【正文】 的 LoG(Laplacian of Gaussian)算法,Canny 最優(yōu)算子的邊緣檢測(cè)方法[7]. 2 基于二階微分的邊緣檢測(cè)算法 Laplacian 算子 (x,y)的拉普拉斯算子公式 為: 2 f = 2 f 2 f + x 2 y 2 (21) 使用差分方程對(duì) x 和 y 方向上的二階偏導(dǎo)數(shù)近似如下: 2 f Gx = x 2 x ( f [i, j + 1] f [i, j ]) = x f [i, j + 1] f [i, j ] = x x = ( f [i, j + 2] 2 f [i, j + 1]) + f [i, j ] (22) 這一近似式是以點(diǎn)f[i,j+1]為中心的,用j1替換j得到 2 f = ( f [i , j + 1] 2 f [i , j ]) + f [i , j 1] x 2 (23) 它是以點(diǎn)[i,j]為中心的二階偏導(dǎo)數(shù)的理想近似式,類似地, 2 f = ( f [i + 1, j ] 2 f [i , j ]) + f [i 1, j ] x 2 (24) 把式(23)和式(24)合并為一個(gè)算子,就成為式(25)能用來近似拉普拉斯 算子的模板: 0 1 0 ≈ 1 4 1 0 1 0 2 (25) 有時(shí)候希望鄰域中心點(diǎn)具有更大的權(quán)值,比如下面式(26)的模板就是一 種基于這種思想的近似拉普拉斯算子: 1 4 1 ≈ 4 20 4 1 4 1 2 (26) 當(dāng)拉普拉斯算子輸出出現(xiàn)過零點(diǎn)時(shí)就表明有邊緣存在,其中忽略無意義 的過零點(diǎn)(均勻零區(qū)).原則上,過零點(diǎn)的位置精度可以通過線性內(nèi)插方法精確 到子像素分辨率,不過由于噪聲,以及由噪聲引起的邊緣兩端的不對(duì)稱性, 結(jié)果可能不會(huì)很精確[8]. 考慮圖 6 : 在本例中,對(duì)應(yīng)于原始圖像邊緣的零交叉點(diǎn)位于兩個(gè)中心像素點(diǎn)之間. 因此,邊緣可以用其左邊的像素或右邊的像素來標(biāo)記,但整幅圖像的標(biāo)記必 ,零交叉點(diǎn)很少恰好在兩像素點(diǎn)中間,因此邊緣的實(shí) 際位置要通過內(nèi)插值來確定. 圖 6 (a)為包含垂直階躍邊緣的圖像 (b)為垂直方向的階躍邊緣拉普拉斯響應(yīng) 現(xiàn)在考慮一下圖 7 響應(yīng),其中的一行輸出是: ,這是一種理想情況, 圖像邊緣的實(shí)際情況要比這個(gè)復(fù)雜的多. 圖 7 (a)為包含垂直斜坡邊緣的圖像 (b)為垂直方向的斜坡邊緣拉普拉斯響應(yīng) 拉普拉斯算子有兩個(gè)缺點(diǎn):其一是邊緣方向信息的丟失,其二是它是二 階差分,后來才有人提出了改進(jìn)的 LoG 算法. LoG 算子 正如上面所提到的,利用圖像強(qiáng)度二階導(dǎo)數(shù)的零交叉點(diǎn)來求邊緣點(diǎn)的算 法對(duì)噪聲十分敏感. 所以, 希望在邊緣增強(qiáng)前濾除噪聲. 為此, Marr 和 Hildreth 將高斯濾波和拉普拉斯邊緣檢測(cè)結(jié)合在一起,形成 LoG(Laplaciall of GausSian, LoG)算法,也有人稱之為拉普拉斯高斯算法. LoG :首先在一 定范圍內(nèi)做平滑濾波, 的選擇取決于兩個(gè)因素,一是要求濾波器在空間上平穩(wěn),空間位置誤差 x 要 小,二是要求平滑濾波器本身是帶通濾波器,在其有限帶通內(nèi)是平穩(wěn)的,即 要求頻域誤差ω ,x 與ω 是矛盾的, 和 Hildreth 提出的差分算子是 各向同性的拉普拉斯二階差分算子. LoG 邊緣檢測(cè)器的基本特征是 (1)平滑濾波器是高斯濾波器 (2)增強(qiáng)步驟采用二階導(dǎo)數(shù)(二維拉普拉斯函數(shù)) (3)邊緣檢測(cè)判據(jù)是二階導(dǎo)數(shù)零交叉點(diǎn)并對(duì)應(yīng)一階導(dǎo)數(shù)的較大峰值 這種方法的特點(diǎn)是圖像首先與高斯濾波器進(jìn)行卷積,這一步既平滑了圖 像又降低了噪聲,孤立的噪聲點(diǎn)和較小的結(jié)構(gòu)組織將被濾除[9].