【正文】 100105110115120125130135人口（單位/千萬）第 t 年圖 1 我國實(shí)行計(jì)劃生育后第 t 年份人口變化趨勢的擬合曲線 1980 1990 2022 2022 2020 2030 2040 205090100110120130140150人口（單位/千萬）年份圖 2 中國各年份人口變化趨勢的擬合曲線 新鄉(xiāng)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 9 圖 圖 2 分別為 ??tx 和 ??Tx 的散點(diǎn)圖． 由國家統(tǒng)計(jì)局得： 2022 年我國總?cè)丝?? ? ?x （千萬），預(yù)測值為（千萬），誤差為 %； 由國家統(tǒng)計(jì)局得： 2022 年我國總?cè)丝?? ? ?x （千萬），預(yù)測值為（千萬 ），誤差為 %； 由國家統(tǒng)計(jì)局得： 2022 年我國總?cè)丝?? ? ?x （千萬），預(yù)測值為（千萬），誤差為 %. 由此可知，這一時(shí)期，國家雖然對人口增長進(jìn)行了干預(yù)，但國家的計(jì)劃生育政策是基本穩(wěn)定的，在此期間沒有其它大的干擾，人口增長的隨機(jī)誤差應(yīng)服從正態(tài)分布，所以我們的結(jié)果應(yīng)是比較可信的． 對 20222050 年的各年份中國總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測 假設(shè)當(dāng)前的社會(huì)環(huán)境和國家的計(jì)劃生育政策繼續(xù)保持不變，我們就可以根據(jù)擬合曲線對 2022 年至 2050 年 的各年份中國總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測，運(yùn)用 Excel 表預(yù)測出逐年的總?cè)丝谠鲩L率表 2 所示． 表 2 20222050年人口總數(shù)及增長率 年份（ T） 人口（單位 /千萬） 增長率（?） r 2022 2022 2022 2022 2022 2022 2022 2022 2022 2022 2020 2021 新鄉(xiāng)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 10 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032 2033 2034 2035 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043 2044 2045 2046 2047 2048 2049 2050 表 2 數(shù)據(jù)表示在不調(diào)整計(jì)劃生育政策的前提下我國人口的增長模型． 新鄉(xiāng)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 11 模型二：單獨(dú)二胎政策實(shí)施后我國人口的增長模型 建模原理分析 單獨(dú)二胎政策指符合指定條件的夫婦允許生育“二胎”，這就直接影響 了我國人口出生率，而出生率的變化影響人口增長率，并且影響人口結(jié)構(gòu)，同時(shí)對于死亡率影響十分微小，為了簡化模型將此影響忽略不計(jì)．假設(shè)系數(shù) a 為愿意生育且有能力生育二胎的家庭占所有家庭的百分比，當(dāng)前社會(huì)環(huán)境下第 t 年的出生率為 ??1ft，則放開二胎政策后第 t 年的出生率為： ? ? ? ? ? ?1 1f t a f t?? ． 表 3 中國人口 19782022年出生率、死亡率和自然增長率 年份 出生率? 死亡率 ? 自然增長 率? 年份 出生率? 死亡率 ? 自然增長 率? 1978 12 1996 1980 1997 1981 1998 1982 1999 1983 2022 1984 2022 1985 2022 1986 2022 1987 2022 1988 2022 1989 2022 1990 2022 1991 2022 1992 2022 1993 2022 1994 2022 1995 2022 表 3 為我國人口在 19782022 年出生率、死亡率和自然增長率 (來源于《中國統(tǒng)計(jì)年鑒 2022》 [9])．由數(shù)據(jù)可知，死亡率隨著年份的變動(dòng)變化極其微小，為了簡化模型假設(shè)在以后的預(yù)測中每年的死亡率 ? ? ? ?20 12 19 80 0. 