【正文】 和工作穩(wěn)定性。阻尼特性則和系統(tǒng)的定位精度、工作穩(wěn)定性有關(guān)。(b)所示的結(jié)構(gòu)，得到傳遞函數(shù)將會(huì)是是怎樣的呢？筆者推導(dǎo)其傳遞函數(shù)如下：，電機(jī)軸上的負(fù)載有二：其一是慣性負(fù)載 ()式中，,即電機(jī)軸與絲桿之間的連接件與傳動(dòng)件的折算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與絲桿的折算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。其二是傳動(dòng)彈簧變形力折算到電機(jī)軸上的等效轉(zhuǎn)矩。 ()式中， ——執(zhí)行部件的直線位移（輸出量）；——電機(jī)對(duì)執(zhí)行部件的輸入位移。系統(tǒng)的動(dòng)力平衡方程為 ()式中，——執(zhí)行部件的質(zhì)量；——導(dǎo)軌副上的粘性阻尼性系數(shù)；——外載荷，且。彈性變形力就是執(zhí)行部件的驅(qū)動(dòng)力 ()對(duì)以上兩式進(jìn)行拉氏變換，并整理后得 ()以 為系統(tǒng)的輸出，為系統(tǒng)的輸入，不考慮外力時(shí)，機(jī)械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： ()可見，是一個(gè)二階系統(tǒng)，固有頻率為：阻尼比為：。 進(jìn)給機(jī)械傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)框圖綜上所述，,經(jīng)過(guò)推導(dǎo)均可得一個(gè)二階系統(tǒng)，雖然固有頻率和阻尼比會(huì)有一定差異，但是結(jié)構(gòu)框圖完全相識(shí)。 數(shù)控進(jìn)給伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型前面已經(jīng)對(duì)位置控制、速度控制以及機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)等環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了分析。如果分析機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)時(shí)，（b）所示的模型，這樣將幾部分綜合起來(lái)，就可以得到整個(gè)進(jìn)給系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以及傳遞函數(shù)。系統(tǒng)采用直流伺服電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)電機(jī)，電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，電磁轉(zhuǎn)矩為M，電機(jī)的力矩平衡方程式應(yīng)為： ()式中: ——電樞的阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)； ——電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩,且。電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩，故有由電壓平衡方程及可以求得：在上式子中，可以略去及兩項(xiàng)，并去拉氏變換后得：上式子中不考慮電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，則以為輸入，為輸出時(shí)，電機(jī)的傳遞函數(shù)為： ()上式也可以改寫為如下形式： ()式中: ——電機(jī)的增益系數(shù)，；——電機(jī)的機(jī)械時(shí)間常數(shù)，；——電機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)。綜合前面推導(dǎo)的式()、式（）、式（）、式（）、式（）以及機(jī)械部分的傳遞函數(shù)式（），再結(jié)合到,可以繪制出整個(gè)進(jìn)給系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖， 進(jìn)給伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖，是機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的外載荷，與作為負(fù)載力矩與慣性負(fù)載力矩反饋?zhàn)饔迷陔姌械妮斎攵?。?duì)于閉環(huán)系統(tǒng)，位置控制環(huán)的位置反饋信號(hào)就是執(zhí)行部件的位置輸出信號(hào)；對(duì)于半閉環(huán)系統(tǒng)，位置反饋信號(hào)取自電機(jī)的角位移信號(hào)。