由于平滑會(huì)導(dǎo) 致邊緣的延展,因此邊緣檢測(cè)器只考慮那些具有局部梯度最大值的點(diǎn)為邊緣 點(diǎn), 導(dǎo)數(shù)的近似,應(yīng) 選擇一階導(dǎo)數(shù)大于某一閾值的零交叉點(diǎn)作為邊緣點(diǎn)[10]. LoG 算子的輸出 h(x,y)是通過卷積運(yùn)算得到的: h ( x, y ) = 2 g ( x, y ) f ( x , y ) (27) 根據(jù)卷積求導(dǎo)法有: h ( x, y ) = 2 g ( x, y ) f ( x, y ) (28) 其中: x 2 + y 2 2σ 2 g ( x, y ) = e σ4 2 x2 + y 2 2σ 2 (29) 稱之為墨西哥草帽算子. 由以上分析知,下面兩種方法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的: (1)求圖像與高斯濾波器卷積,再求卷積的拉普拉斯變換 (2)求高斯濾波器的拉普拉斯變換,再求與圖像的卷積 如果采用第一種方法, LoG 算法的 典型模板見圖 8. 圖 8 典型拉普拉斯高斯模板 濾波(通常是平滑),增強(qiáng),檢測(cè)這三個(gè)邊緣檢測(cè)步驟對(duì)使用 LoG 邊緣檢 測(cè)仍然成立,其中平滑是用高斯濾波器來完成的。增強(qiáng)是將邊緣轉(zhuǎn)換成零交 叉點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)的。邊緣檢測(cè)則是通過檢測(cè)零交叉點(diǎn)來進(jìn)行的. 可以看到,零交叉點(diǎn)的斜率依賴于圖像強(qiáng)度在穿過邊緣時(shí)的變化對(duì)比度. , ,有必要把那 些通過不同尺度算子得到的信息組合起來. 不連續(xù)部分的模糊, 其中模糊量取決于 σ 的值. 值越大, 噪聲濾波效果越好, σ 但同時(shí)也丟失了重要的邊緣信息, 的濾波器, 互鄰近的兩個(gè)邊緣時(shí),可能會(huì)將它們連在一起,這樣只能檢測(cè)出一個(gè)邊緣. 因此,在不知道物體尺度和位置的情況下,很難準(zhǔn)確確定濾波器的尺度[11]. Canny 算子 Canny 檢測(cè)階躍邊緣的基本思想是在圖像中找出具有局部最大梯度幅值 數(shù)字逼近. 由于實(shí)際的圖像經(jīng)過了攝像機(jī)光學(xué)系統(tǒng)和電路系統(tǒng)(帶寬限制)固有 的低通濾波器的平滑,因此, : 首先逼近必須能夠抑制噪聲效應(yīng)。 制噪聲和邊緣精確定位是無法同時(shí)得到滿足的,也就是說,邊緣檢測(cè)算法通 過圖像平滑算子去除了噪聲,但卻增加了邊緣定位的不確定性。反過來,若 提高邊緣檢測(cè)算子對(duì)邊緣的敏感性, 線性算子可以在抗噪聲干擾和精確定位之間提供最佳折衷方案,它就是高斯 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù). Canny 根據(jù)檢測(cè)的要求,定義了下面三個(gè)最優(yōu)準(zhǔn)則: (1),非邊緣點(diǎn)不錯(cuò)檢,即要求輸出信噪比 最大. (2). (3) 是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. Canny 首次將上述判據(jù)用是數(shù)學(xué)的形式表示出來, 然后采用最優(yōu)化數(shù)值方 法,需要使用若干方向的模板分別 對(duì)圖像進(jìn)行卷積處理, Canny 邊緣檢測(cè)器作 f[i,j],得到的結(jié)果是一個(gè)已平滑數(shù)據(jù)陣列. S [i , j ] = G [i , j。 