【正文】 300 4800 0 3300 按每4800票得一席,A、B、C黨各得一席, 剩余2席,因為A、D兩黨的余額大,最后A黨得2席, B、C和D黨各得一席.可以證明, 最大均值法對大黨有利。 最大余額法對小黨有利.6. 簡單可轉(zhuǎn)移式選舉(Single nontransferable voting) . 現(xiàn)況值Q=N/(K+1), 得票數(shù)大于Q的候選人人選,得票最少的候選人被淘汰, 由未被淘汰的未當選候選人在下一輪中競爭剩余席位.. N=24000, K=5, 故Q=N/(K+1)=24000/6=4000, 設(shè)各黨派候選人的第一次投票得票數(shù)為:候選人: A A A B B C C D 得票數(shù): 4100 4100 500 4100 2700 4050 1150 3300 其中, A,A, B, C第一次投票后可入選, A被淘汰, B, C, D 通過第二次投票 Q=24000/2=12000. 支持A 黨的可轉(zhuǎn)移投票方向, 他們在讓誰入選上有 決定性影響. 7. 認可選舉( Approval vote ) 每個投票人可投任意張選票, 但他對每個候選人只能投一張票. 得票最多的前K個候選人當選. 如職稱評定, 評獎, 評先進等. (三). 其它投票表決(選舉)方法1. 資格認定1. 候選人數(shù)M= 當選人數(shù)K 即等額選舉, 用于不存在競爭或不允許競爭的場合.2. 不限定入選人數(shù) 如學位點評審,職稱評定, 評獎等. . 2. 非過半數(shù)規(guī)則 ⑴2/3多數(shù), 例美國議會推翻總統(tǒng)否決需要2/3多數(shù). ⑵2/3多數(shù)222。60%多數(shù), 例如希臘議會總統(tǒng)選舉,第一次需要2/3多數(shù),第二次要60% 多數(shù). ⑶3/4多數(shù), 美國憲法修正案需要3/4州議會的批準. ⑷過半數(shù)支持, 反對票少于1/3. 例如1993年前我國博士生導師的資格認定. ⑸一票否決, 安理會常任理事國的否決權(quán). 二、偏好選舉與投票悖論 ( Paradox of voting )1. 記號 N={ 1, 2,… ,n } 表示群,即投票人的集合。 A={ a, … ,a} 備選方案(候選人)集合。 f , ～ 成員(投票人) i的偏好。 ～, f 群的排序. n 或 N(a f a) 群中認為 a優(yōu)于a 的成員數(shù) 采用上述記號, 過半數(shù)規(guī)則可以表示為: 對 a,a∈A 若 n＞n 則 a f a。 若 n=n 則 a～ a2. Borda法( 1770年提出)由每個投票人對m 個候選人排序, 排在第一位的得m1分, 排在第二位的得m2分,… 根據(jù)各候選人所得總分多少確定其優(yōu)劣.3. Condorcet原則( 1785年提出) 對候選人進行成對比較, 若某個候選人能按過半數(shù)規(guī)則擊敗其它所有候選人, 則稱為Condorcet候選人。 若存在Condorcet候選人,則由其當選. 用上述記號表示,即: 若 n＞n ∨ a∈A\{ a}, 則a當選.例12. 5 群由60個成員組成, A={ a, b, c }, 群中成員的態(tài)度是:23人認為 a fc fb (即a優(yōu)于c ,c優(yōu)于b, a也優(yōu)于b)19 人認為 b fc fa 16人認為 c fb fa 2人認為 c fa fba與b相比 N(a fb)=25, N(b fa)=35 因此有b f a a與c相比 N(a fc)=23, N(c fa)=37 因此有c f ab與c相比 N(b fc)=19, N(c fb)=41 因此有c f b 由于候選人c能分別擊敗a與b, 所以c是Condorcet候選人,由c當選.但是,常常不存在Condorcet候選人.4. 多數(shù)票循環(huán)(投票悖論)例12. 6 若群中60個成員的態(tài)度是:23人認為 a fb fc 17 人認為 b fc fa 2人認為 b fa fc 8人認為 c fb fa 10人認為 c fa fb 由于 N(a fb)=33, N(b fa)=27 因此有a f b N(b fc)=42, N(c fa)=18 因此有b f c N(a fc)=25, N(c fa)=35 因此有c f a每個成員的偏好是傳遞的, 但是按過半數(shù)原則集結(jié)得到的群的排序并不傳遞,出現(xiàn)多數(shù)票循環(huán),這種現(xiàn)象稱作 Condorcet效應(也叫投票悖論)5. 