：(1) 自相關(guān)函數(shù)是 的偶函數(shù) ；(2) 當(dāng) 時(shí)，自相關(guān)函數(shù)具有最大值，；(3) 周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號(hào)，但不保留原信號(hào)的相位信息。(4) 當(dāng)隨機(jī)信號(hào)中含有周期信號(hào)時(shí)，中也必定有周期性分量，且周期相同。(5) 對變化迅速的信號(hào)（寬帶隨機(jī)過程），相關(guān)的程度在很小時(shí)就完全喪失。平穩(wěn)信號(hào)分嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)，嚴(yán)平穩(wěn)的條件在信號(hào)處理中太嚴(yán)格，不實(shí)用，一般所說的平穩(wěn)是指寬平穩(wěn)，滿足三個(gè)條件：(1) 均值為與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)；(2) 均方有界；(3) 自相關(guān)函數(shù)與信號(hào)時(shí)間的起始點(diǎn)無關(guān)，只和時(shí)間差有關(guān)（寬平穩(wěn)信號(hào)的方差和均方也是與時(shí)間無關(guān)的）。(1) 平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義:如果對于任意n和以及有則稱為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程，或稱狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。(2) 平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征：1) ,平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望與時(shí)間無關(guān)；2) ，平穩(wěn)隨機(jī)過程的方差與時(shí)間無關(guān)；3) 其中：；4) 。平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望及方差與無關(guān)，它的自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)；隨機(jī)過程的這種“平穩(wěn)”數(shù)字特征，有時(shí)就直接用來判斷隨機(jī)過程是否平穩(wěn)。即若一個(gè)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望及方差與時(shí)間無關(guān)，而其相關(guān)函數(shù)僅與有關(guān)，即我們就稱這個(gè)隨機(jī)過程是廣義平穩(wěn)的。(3) 寬平穩(wěn)隨機(jī)過程（廣義平穩(wěn)）:若的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，且自相關(guān)函數(shù)只與有關(guān)，則稱為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，或稱廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。不難看出，嚴(yán)平穩(wěn)過程一定是寬平穩(wěn)過程，反之不一定。但對于正態(tài)隨機(jī)過程兩者是等價(jià)的。本論文若不加特別說明，平穩(wěn)過程均指寬平穩(wěn)過程[13]。 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)實(shí)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)定義：，由于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)，設(shè), 則有。所以，平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是時(shí)間間隔τ的函數(shù)，記為。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：設(shè)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)為，自協(xié)方差函數(shù)，則它們有如下性質(zhì)：（1）時(shí)的自相關(guān)函數(shù)等于均方差，自協(xié)方差函數(shù)等于方差， 即 (2) 當(dāng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是實(shí)函數(shù)時(shí)，其相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即： (3) τ=0時(shí)的自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)取最大值，即 (4) 若X(t)=X(t+T)，則其自相關(guān)函數(shù)也是周期為T的周期函數(shù)，即 (5) 若均值，當(dāng)時(shí)，與相互獨(dú)立，有 ，即對于零均值的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，當(dāng)時(shí)間間隔τ很大時(shí)，與相互獨(dú)立，互不相關(guān)。 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜1. 功率譜密度定義：設(shè){,}是均方連續(xù)的隨機(jī)過程，稱為的平均功率。稱為的功率譜密度，簡稱譜密度。2. 功率譜密度的性質(zhì)（1）若 ，則 是 的傅里葉變換；(2) SX()是的非負(fù)實(shí)函數(shù)；(3) 實(shí)平穩(wěn)過程的譜密度是偶函數(shù)；當(dāng) 是的有理函數(shù)時(shí)，其形式必為，其中,為常數(shù)，且, ，分母無實(shí)根。隨機(jī)序列，它的相關(guān)函數(shù)滿足其功率譜密度 具有如下式子：對于待估參數(shù)，不同的樣本值就會(huì)得到不同的估計(jì)值，這樣，要確定一個(gè)估計(jì)量的好壞，就不能僅僅依據(jù)某次抽樣的結(jié)果來衡量，而必須由大量抽樣的結(jié)果來衡量．對此，一個(gè)自然而基本的衡量標(biāo)準(zhǔn)是要求估計(jì)量無系統(tǒng)偏差。也就是說，盡管在一次抽樣中得到的估計(jì)值不一定恰好等于待估參數(shù)的真值，但在大量重復(fù)抽樣時(shí)，所得到的估計(jì)值平均起來應(yīng)與待估參數(shù)的真值相同．換句話說，我們希望估計(jì)量的均值（數(shù)學(xué)期望）應(yīng)等于未知參數(shù)的真值，這就是所謂無偏性(Unbiasedness)的要求。定義:設(shè)來自總體X的一個(gè)樣本，是總體參數(shù) 的一個(gè)估計(jì)量，若 ,則稱是 的無偏估計(jì)量(Unbiased Estimator)。一個(gè)估計(jì)量如果不是無偏的就稱它是有偏估計(jì)量。稱為估計(jì)量的偏差。無偏估計(jì)的實(shí)際意義就是無系統(tǒng)偏差，估計(jì)量是否無偏是評價(jià)估計(jì)量好壞的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)，若 ，但有，則稱是的漸近無偏估計(jì)。 比較兩個(gè)無偏估計(jì)量優(yōu)劣的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)就是觀察它們哪一個(gè)取值更集中于待估參數(shù)的真值附近，即哪一個(gè)估計(jì)量的方差更小，這就是下面給出的有效性(Effectiveness)概念。 定義:設(shè)與都是總體參數(shù)的無偏估計(jì)，若 ,則稱比 更有效。在的所有無偏估計(jì)量中，如果存在一個(gè)估計(jì)量，它的方差最小，則此估計(jì)量應(yīng)當(dāng)最好，并稱此估計(jì)量為 的最小方差無偏估計(jì)，也稱其為最有效的．估計(jì)量的無偏性和有效性都是在樣本容量n固定的情況下討論的。由于估計(jì)量和樣本容量n有關(guān)，我們自然希望當(dāng)很大時(shí)，一次抽樣得出的的值能以很大的概率充分接近被估參數(shù)，這就提出了相合性(Consistency)（一致性）的要求。定義：設(shè) 是總體