【正文】 3 ) ]1 ( 3 .0 4 5 )E U AE U B U UE U C U? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ??????由于風險偏好者喜歡收益變動性較大的資產，故認為資產 A的期望效用最大。 一、基本概念 U=100r50r2 U=100r+50r2 u u 風險規(guī)避者效用函數曲線 風險偏好者效用函數曲線 一、基本概念 U=100r 風險中立者效用函數曲線 一、基本概念 一、基本概念 A C B B I* A C I1 I2 E(I) I1 I* E(I) I2 EU(I) U[E(I)] U(I*) X X U(X) U(X) U[E(I)] EU(I) 風險規(guī)避者效用函數確定 風險偏好者效用函數確定 一、基本概念 U*(X)0 U*(X)0 I1 I3 I2 I4 U(X) X 風險規(guī)避者效用函數雙重性 一、基本概念 I2 I1 E(I) B A D C F E U[E(I)] EU(I) U(X) X 風險規(guī)避者主觀效用函數確定 一、基本概念 (四 )未來收益的隨機性及概率分布 收益率 r = （ 1）收益率的兩種類型：離散型與連續(xù)性 離散型：收益率在未來取得有限個數值 W1–W0 W0 比較好 一般 壞 收益（ r） 概率（ p） 40% 30% 30% 股票 S1 , 只受一種因素影響 P (概率 ) r(收益率 ) 0 二、 單一證券期望收益率與風險 單一證券 收益率的期望值 股票 S1：收益 r1 r2 r3 …….. r n 概率 p1 p2 p3 ……. p n 期望收益率 =r1 p1 + r2 p2 + ….. + r n pn n =∑ ri pi i=1 二、 單一證券期望收益率與風險 .. 有 3種證券 A . B. C證券的相應收益率和概率分布情況如下 三個股票 E (rA)= *50% +*10% +*(30%) =10% 預期收益率 E (rB)=*15% +*10% +*5% =10% E (rc)= *25% +*20% +*15% =20% 經濟狀況 繁榮 正常 衰退 概率大小 A收益率 50% 10% 30% B收益率 15% 10% 5% C收益率 25% 20% 15% 二、 單一證券期望收益率與風險 、標準差 方差：描述收益率的離散程度 Var (r) = б2 ( r ) = 〔 ri E ( r )〕 2Pi 以上表為例計算方差 Var (rA) = бA =% Var (rB) = бB =% Var (rC) = бC =% n ∑ i=1 二、 單一證券期望收益率與風險 協方差、相關系數 ①協方差：描述不同證券間的相互關聯性的指標 бAB =COV(rA,rB) =E[(rAE (rA)][ rBE(rB)] ② 相關系數 ： ρAB = ， ρAB ∈ 〔 1,1〕 ρAB = 1, 完全正相關 ρAB =1, 完全負相關 ρAB = 0， 不相關 бAB бAбB 三、風險資產組合的收益與風險 （一）兩種風險證券投資組合的收益與風險的關系 證券組合權重（ Portfolio Weight）： A B XA XB （ XA + XB =1） 兩種風險證券投資組合期望收益率 E（ rp） ： E（ rp） =E（ XArA + XBrB） =XA E（ rA） + XB E（ rB） 三、風險資產組合的收益與風險 兩種風險證券投資組合的風險測定（ rp） Var（ rp ） = E [rp —E（ rp ） ] = XA2б2A + X2Bб2B +2 XA XB Cov（ rA ,rB） = XA2б2A + X2Bб2B +2 XA XB ρABбAбB ρAB= Cov（ rA, rB） / бAбB ） 影響組合風險的因素包括： — 證券之間相關性 — 組合中各證券本身的方差 (σ 2i)大小 — 各證券在組合中所占權重 — 組合證券數目多少 三、風險資產組合的收益與風險 兩種風險證券組合線 （ XA + XB =1 ） E（ rp） =XAE（ rA） +XBE（ rB） =XAE（ rA ） +（ 1—XA） E（ rB ） Var（ rp ） = XA2б2A + X2Bб2B +2 XA XB Cov（ rA ,rB） = XA2б2A + （ 1—X A)2б2B +2 XA （ 1—X A) Cov（ rA ,rB） = XA2б2A + (1—X A)2 б2B +2 XA (1—X A)ρABбAбB 三、風險資產組合的收益與風險 ① A、 B完全正相關 若 ρAB=1, 公式簡化為 : бρ =[XA2б2A + (1X A)2 б2B +2 XA (1X A)ρABбAбB]1/2 =| XA бA +（ 1 XA） бB | E（ rp ）與 XA 、 XB是正線形關系， бρ與 XA 、 XB也是正線形關系 ∴ бρ與 E（ rp）是正線形關系， бρ數值最大 。 