以組成的負(fù)反饋回路形成速度控制環(huán)．反饋信號(hào)從即取出，這就是速度負(fù)反饋。 ，可以求出系統(tǒng)對(duì)于干擾力的閉環(huán)傳遞函數(shù)，以及對(duì)于位置指令的閉外傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的輸出是位置指令的響應(yīng)和干擾負(fù)載的響應(yīng)之和。在所述的系統(tǒng)中，外界負(fù)載有兩部分，一部分是切削力；另一部分是摩擦力。又分為兩部分：第一部分與速度成比例，即阻尼系數(shù)為的粘性摩擦阻尼力，該阻尼力在執(zhí)行部件的力平衡方程式()中考慮，第二部分是導(dǎo)軌之間的固體摩擦力及傳動(dòng)件彼此之間的固體摩擦扭矩（它可以換算為執(zhí)行部上的軸向力為），即綜上所述，在位置指令和干擾負(fù)載的作用下，全閉環(huán)的位置輸出為：在半閉環(huán)時(shí)，位置輸出為：式中，上兩式的系數(shù)為： 進(jìn)給伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，所建立的數(shù)控伺服系統(tǒng)是一個(gè)高階系統(tǒng)，在將產(chǎn)品和系統(tǒng)調(diào)定參數(shù)代入后，可得到一個(gè)高階傳遞函數(shù)。對(duì)高階系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)是比較復(fù)雜的，為便于分析，我們需要對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行處理，一般采用直接降階處理。如果忽略高階模型中對(duì)特性影響很小的系數(shù)，直接降階得到一個(gè)二階系統(tǒng)，這樣原來(lái)的高階系統(tǒng)就被簡(jiǎn)化為一個(gè)二階系統(tǒng)。為了使得簡(jiǎn)化過(guò)程更加嚴(yán)密，筆者引用了參考文獻(xiàn)[1]的相關(guān)結(jié)論 降階前后X軸進(jìn)給系統(tǒng)BODE圖文章中，作者對(duì)X—Y雙軸數(shù)控工作臺(tái)系統(tǒng)進(jìn)行分析，對(duì)各部分進(jìn)行了建模，并根據(jù)數(shù)控工作臺(tái)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和伺服精度進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析。經(jīng)過(guò)直接降階處理后，分別得到X、Y軸進(jìn)給系統(tǒng)表達(dá)式為： () ()。這表明兩者的輸入輸出特性是一致的，因此我們所得到的式()和式()降階數(shù)學(xué)模型是可以信賴的，所選用的降階方法也是合適的。 進(jìn)給伺服系統(tǒng)的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，根據(jù)上述分析，在伺服驅(qū)動(dòng)部分，當(dāng)高次項(xiàng)的系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)相比小得多時(shí)，可以將高次項(xiàng)忽略，將其從高階簡(jiǎn)化為一階慣性環(huán)節(jié)進(jìn)行分析，而在結(jié)果上根本就不會(huì)受到多大影響。同樣地，在機(jī)械傳動(dòng)部分，S2和S的系數(shù)相對(duì)常數(shù)項(xiàng)而言都非常小，因此也可將其近似化簡(jiǎn)為比例環(huán)節(jié)進(jìn)行分析。同樣對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，本質(zhì)上可以把它看成一個(gè)一階慣性系統(tǒng)。 