出現(xiàn) Condorcet效應的概率 成員數(shù)N : 3 5 7 11 15 25 ∞ 方案數(shù) m= 3 .0556 .0694 .0750 .0798 .082 .0843 .0877 4 .111 .14 .15 .1755 5 .16 .20 .22 .2513 6 .20 .25 .27 .3152 8 .4152 10 [1] .4887 15 .6087 20 .6811 30 .791449 .8405三、策略性投票(操縱性)1. 小集團控制群例: 百人分蛋糕2. 謊報偏好而獲益 群由30個成員組成, A={ a, b, c }, 群中成員的態(tài)度是: 14 認為 a fb fc 4 人認為 b fa fc 4人認為 b fc fa 8人認為 c fb fa根據(jù)Borda法和Condorcet原則,都應由b當選, 但是, 若認為 a fb fc的14人中有8人撒謊, 稱他們認為 a fc fb , 則按Borda法, 將由a當選. 3. 程序(議程)問題 : 后參加表決的方案獲勝. 四、衡量選舉方法優(yōu)劣的標準①能否充分利用各成員的偏好信息②若存在Condorcet候選人,應能使其當選.③能防止策略性投票167。 社會選擇函數(shù)一、引言1. 為例:群由60個成員組成, A={ a, b, c }, 群中成員的態(tài)度是: 23人認為 a fc fb 19 人認為 b fc fa 16 人認為 c fb fa 2人認為 c fa fb 根據(jù)Condorcet原則 c當選 根據(jù)簡單多數(shù)規(guī)則 a當選 根據(jù)過半數(shù)(二次投票)規(guī)則 b當選 該例中一共只有三個候選人, 采用不同選舉方法時, 這些候選人都有可能當選. 那么這些方法中究竟何者合理?據(jù)何判斷選舉方法的合理性? , 問題是: 出現(xiàn)多數(shù)票循環(huán)時該誰當選?研究社會選擇問題的理論家提出：應該采用某種與群中成員偏好有關(guān)的數(shù)量指標來反映群(即社會)對各方案的總體評價. 這種數(shù)量指標稱為社會選擇函數(shù).二、社會選擇函數(shù)的幾個性質(zhì)0. 記號 在對x,y比較時 1 若 x fy D= 0 若 x ～y 1 若 y fx 群中各成員的偏好分布 D = ( D,…,D) 偏好分布的集合 208。 = { 1, 0, 1 } 社會選擇函數(shù) F(D) = f( D,…,D) D ∈ 208。 即 F : { 1, 0, 1 } → { 1, 0, 1 }1. 明確性 (Decisiveness) D≠0 → F(D) ≠02. 中性 (Neutrality)又稱對偶性 對侯選人的公平性 f( D,…,D) = f( D,…,D)3. 匿名性 (Anonymity) 又稱平等原則 各成員的權(quán)力相同 f( D,…,D) = f( D,…,D) 其中σ是 (1, …,n)的新排列4. 單調(diào)性 (Monotonicity)又稱正的響應 若 D ≥D’ 則F ( D )≥F ( D’ )5. 一致性 (Unanimity)又稱Weak Pareto性 f ( 1, 1,…, 1) = 1 or f ( 1, 1,…, 1) = 16. 齊次性(Homogeneity) 對任意正整 數(shù)m F ( mD ) = F ( D )7. Pareto性 D∈ { 1, 0 } for all I and D = 1 for some k → F ( D ) = 1 D= 0 for all I → F ( D ) = 0三、社會選擇函數(shù)1. Condorcet函數(shù) f(x) = N( x fy ) f( .) 值愈大愈優(yōu).例12. 6 群中60個成員的態(tài)度是:23人認為 a fb fc 17 人認為 b fc fa 2人認為 b fa fc 8人認為 c fb fa10人認為 c fa fb N(a fb)=33, N(a fc)=25 因此f( a ) = 25 N(b fa)=27, N(b fc)=42, 因此f( b ) = 27 N(c fa)=18, N(c fa)=35, 因此f( c ) = 18 ∴ b f a f c Condorcet函數(shù)值還可以用下法求得: 根據(jù)各方案成對比較結(jié)果列出表決矩陣 33 25 矩陣中各行最小元素: 25 N = 27 42 27 35 18 18 即Condorcet函數(shù)值. Condorcet函數(shù)滿足性質(zhì)1~6.2. Borda函數(shù) f (x) = N( x fy ) f (x) 即表決矩陣中x各元素之和, f ( .) 值愈大愈優(yōu). 例12. 6中方案a ,b ,c的Borda函數(shù)值分別是58, 69, 53, ∴ b f a f c Borda函數(shù)滿足性質(zhì)1~6.3. Copeland函數(shù)根據(jù)