【正文】 元法 31 ? ? ? ?Tiiii vu ?? ?? ? ? ? ?Tjjjj vu ?? ??結(jié)點(diǎn)位移列向量為 單元 e結(jié)點(diǎn)位移列向量為 ? ? ? ?Tjjjiiijie uu ??????? ???????? 結(jié)點(diǎn)力向量為 ? ? ? ? Teiiiei MVUF ?? ? ? ? ? Tejjjej MVUF ?? 單元 e結(jié)點(diǎn)力列向量為 ? ? ? ? Tejjjiiiejeie MVUMVUFFF ????????????第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 32 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣 軸向拉壓桿單元的位移的函數(shù) 有限單元法分析中，雖然對不同結(jié)構(gòu)可能會(huì)采取不同的單元類型，采用的單元的位移模式不同，但是構(gòu)建的位移函數(shù)的數(shù)學(xué)模型的性能、能否真實(shí)反映真實(shí)結(jié)構(gòu)的位移分布規(guī)律等，直接影響計(jì)算結(jié)果的真實(shí)性、計(jì)算精度及解的收斂性。 為了保證解的收斂性，選用的位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足下列要求 : a. 單元位移函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度數(shù)。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。至于高次項(xiàng)要選取多少項(xiàng)，則應(yīng)視單元的類型而定。 第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 33 由單元結(jié)點(diǎn)位移，確定待定系數(shù)項(xiàng) 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 所以 用結(jié)點(diǎn)位移表示 其中 、 分別表示當(dāng) ， 時(shí)； ， 時(shí)的單元內(nèi)的軸向位移狀態(tài)，故稱為軸向位移形函數(shù)。 0?xlx?iuu?juu?iu?1? l uu ij ??2?jjuiiu uNNxu ?? ?)(lxNiu ?? 1 lxN ju ?iuN juN 1?iu 0?ju 0?iu 1?ju第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 b. 單元的剛體位移狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)當(dāng)全部包含在位移函數(shù)中。 c. 單元的位移函數(shù)應(yīng)保證在單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰單元之間的位移協(xié)調(diào)性。 34 梁單元平面彎曲的位移函數(shù) 梁單元平面彎曲僅考慮結(jié)點(diǎn)的四個(gè)位移分量 ， ， ， ，由材料力學(xué)知 ,各截面的轉(zhuǎn)角 : 故梁單元平面彎曲的位移表達(dá)式可分為僅包含四個(gè)待定系數(shù) ， ， ， 的多項(xiàng)式 單元結(jié)點(diǎn)位移條件 當(dāng) 時(shí) ， 當(dāng) 時(shí) ， i? i? j? j? xv??? ?1? 2? 3? 4? 342321)( xxxxv ???? ????0?x ivv? ixv ??? ? lx? jvv?jxv ??? ?? ? ? ?? ? ? ?????????????????????jijijijiiilvvllvvlv?????????234232112213第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 35 ??????????????????????32233223223322112312231xlxlNxlxlNxlxlxNxlxlNjjviiv??jjjjviiiiv NvNNvNxv ?? ?? ????)(? ? ejjiijuiuNNNNNNvu ?????????????????? 000000? ? ? ?? ?eNf ??稱為形函數(shù)矩陣。 ? ?N第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 36 單元的應(yīng)力應(yīng)變 在彈性范圍內(nèi)，并且不考慮剪力的影響時(shí)，平面剛架單元內(nèi)任一點(diǎn)的軸向線應(yīng)變由兩部分組成，即軸向應(yīng)變與彎曲應(yīng)變之和，其軸向應(yīng)變與平面桁架軸向應(yīng)變相同。 軸向應(yīng)變?yōu)? 彎曲應(yīng)變?yōu)? y為梁單元任意截面上任意點(diǎn)至中性軸 (x軸 )的距離。 得出平面剛架單元應(yīng)變 xulx ??? ?22xvybx ??? ?? 圖 35 彎曲應(yīng)變計(jì)算示意圖 22xvyxubxlxx ??????? ????? ?? ?ex B ?? ?則 ? ? ?????? ?????? ????????? ????????? ????????? ????? xllyxllylxllyxllylB 232232 621261641261—— 平面剛架梁單元的應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣 。 ??B? ?? ? exx BEE ??? ??第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 37 平面剛架梁單元的剛度矩陣 梁單元的 i， j結(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移為 ? ? ? ?T******* jjjiiie uu ????? ? 單元內(nèi)相應(yīng)的虛應(yīng)變應(yīng)為 ? ? ? ?? ?ex B ** ?? ?