全等三角形專題講解-文庫吧
2025-05-23 15:37 本頁面
【正文】 O．因為AB=AC，BO=CO，AO=AO，所以△ABO≌△ACO．所以∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．（4）條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，會通過構(gòu)造全等三角形用判別方法有些幾何問題中，往往不能直接證明一對三角形全等，一般需要作輔助線來構(gòu)造全等三角形． 例4 已知：如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90186。，AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF．求證：∠ADC=∠BDF．證明：過B作BG⊥BC交CF延長線于G，所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因為AC⊥BC，CE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．因為AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90186。，所以 圖4△ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因為∠CBF=∠GBF=45186。，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．說明：常見的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種：①涉及三角形的中線問題時，常采用延長中線一倍的方法，構(gòu)造出一對全等三角形；②涉及角平分線問題時，經(jīng)過角平分線上一點向兩邊作垂線，可以得到一對全等三角形；③證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補短”法可以構(gòu)造一對全等三角形．（5）會在實際問題中用全等三角形的判別方法新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，注意培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，形成解決簡單實際問題的能力﹒在近年中考出現(xiàn)的與全等三角形有關(guān)的實際問題，體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)理念，應(yīng)當(dāng)引起同學(xué)們的重視．例5 要在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量A，B兩點間的距離﹒請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識按以下要求設(shè)計一測量方案﹒(1)畫出測量圖案﹒(2)寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）﹒ 圖5 (3)計算A、B的距離（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）﹒分析：可把此題轉(zhuǎn)化為證兩個三角形全等．第(1)題，測量圖案如圖5所示．第(2)題，測量步驟：先在陸地上找到一點O，在AO的延長線上取一點C，并測得OC=OA，在BO的延長線上取一點D，并測得OD=OB，這時測得CD的長為，則AB的長就是．第(3)題易證△AOB≌△COD，所以AB=CD，測得CD的長即可得AB的長．解：(1)如圖6示．(2)在陸地上找到可以直接到達(dá)A、B的一點O，在AO的延長線上取一點C，并測得OC＝OA，在BO的延長線上取一點D，并測得OD＝OB，這時測出CD的長為，則AB的長就是．(3)理由：由測法可得OC=OA，OD=OB．又∠COD=∠AOB，∴△COD≌△AOB．∴CD=AB=． 圖6評注：本題的背景是學(xué)生熟悉的，提供了一個學(xué)生動手操作的機(jī)會，重點考查了學(xué)生的操作能力，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識﹒練習(xí)：1．已知：如圖7，D是△ABC的邊AB上一點，AB∥FC，DF交AC于點E，DE=FE． 圖7求證：AE=CE． 2．如圖8，在△ABC中，點E在BC上，點D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDE．求證：BD=CD． 圖83．用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種方法：如圖9所示，先在∠AOB的兩邊上取OP=OQ，再取PM
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