07 15d t d? ? ?． 以二胎開放時(shí)間為 2022 年為基準(zhǔn)，則 0 2 0 1 3 1 9 8 0 3 3t ? ? ?根據(jù)北京晚報(bào)官方網(wǎng)站 2022 年“單獨(dú)二胎”調(diào)研意愿調(diào)查數(shù)據(jù)，城市有意向者占受調(diào)查者的%，農(nóng)村高達(dá) %.（ 按 2022 年城市人口占 %，所以 * * ? ? ?． 新鄉(xiāng)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 12 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 331 * 2 0 1 2 2 0 1 2 3 3r t trt a r t d d t???? ? ? ? ? ??? ， ， ， ． ）（ 8 模型求解 運(yùn)用 Excel 函數(shù)利用上述數(shù)據(jù)對公 式 （ 8） 進(jìn)行迭代處理 [10]，得到如下數(shù)據(jù)，如表 4． 表 4 模型一、二的總?cè)丝诩霸鲩L率 年份 模型一 模型二 總?cè)丝冢▎挝?/千萬） 增長率? 總?cè)丝冢▎挝?/千萬） 增長率? 2022 2022 2022 2022 2022 2022 2022 2022 2022 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032 2033 2034 2035 2036 2037 2038 2039 2040 新鄉(xiāng)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 13 2041 2042 2043 2044 2045 2046 2047 2048 2049 2050 在表 4 中，從 2022 年開放二胎政策后，依靠兩種模型之間增長率的換算關(guān)系（ ? ［ 11］ ，新出生率提高為原來的 倍 )，通過模型一迭代出模型二．用Matlab 畫出它們的散點(diǎn)圖如圖 4． 2022 2022 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050134136138140142144146148150152年份人口總數(shù)（單位/千萬）模型 2模型 1圖 4 模型一、二的散點(diǎn)圖 由圖 4 可知 ，在二胎政策下，到 2020 年我國的總?cè)丝诩s為 億，與模型一相比，我國總?cè)丝诘脑鲩L幅度為 1%；到 2030 年我國總?cè)丝诩s為 億，我國總?cè)丝诘脑鲩L幅度為 2%，到 2040 年我國總?cè)丝诩s為 億，我國總?cè)丝诘脑鲩L幅度為 %；到 2050 年我國的總?cè)丝诩s為 億，我國總?cè)丝诘脑鲩L幅度為 %． 新鄉(xiāng)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 14 模型三：基于模型一的 Leslie 人口結(jié)構(gòu) 矩陣 Leslie 種群模型的介紹 Leslie模型屬于一種以年齡和性別為基礎(chǔ)的離散矩陣模型，能夠克服 Logistic模型只能在總 量上預(yù)測的缺陷，特別是其考慮年齡結(jié)構(gòu)，所以其顯得比 Logistic等其他群體的模型更具有優(yōu)越性 [12]． 我們將群體按年齡的大小等間隔的分成 n 個(gè)組，討論其在不同時(shí)間年齡的分布，對時(shí)間加以離散化，其間隔也必須與年齡組的間隔相同． 設(shè)某生物種群的最大生存年齡為 l（年），我們將其按年齡的大小區(qū)間 ? ?l，0 分為 n 等分，可得到 n 個(gè)年齡間隔為 nl 的年齡組，即有 1[ , ], 1, 2 , , .iil l i nnn? ? 對于第 i 個(gè)年齡組 ?????? ? lnilni ,1,設(shè)其存活率為 is ，生育率為 ib ，一個(gè)年齡組的變化時(shí)間為 1，則有當(dāng)時(shí)間從 1?t 到 t 的過程中，顯然有 ? ? ? ?? ? ? ?111111 , 2 , ,niiii i iz t b z tz t s z t i n???? ?????? ? ??? ，． ）（ 9 其中若計(jì)矩陣 L 為 ，。，、。