進(jìn)給伺服系統(tǒng)的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu) 進(jìn)給伺服系統(tǒng)特性的分析，可得該系統(tǒng)的增益為： ()，則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 而系統(tǒng)閉環(huán)函數(shù)為： ()由于，故跟隨誤差對(duì)輸入的傳遞函數(shù)為： ()則 ()如果系統(tǒng)執(zhí)行一個(gè)速度為F恒速位置指令，即 ()利用終值定理有： ()則 ()由上式可知，當(dāng)數(shù)控機(jī)床中進(jìn)給速度F為恒速運(yùn)動(dòng)時(shí)，跟隨誤差。由此可以看出，當(dāng)速度F一定時(shí)，系統(tǒng)增益越大，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差越小，即系統(tǒng)的隨動(dòng)誤差小，也就是說(shuō)跟隨精度高。但是，過(guò)大會(huì)使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，在一定系統(tǒng)中，運(yùn)動(dòng)速度越大，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差越大。 綜上所述，對(duì)系統(tǒng)的靈敏度、系統(tǒng)增益和系統(tǒng)的跟隨精度這三個(gè)因素，在確定其數(shù)值時(shí)，需要進(jìn)行多方面綜合考慮。 進(jìn)給伺服系統(tǒng)特性對(duì)加工精度的影響數(shù)控經(jīng)給伺服系統(tǒng)特性直接影響工件加工精度，因此，分析進(jìn)給伺服系統(tǒng)特性與加工精度之間的關(guān)系就顯得尤為重要。在數(shù)控機(jī)床上兩軸聯(lián)動(dòng)加工直線、圓弧輪廓工件，或加工工件的拐角部位時(shí)，數(shù)控進(jìn)給系統(tǒng)的速度誤差特性和加速度誤差特性所引起的加工誤差，可以作如下的分析。在數(shù)控機(jī)床的進(jìn)給系統(tǒng)中，絲杠和螺母將電機(jī)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)換成為執(zhí)行部件的位移，這相當(dāng)于一個(gè)積分環(huán)節(jié)。根據(jù)前面分析，系統(tǒng)的其余部分可以簡(jiǎn)化成為一個(gè)增益是的比例環(huán)節(jié)，因此。從控制系統(tǒng)分類的角度來(lái)分析，這是一個(gè)I型系統(tǒng)。I型系統(tǒng)的特點(diǎn)是它對(duì)于階躍位置指令輸入的響應(yīng)不存在穩(wěn)態(tài)誤差；對(duì)于階躍速度指令輸入，即斜坡位置指令輸入，其響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)位置偏差為，也稱之為速度誤差，這是為了建立速度F所必需的指令位置與實(shí)際位置之間的誤差。由于在數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)中，輸入不是階躍位置指令，而是斜坡位置指令，即為階躍速度的位置指令，根據(jù)式()可知，系統(tǒng)必然存在位置偏差。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)速度與階躍指令速度相同，而實(shí)際位置總是滯后于指令位置，即有穩(wěn)態(tài)位置偏差，它是維持系統(tǒng)恒速運(yùn)動(dòng)必不可少的。，當(dāng)指令位置已達(dá)到值即P點(diǎn)時(shí)，實(shí)際位置還滯后于指令位置，這時(shí)的位置偏差，在數(shù)值上等于指令速度下的穩(wěn)態(tài)位置偏差。系統(tǒng)此時(shí)的運(yùn)行速度還是穩(wěn)態(tài)速度，即執(zhí)行部件的速度還是穩(wěn)態(tài)速度。隨著執(zhí)行部件的運(yùn)動(dòng)，實(shí)際位置在改變，因此，位置偏差不斷減小，保持對(duì)位置控制單元的一個(gè)不斷減小的正誤差信號(hào)，使執(zhí)行部件減速后平穩(wěn)地進(jìn)入定位點(diǎn)，直到實(shí)際位置與指令位置相等，位置偏差等于零為止。由此可知，速度誤差并不影響定位運(yùn)動(dòng)或直線加工時(shí)停止位置的準(zhǔn)確性，只是在時(shí)間上實(shí)際位置較指令位置有所滯后而已。 定性分析系統(tǒng)增益匹配對(duì)加工直線輪廓的影響數(shù)控機(jī)床在加工過(guò)程中往往要求精確地、實(shí)時(shí)地同時(shí)控制多個(gè)進(jìn)給伺服系統(tǒng)的位置與速度，但由于進(jìn)給伺服系統(tǒng)都不可避免地存在著跟隨誤差△D，該誤差將可能對(duì)多坐標(biāo)軸運(yùn)動(dòng)合成軌跡的精確性產(chǎn)生影響。