由虛功原理有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? d x d y d zF xv xee ??? T*T* ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? eve d x d y d zBEB ?? TT* ???? 由于結(jié)點(diǎn)虛位移 的任意性，故上式可寫成 ? ?e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? eeeve kd xd yd zBEBF ??T???? 上式稱為局部坐標(biāo)下的平面剛架單元的剛度方程，簡稱為單剛。 第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 38 ? ? ? ? ? ?d xd yd zBEBk ve T???? 橫截面積 A 橫截面對形心軸 z的靜矩 S 橫截面對主慣性軸 z的慣性矩 I 得到四個(gè) 3 3子塊所組成的局部坐標(biāo)系下的平面剛架梁單元的單元?jiǎng)偠染仃嚒? ??? A dy d zA0?? ?? A y dy dzS??? A d y d zyI 2?? ?????????????????????????????????????????????????lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkkkkkejjejieijeiie460260612061200000260460612061200000222323222323第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 39 平面桁架的單元?jiǎng)偠染仃嚍? ? ???????????????????????lEAlEAlEAlEAkkkkk ejjejieijeiie 空間桁架單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有 3個(gè)位移分量，其單元結(jié)點(diǎn)位移列向量 ? ? ? ?Tjjjiiijie wuwu ????? ???????? 空間桁架局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囀?6 6的 ? ???????????????????????????????????00000000000000000000000000000000lEAlEAlEAlEAkkkkkejjejieijeiie第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 40 空間剛架單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有 6個(gè)位移分量，其單元結(jié)點(diǎn)位移列向量 ? ? ? ? Tjzjyjxjjjiziyixiiijie wvuwvu ????????? ???????? 空間剛架局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囀?12 12的。 (a) 桿單元 i端產(chǎn)生單位位移 (b) 桿單元 j端產(chǎn)生單位位移 圖 36 平面桁架單元?jiǎng)偠认禂?shù)的物理意義 (a) 梁單元 i端產(chǎn)生單位位移 (b) 梁單元 j端產(chǎn)生單位位移 第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 41 (c) 梁單元 i端產(chǎn)生單位角位移 (d) 梁單元 j端產(chǎn)生單位角位移 圖 37 平面剛架單元?jiǎng)偠认禂?shù)的物理意義 單元的剛度矩陣的性質(zhì) a. 單元?jiǎng)偠染仃噧H與單元的幾何特征和材料性質(zhì)有關(guān)。僅與單元的橫截面積 A、慣性矩 I、 單元長度 l、單元的彈性模量 E有關(guān)。 b. 單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)對稱陣。在單元?jiǎng)偠染仃噷蔷€兩側(cè)對稱位臵上的兩個(gè)元素?cái)?shù)值相等，即，根據(jù)是反力互等定理。 c. 單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)奇異陣。 d. 單元?jiǎng)偠染仃嚳梢苑謮K矩陣的形式表示。具有確定的物理意義。 第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 42 坐標(biāo)變換及單元?jiǎng)偠染仃? 坐標(biāo)變換 在整體坐標(biāo)系中單元結(jié)點(diǎn)力向量和結(jié)點(diǎn)位移列向量 可分別表示成 ? ? ? ?Tjjjiiiejeie vuvu ????? ????????????? ? ? ?Tjjjiiijie MYXMYXFFF ???????? (a) 向量轉(zhuǎn)換分析 (b) 向量轉(zhuǎn)換 圖 38 向量轉(zhuǎn)換示意圖 ?? s inc o s iii vuu ???? c o ss in iii vuv ??ii ?? ?第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 43 ???????????????????? ????????????iiiiiivuvu?????? 1000c o ss i n0s i nc o s對于梁單元如圖 38(b)所示，則有 ?????????????????????????????????????????????????????????????????jjjiiijjjiiivuvuvuvu????????????1000000c o ss i n0000s i nc o s0000001000000c o ss i n0000s i nc o s可簡寫為 ? ? ? ?? ?ee T ?? ?第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 44 同理 ? ? ? ?? ?ee FTF ?式中 —— 平面剛架梁單元的從局部坐標(biāo)系向整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。 ??T? ????????????????????????1000000c o ss i n0000s i nc o s0000001000000c o ss i n0000s i nc o s??????