， 則 (9)式可寫為 ）（ 10 當(dāng) , (0)LZ 均已知時(shí)，當(dāng) nt ?3,2,1? 時(shí)，通過多次迭代，則不難得到 ( ) (0)nZ t L Z? ． ）（ 11 其中若 （ 10） 式中的元素滿足： b 0 , = 1 , 2 , , , b 0iiin? 且 至 少 一 個(gè) ． ( 1) ( )Z t LZ t?? ，s 0, =1,2, , 1。i in?1 2 1121b0 0 00 0 0nnnb b bsLss?????????，新鄉(xiāng)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 15 則稱矩陣 L 為 Leslie 矩陣． 所以只要已知 Leslie 矩陣和初始時(shí)間種群年齡組的分布向量，就可以求出以后各時(shí)間 t 的種群年齡組的分布向量． 基于 Leslie 矩陣的人口結(jié)構(gòu) 按照每五歲一個(gè)年齡組，我們將 099 歲分為 20 個(gè)組，即 04 歲為第一個(gè)年齡組， 59 歲為第二個(gè)年齡組， 1014 歲為第三個(gè)年齡組， ? ，把 9599 歲為第20 個(gè)年齡組，而 100 歲及 100 歲以上分為第 21 個(gè)年齡組．在這里，我們引入實(shí)數(shù) g ，并設(shè)實(shí)數(shù) g 為未來年份的生育率與現(xiàn)在種群的生育率之比，并且(,)g? ，很顯然，在平均生育率一定的情況下，我們可以通過改變 g 值來改變每個(gè)夫婦所生的孩子的個(gè)數(shù)，而且 g 的值大概等于每對夫婦所生的孩子的數(shù)除以總和生育率（總生育率是指該國家或地區(qū)的婦女在育齡期間，每個(gè)婦女平均的生育子女?dāng)?shù)），各年齡組的育齡婦女在五年內(nèi)的平均生育率向量實(shí)際上應(yīng)該為? ?1 2 21, TB g b b b? ．把 t 階段全部存活的新生兒全部劃分到 1t? 階段的第一年齡組，并設(shè)各年齡組人口在 5 年時(shí)間里的存活率向量為 ? ?Tsss 2121 , ? ，而且 t 階段第1k? 年齡組人存活到第 1t? 階段就是第 k 年齡組的人 ? ?20,2,1 ??k ，且第 21 年齡組的人五年后存活下來的仍然屬于第 21 年齡組．根據(jù)我們前面敘述的 Leslie 種群的模型應(yīng)用于這 21 個(gè)年齡組，則必滿足 ? ?211=11 121 20 20 21 21( t+1)= ( t)( t+1)=s 1( t+1)=s ( t)+s ( t)k k kkk k kz gb c zz z tz z z??????????? ，． ）（ 12 模型三的求解 我們以 2022 年中國第六次人口普查的相關(guān)數(shù)據(jù)來獲取 L 矩陣以及 ??0X ，由于我們以每 5 歲作為一個(gè) 年齡組，所以也必須以每五年作為一次人口數(shù)量及年齡結(jié)構(gòu)的相關(guān)推測，通過控制 g 值的大小來控制當(dāng)今我國適齡夫婦的生育孩子個(gè)數(shù)，實(shí)質(zhì)上其對應(yīng)的也是計(jì)劃生育的政策，然后通過改變 g 值來討論這個(gè)相應(yīng)的新鄉(xiāng)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 16 人口結(jié)構(gòu)的變化．除此以外，我們還得對存活率進(jìn)行一定的求解． 存活率 s 的求解： 根據(jù)死亡率的相關(guān)定義及微分的相關(guān)思想 [13]，則有 1( ) ( )() ()iiiiz t z tut zt ??? ， ）（ 13 對該公式兩邊進(jìn)行全微分運(yùn)算 [14]，則有 k kkdZ uZdt ?? ， ）（ 14 對該微分方程 (14)進(jìn)行整理，并對其兩邊求定積分 [15]，則有 510ks kds u dts ????， ）（ 15 所以，可以解得五年的平均成活率為 5 kukse?? ． ）（ 16 生育率的確定： 根據(jù)全國第六次人口普查的結(jié)果 [16]，我國各年齡組的人口總數(shù)，女性比例，年均生育率的數(shù)據(jù)如下表 5 所示． 表 5 2022年第六次全國人口普查相關(guān)數(shù)據(jù)記錄表格 編號(hào) 年齡組 年均死亡率? 人口總數(shù) Z(0) 女性人口 女性比重 C 年生育率? 1 04歲 77222937 3524