σ ] f [ i, j ] (210) 其中 G[i,j。σ]代表一個(gè)高斯濾波的過程,而 σ 是高斯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差,它控制著 平滑程度. 已平滑數(shù)據(jù)陣列 S[i,j]的梯度可以使用 22 一階有限差分近似式來計(jì)算 x 與 y 偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)陣列 P[i,j]與 Q[i,j]: P [i , j ] ≈ ( S [i , j + 1] S [i , j ] + S [i + 1, j + 1] S [i + 1, j ]) 2 Q [i , j ] ≈ ( S [i , j ] S [i + 1, j ] + S [i , j + 1] S [i + 1, j + 1]) 2 (211) (212) 在這個(gè) 22 正方形內(nèi)求有限差分的均值,以便在圖像中的同一點(diǎn)計(jì)算 x 和 y 計(jì)算: M [ i , j ] = P [i , j ] + Q [i , j ] 2 2 (213) (214) θ [i , j ] = arctan ( Q [i , j ] P [i , j ]) 其中,反正切函數(shù)包含了兩個(gè)參量,它表示一個(gè)角度,其取值范圍是整個(gè)圓 , 運(yùn)算,很少的幾個(gè)計(jì)算是基本浮點(diǎn)運(yùn)算,其中的浮點(diǎn)運(yùn)算是由整數(shù)和定點(diǎn)算 術(shù)通過軟件實(shí)現(xiàn)的. 在上式中,M[i,j]反映了圖像上的點(diǎn)[i,j]處的邊緣強(qiáng)度, [i,j]是圖像點(diǎn)[i,j] 的法向矢量, 正交于邊緣方向. 根據(jù) Canny 的定義, 中心邊緣點(diǎn)為算子 G[i,j。σ] 與圖像 f[i,j]的卷積在邊緣梯度方向上的最大值,這樣就可以在每一個(gè)點(diǎn)的梯 一個(gè)像素滿足下面三個(gè)條件時(shí),則被認(rèn)為是圖像的邊緣點(diǎn): (1)該點(diǎn)的邊緣強(qiáng)度大于沿該點(diǎn)梯度方向的兩個(gè)相鄰像素點(diǎn)的邊緣強(qiáng)度 (2)與該點(diǎn)梯度方向上相鄰兩點(diǎn)的方向差小于 π 4 (3)以該點(diǎn)為中心的 33 鄰域中的邊緣強(qiáng)度極大值小于某個(gè)閾值 Canny 給出的這三個(gè)判據(jù)具有廣泛的代表意義[12]. 3 最佳 Sobel 邊緣檢測(cè)方法 Sobel 圖像邊緣檢測(cè)方法 傳統(tǒng)的 Sobel 圖像邊緣檢測(cè)方法, 是在圖像空間利用兩個(gè)方向模板與圖像 ,一個(gè)檢測(cè)水平 邊緣,如圖 9 ,模板內(nèi)的數(shù)字為模板系數(shù),梯度方向與邊緣方向總是正交水平邊緣 Sobel 算子 垂直邊緣 Sobel 算子 圖 9 Sobel 算子 模板元素和窗口像素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(以 33 窗口為例)定義如下: 設(shè)窗口灰度為: F ( j 1, k 1) [ F ] = F ( j , k 1) F ( j + 1, k 1) F ( j, k ) F ( j + 1, k ) F ( j 1, k ) F ( j 1, k + 1) F ( j , k + 1) F ( j + 1, k + 1) (31) 模板卷積計(jì)算就是下式求乘積和的過程: fi ( j , k ) = m=1 n=1 ∑ ∑ F ( j + m, k + n) M 1 1 i m,n (32) 式中,i=1,2 分別代表垂直和水平模板. fi ( j , k ) 為模板卷積法邊緣檢測(cè)的輸出, l = [ L 2 ] ,L 為窗口寬度,對(duì) 33 窗口,l=,賦給圖 像中對(duì)應(yīng)模板中心位置的像素,作為該像素的新灰度值,即: f max = max ( f i ( j , k ) ) i = 1, 2 (33) 改進(jìn)的 Sobel 邊緣檢測(cè)方法 一種改進(jìn)的 Sobel 邊緣檢測(cè)方法,就是在 節(jié)中兩個(gè)模板的基礎(chǔ)上,又 增加六個(gè)方向的模板,即 45176。,135176。,180176。,225176。,270176。,315176。,具體如圖 10 所示. 這樣可以更加有效地檢測(cè)圖像多個(gè)方向的邊緣, 使邊緣信息更加完整. 上面式(32),式(33)中的 i=1,2,…,8 代表圖中的八個(gè)方向[13]. 圖 10 邊緣檢測(cè)的八個(gè)方向模板 Sobel 算子的最佳閾值選取 盡管八方向的 Sobel 算子可以得到更完整的邊緣信息,但是和 Sobel 算子 一樣,它們的抗噪聲能力都較差,即對(duì)于疊加噪聲圖像的邊緣檢測(cè)效果很不 ,然后與經(jīng)過 Sobel 算子檢測(cè) 后的邊緣值進(jìn)行比較,當(dāng)其幅值大于該閾值時(shí)定義為邊緣,反之取為零,如 式(34)所示. A, fi ( j, k ) ≥ T g ( j, k ) = 0, fi ( j, k ) T 0 A ≤ 255 (34) 由此可以看出,閾值 T 較難的問題,因?yàn)樵跀?shù)字圖像中無用的背景數(shù)據(jù)和目標(biāo)數(shù)據(jù)常?；煸谝黄? ,則會(huì)有較多的噪聲被保 留而影響邊緣的質(zhì)量。如果閾值選的偏高,則會(huì)使那些灰度值較小的邊緣丟 失,因 此很難得到一個(gè)最佳結(jié)果[14]. 本節(jié)將給出一種新的邊緣估計(jì)方法, 假設(shè)經(jīng)過 Sobel 算子檢測(cè)后的圖像可以表示成: xl ( m, n ) = sl ( m, n ) + wl ( m, n ) l (35) 2 方差為 σ w 的 Guass 其中,sl ( m, n ) 是原始圖像的邊緣部分,wl ( m, n ) 是均值為 0, 白噪聲. 由于經(jīng)過 Sobel 算子檢測(cè)后的邊緣為圖像的高頻分量, 而圖像的高頻分量 一般服從拉普拉斯分布,其概率密度函數(shù)為: p ( x) = 2 1 exp x σs 2σ s (36) 其中, σ s 為 sl ( m, n ) 的標(biāo)準(zhǔn)差. 基 于 式 (35) 出 的 信 號(hào) 模 型 , 可 以 推 出 sl ( m, n ) 的 最 大 后 驗(yàn) 概 率 估 計(jì) (Maximum a Posteriori:MAP)為: xl ( m, n ) sgn xl ( m, n ) T0 , xl ( m, n ) T0 sl ( m, n ) = xl ( m, n ) ≤ T0 0, (37) 其中, T0 = 2 σs 2 σw l (38) (37)式給出的邊緣估計(jì)方法在小波域稱為軟門限去噪法, 因此可以認(rèn)定 T0 即為所需要的最佳閾值. 可以看出,由(37)式和(38)式所給出的邊緣估計(jì)的特點(diǎn)是:當(dāng)圖像邊緣 的幅值大于閾值時(shí),具有更強(qiáng)的 (37)式得到邊緣信號(hào)的最佳估計(jì),首先需要確定 T0 此要分別估計(jì)出 σ s 和 σ w 的值. l 假定圖像大小為 MM,那么 σ w 的值可以用中值法估計(jì): l σw = l median xl ( m, n )