，假設(shè)被加工的直線輪廓，其方程式為： ()直線與X軸的夾角為，有。如果沿直線的加工速度為，則插補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，保持X、Y軸的速度分別為 直線輪廓加工設(shè)X、Y軸的進(jìn)給系統(tǒng)的增益為、則兩軸的速度誤差分別為： 由上式可得對(duì)不同的和討論如下：⑴當(dāng)兩軸的增益匹配，即=1時(shí)，則,即 ()刀具的指令位置A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），實(shí)際位置A＇點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，將式()與式()對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減有： ()由上式可知，刀具的實(shí)際位置仍在直線輪廓上，只是較指令位置有一定的滯后。在兩軸的指令速度等于輪廓加工速度的分量，而且兩軸進(jìn)給系統(tǒng)的增益相等的條件下，直線輪廓加工時(shí)，速度誤差不會(huì)引起加工誤差。⑵當(dāng)兩軸的增益不匹配，即時(shí)，此時(shí)速度誤差,因此，當(dāng)指令位置在OA上的O點(diǎn)時(shí)，時(shí)間位置并不在直線OA上，而在離OA距離為的另一點(diǎn)A＇。下面就點(diǎn)A＇在直線OA兩邊分別進(jìn)行討論： 直線輪廓加工①當(dāng)點(diǎn)A＇在直線OA下面時(shí)。，在兩個(gè)直角三角形中，根據(jù)幾何關(guān)系可得：②當(dāng)A＇在直線OA另外一邊時(shí)，同理可得：綜上所述，誤差為：將兩軸的速度誤差代入上式可得： ()由式（）可以看出，當(dāng)時(shí)，誤差，這與前面所述兩軸增益相等的情況完全吻合。當(dāng)兩軸的增益不相等，即時(shí)，此時(shí)誤差為:另外，誤差不僅與兩軸的增益、有關(guān)，同時(shí)還與輪廓直線的傾角有關(guān)，可得結(jié)論如下：，時(shí)，傾角越大，輪廓誤差越大；時(shí)，傾角越大，輪廓誤差越小。，即工作臺(tái)沿X或Y作單軸坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)，輪廓誤差；iii．當(dāng)時(shí)，最大，且最大值為：。由此可見，當(dāng)速度和加工輪廓直線的傾角都一定時(shí)，兩軸的增益、就直接影響了加工的精度。因此，兩軸的增益、的良好匹配就可以保障被加工的工件的精度和質(zhì)量。既然進(jìn)給系統(tǒng)增益匹配對(duì)保障輪廓加工精度如此重要，則有必要進(jìn)一步分析增益匹配對(duì)加工精度影響的深度，筆者下面將定量地分析系統(tǒng)增益的匹配對(duì)運(yùn)動(dòng)（加工）軌跡精度的影響。 定量分析系統(tǒng)增益匹配對(duì)加工直線輪廓的影響為了使得對(duì)輪廓誤差的分析更加貼近實(shí)際工程分析，并方便讀者加深對(duì)輪廓誤差的理解，筆者將式()變換為： ()式中，平均系統(tǒng)增益為：； 兩軸增益差為：；為系統(tǒng)增益失配量。在其它條件不變的情況下：　?、?輪廓誤差與兩軸增益差成正比，與平均系統(tǒng)增益的平方成反比與進(jìn)給速度成F正比?！　、?當(dāng)加工45176。直線時(shí)，輪廓誤差最大, ?！　、?當(dāng)加工0176。或90176。直線時(shí)，這就相當(dāng)于單軸加工，輪廓誤差與增益無(wú)關(guān)。 　 為了更加深入分析該問(wèn)題，筆者引入下面的實(shí)際加工問(wèn)題進(jìn)行定量分析分析系統(tǒng)增益的匹配對(duì)運(yùn)動(dòng)（加工）軌跡精度的影響。若在 XY 平面上銑削工件的一個(gè)平面， 該面與 X 軸成45176。角，即，進(jìn)給速度為：F = 300 mm/min，為10177。2% （1/s），可以計(jì)算出最大輪廓誤差。根據(jù)公式（）計(jì)算出最大輪廓誤差為：針對(duì)、不同情況進(jìn)行分析如下：由上述理論分析有：于是，式中，為X軸方向?qū)嶋H穩(wěn)態(tài)速度，為Y軸方向?qū)嶋H穩(wěn)態(tài)速度。①當(dāng)兩軸增益、相互匹配，即==時(shí)，則==10，則兩軸增益差=0，于是有而且，于是。Y軸 X軸 X、Y軸位移變化圖此刻。