【正文】 ? ? ，即點 M 的坐標(biāo)為 211222 8 4( , )1 4 1 4kk???， 同理，設(shè)直線 A2N 的斜率為 k2，則得點 N 的坐標(biāo)為 222228 2 4( , )1 4 1 4kkkk???? 12( 2 ) , ( 2 )ppy k t y k t? ? ? ?12122kkk k t?? ??? ， 直線 MN 的方程為： 1 2 11 2 1y y y yx x x x??? ， ?令 y=0，得 2 1 1 212x y x yx yy?? ? ，將點 M、 N 的坐標(biāo)代入，化簡后得： 4x t? 又 2t? ， ? 402t?? 橢圓的焦點為 ( 3,0) 4 3t?? ，即 433t? 故當(dāng) 433t? 時， MN 過橢圓的焦點。 題型四：過已知曲線上定點的弦的問題 例題 已知點 A、 B、 C 是橢圓 E： 221xyab?? ( 0)ab?? 上的三點，其中點 A(2 3,0) 是橢圓的右頂點，直線 BC過橢圓的中心 O，且 0AC BC ? ， 2BC AC? ，如圖。 (I)求點 C 的坐標(biāo)及橢圓 E 的方程； (II)若橢圓 E 上存在兩點P、 Q，使得直 線 PC 與直線 QC 關(guān)于直線 3x? 對稱，求直線 PQ 的斜率。 解： (I) 2BC AC? ，且 BC 過橢圓的中心 O OC AC?? 0AC BC? 2ACO ??? ? 又 A (2 3,0) ?點 C 的坐標(biāo)為 ( 3, 3) 。 A(2 3,0) 是橢圓的右頂點， 23a?? ，則橢圓方程為： 222 112xyb?? 將點 C( 3, 3) 代入 方程，得 2 4b? ， ?橢圓 E 的方程為 22112 4xy?? (II) 直線 PC 與直線 QC 關(guān)于直線 3x? 對稱， ?設(shè)直線 PC 的斜率為 k ，則直線 QC 的斜率為 k? ，從而直線 PC 的方程為： 4 3 ( 3 )y k x? ? ?，即 3 (1 )y kx k? ? ?，由223(1 )3 12 0y kx kxy? ? ? ??? ? ? ??? 消 y，整理得： 2 2 2( 1 3 ) 6 3 ( 1 ) 9 1 8 3 0k x k k x k k? ? ? ? ? ? ?3x? 是方程的一個根， 229 1 8 33 13P kkx k???? ?即 229 18 33 (1 3 )P kkx k??? ? 同理可得： 229 18 33 (1 3 )Q kkx k??? ? 3 ( 1 ) 3 ( 1 )P Q P Qy y k x k k x k? ? ? ? ? ? ?＝ ( ) 2 3PQk x x k??＝ 2123(1 3 )kk?? 22229 1 8 3 9 1 8 33 (1 3 ) 3 (1 3 )PQ k k k kxx kk? ? ? ?? ? ???＝2363(1 3 )k?? 13PQPQ PQyyk xx?? ? ?? 則直線 PQ 的斜率為定值 13。 題型五：共線向量問題 例題 設(shè)過點 D(0,3)的直線交曲線 M： 22194xy??于 P、 Q 兩點，且 DP DQl=uuur uuur ,求實數(shù) l 的取值范圍。 解：設(shè) P(x1,y1),Q(x2,y2), Q DP DQl=uuur uuur \ (x1,y13)=l (x2,y23)即 123 ( 3)xxyyll236。 =239。239。237。239。= + 239。239。238。 判別式法、韋達(dá)定理法、配湊法 設(shè)直線 PQ 的方程為： 3, 0y kx k? ? ? ，由2234 9 36y kxxy???? ??? 消 y 整理后，得 22( 4 9 ) 5 4 4 5 0k x kx? ? ? ?P、 Q 是曲線 M 上的兩點 22( 5 4 ) 4 4 5 ( 4 9 )kk? ? ? ? ? ?＝ 2144 80 0k ?? 即 295k ? ① 由韋達(dá)定理得：1 2 1 2225 4 4 5,4 9 4 9kx x x xkk? ? ? ??? 21 2 1 21 2 2 1() 2x x x xx x x x? ? ? ? 2 2 225 4 (1 )4 5 ( 4 9 )k k ??????即 22 2 23 6 9 4 415 (1 ) 9 9k kk?? ?? ? ?? ② 由 ① 得2110 95k??，代入 ② ，整理得 236 91 5(1 ) 5?????， 解之得 1 55 ??? 當(dāng)直線 PQ 的斜率不存在，即 0x? 時，易知 5?? 或 15?? 。 總之實數(shù) l 的取值范圍是 1,55??????。 題型六：面積問題 例題 已知橢圓 C： 12222 ??byax （ a＞ b＞ 0）的離心率為 ,36 短軸一個端點到右焦點的距離為 3 。 5 （Ⅰ）求橢圓 C 的方程； （Ⅱ）設(shè)直線 l 與橢圓 C 交于 A、 B 兩點，坐標(biāo)原點 O 到直線 l 的距離為23，求△ AOB 面積的最大值。 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為 c ，依題意 633caa? ???? ??，1b??， ?所求橢圓方 程為 2 2 13x y??。 （Ⅱ）設(shè) 11()Ax y， ， 22()Bx y， 。（ 1）當(dāng) AB x⊥ 軸時， 3AB? 。（ 2）當(dāng) AB 與 x 軸不垂直時， 設(shè)直線 AB 的方程為 y kx m??。由已知2 321mk ??，得 223 ( 1)4mk??。 把 y kx m??代入橢圓方程，整理得 2 2 2( 3 1 ) 6 3 3 0k x k m x m? ? ? ? ?， 12 2631kmxx k?? ? ? ?