三、風險資產組合的收益與風險 ② A、 B完全負相關： ρAB = 1，公式簡化為 : бp ==[XA2б2A + (1X A)2 б2B — 2 XA (1X A)ρABбAбB]1/2 =| XA бA — （ 1 XA） бB | бρ與 E（ rp）是負線形關系， бp數值最小 。 ③ A、 B不完全相關 ： 1〈 │ρAB│〈 1 бρ與 E（ rp）是雙曲線關系， бp數值中性。 ρAB = 0 公式簡化為 : 三、風險資產組合的收益與風險 бρ=[XA2бA2 +（ 1—XA） 2бB2 ]1/2 結論 ： （ 1）相同收益下， 兩種證券相關性越低， ρAB 越小，組合風險越小 （ 2） 相同風險下， ρAB 越小，組合收益越大 E（ rp） бρ ρAB= ρAB = 1 ρAB=0 ρAB= ρAB=1 三、風險資產組合的收益與風險 相關系數越小，分散的效果就越強。相關系數為 1時，分散效果最強。 通常人們把這一現象稱為 “ 風險分散效果 ” 。即使構成組合中處于完全正相 關，隨著放入組合中的證券數目增加。風險同樣可以逐漸減小，這稱之為 “ 風險的聯營效果 ” 。 （二）多種風險證券組合收益風險關系 n n Var（ rp） = ∑∑Xi Xj бij n i=1 j=1 i≠j 三、風險資產組合的收益與風險 三、風險資產組合的收益與風險 例： A、 B、 C、 D 四個股票 Xi ERi бi A B C D 三、風險資產組合的收益與風險 四種股票的相關系數及協方差如下： A B C D A 1 （ ） （ ） （ ） （ ） B （ ） 1 （ ） （ ） （ ） C （ ） （ ） 1 （ ） （ ） D （ ） （ ） （ ） 1 （ ） 第五講 證券投資組合理論 二、風險資產的投資組合收益風險關系 三、風險資產組合的收益與風險 { [ + + + [ + + + [ + + [ + + } бρ = 1/2 =% 四、風險資產最優(yōu)投資組合 （前已論述） 求風險資產組合時的有效邊界 （ 1）導出有效邊界三條規(guī)則 ① 對于相同收益率，不同標準差的證券組合，投資者偏好標準差小的組合 ②對于標準差 一樣的資產組合，投資者偏好收益率高的組合 ③若一種投資組合比另一種證券組合具有較高的收益率和較高 的標準差，則由投資者偏好定 （ 2） E（ r） ——б準則 E（ r） бp A B C E D F E（ r） ——б準則 四、風險資產最優(yōu)投資組合 （ 3） N種證券有效邊界的確定可利用拉格朗日乘數法求極值方法導出 （ 或矩陣求解 ） .為簡便起見 ， 以下我們以 3個證券為例 ， 用圖解法導出有效邊界 。 設證券 A、 B和證券 C組成一個證券組合 ， xA+xB+xC=1，xA、 xB、 xC為 3種證券的組合權數 。 rA、 rB和 rC為相應的收益率 ， σ A、 σ B和 σ C為相應的標準差 ， σ AB、 σ BC和σ AC為各證券的協方差 。 下圖描述了 3個證券的投資權數圖 ， 圖中橫坐標為 xA， 縱坐標為 xB。 圖中三角形內部表示組合中每種證券權數為正；邊界線 MN線段上 ， C證券投資權數為零；縱軸的左上方 ， 表示證券 A做空；橫軸的下方 ， 表示證券 B做空 ， MN線段的右上方延長線表示證券 C做空 。 四、風險資產最優(yōu)投資組合 四、風險資產最優(yōu)投資組合 四、風險資產最優(yōu)投資組合 XA XB 等收益線 四、風險資產最優(yōu)投資組合 標準差相同時，不同投資比例的證券組合在組合權數圖上的情況。將 xC=1xAxB代入方差公式，得： 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) 22 ( 1 ) 2 ( 1 )P A A B B A B C A B A BA A B A C B A B B Cx x x x x xx x x x x x? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2 2 22 2 2( 2 ) ( 2 ) 2 ( )2 ( ) 2 ( )P A A A C C B B B C C A B A B B C A C CA A C C B B C C Cx x x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?化簡得： 關于 xA和 xB的二次方程，在組合權數圖上則是一個斜橢圓曲線 。 四、風險資產最優(yōu)投資組合 把等收益線和等方差橢圓都繪制在組合權數圖上 ， 如圖所示 。 由等收益率公式可知 ， 組合收益率越大 ，