[英語(yǔ)學(xué)習(xí)]論文翻譯文章-文庫(kù)吧
2025-01-01 07:05 本頁(yè)面
【正文】 數(shù)顯然收斂于無(wú)論的派生函數(shù)是否是平方可積的（見(jiàn)傅里葉級(jí)數(shù)的收斂）。對(duì)于一般的函數(shù)，可以定義出傅里葉系數(shù)，在這種情況下，依范數(shù)收斂還是弱收斂，常常就變成一個(gè)令人感興趣的問(wèn)題了。例1：一個(gè)簡(jiǎn)單的傅里葉級(jí)用上面的公式可以對(duì)一個(gè)非常簡(jiǎn)單的函數(shù)給出一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)的擴(kuò)展。考慮一個(gè)鋸齒波， =，此時(shí)的傅里葉系數(shù)給定為 ， =， 能夠證明傅里葉對(duì)于可微函數(shù)在任何一點(diǎn)都收斂到，因此： 。 (公式1)當(dāng)，傅里葉常數(shù)收斂于0，即為時(shí)的左右極限的半和，這是狄利克雷對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的一個(gè)特例。例2：人們主要到在例1中的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式看起來(lái)比式子=簡(jiǎn)單多了，因此它并不能直接告訴我們?yōu)槭裁葱枰@個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)。然而，有許多應(yīng)用，都引用了傅里葉運(yùn)動(dòng)來(lái)解決熱方程。舉個(gè)例子，考慮一個(gè)邊長(zhǎng)為的方形金屬板，在坐標(biāo)上，假設(shè)沒(méi)有熱來(lái)源，四條邊中的三條邊溫度為0攝氏度，而第四條邊維持在溫度為上，其中斜率為攝氏度，那么固定溫度分布(長(zhǎng)時(shí)間后的熱分布)就可以由以下式子表達(dá)這里。然而例舉的函數(shù)似乎沒(méi)必要用到復(fù)雜的傅里葉級(jí)數(shù)，熱分布是一個(gè)非平凡解，函數(shù)也不能寫(xiě)成解析解。這個(gè)解決熱問(wèn)題的方法最好又傅里葉完成。其他應(yīng)用另外的一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用是利用怕賽瓦定理解決巴塞爾問(wèn)題，這個(gè)例子比較有概括性，而且可以用任意正整數(shù)來(lái)計(jì)算。指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)利用歐拉公式（在這里是虛數(shù)單位），給出一個(gè)更簡(jiǎn)單的公式，因此傅里葉系數(shù)為。傅里葉系數(shù)可由下面式子得出 ,… ,…并不夠充分，對(duì)于討論幾個(gè)不同函數(shù)的傅里葉系數(shù)，因此通常用改進(jìn)后的，例如或者，而且函數(shù)符號(hào)通常代替下標(biāo)，即：在工程學(xué)上，尤其當(dāng)變量表示時(shí)間，系數(shù)序列就稱作頻域。常用方括號(hào)著重表示該函數(shù)域是一個(gè)頻率分析的離散集合。傅立葉級(jí)數(shù)在區(qū)間上下面含有適當(dāng)?shù)膹?fù)系數(shù)的公式，是一個(gè)在實(shí)數(shù)集上以T為周期的周期函數(shù)。 。如果某個(gè)函數(shù)在區(qū)間上平方可積，那也就意味著在那個(gè)區(qū)間上，利用上面的公式，當(dāng)系數(shù)從如下函數(shù)中派生出來(lái)時(shí)： 那么在區(qū)間上，當(dāng)是以T為周期的函數(shù)時(shí)，滿足和處處相等，除了在不連續(xù)點(diǎn)上；是一個(gè)任意數(shù)，兩個(gè)特殊值為=0和=。另一個(gè)經(jīng)常使用的域表示用傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)來(lái)調(diào)整狄拉克梳狀函數(shù)：在這里，變量表示一個(gè)連續(xù)頻域，當(dāng)變量的單位為秒的時(shí)候，的單位就為赫茲。梳子的“牙齒”以倍（即數(shù)律分析）隔開(kāi)，被稱為基頻。可以根據(jù)下面的逆傅立葉變換而得到：， =， =。因此普遍成函數(shù)為傅立葉變換，雖然在諧波頻率上，周期函數(shù)的傅立葉積分并不收斂。在一區(qū)域上的傅立葉級(jí)數(shù)可以定義傅立葉級(jí)數(shù)為函數(shù)含兩個(gè)變量在區(qū)間上：，除了在解決偏微方程，如熱方程上有用，另一個(gè)傅立葉級(jí)數(shù)在平方上的顯著的應(yīng)用是圖像壓縮。尤其，靜態(tài)影像壓縮標(biāo)準(zhǔn)用到了二維離散余弦變換，一個(gè)用到余弦基函數(shù)的傅立葉變換。希爾伯特空間解釋主要詞條：希爾伯特空間在希爾伯特空間語(yǔ)言里，函數(shù)集是空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，這個(gè)空間實(shí)際上是希爾伯特空間由和點(diǎn)積得到：。而基礎(chǔ)傅里葉級(jí)數(shù)結(jié)果又可將希爾伯特空間記為：它較精確地解釋了上面那個(gè)復(fù)雜的指數(shù)公式，這些正弦型和余弦型的公式也恰好由希爾伯特空間證明了。真正地，這些正弦型和余弦型構(gòu)成一個(gè)正交集：，(在這里是克羅內(nèi)克符號(hào))；此外，正弦余弦函數(shù)對(duì)是正交的對(duì)于常數(shù)函數(shù)1，一組根據(jù)組成的實(shí)函數(shù)的正交基就是由函數(shù)1，形成的，它們跨越的密度是維爾斯查司定理的一個(gè)推論。性質(zhì)如果是在上以為周期且次可微的周期函數(shù)，那么就屬于，它的階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。若是以為周期的奇函數(shù)，則對(duì)于任意的都有。若是以為周期的偶函數(shù)，則對(duì)于任意的都有。若是可積的，那么，這就是被人們所知的黎曼勒貝格引理。在上的雙重?zé)o窮序列是某個(gè)在上的函數(shù)傅里葉系數(shù)序列當(dāng)且僅當(dāng)它是兩個(gè)序列在上的卷積。若，那么根據(jù)公式，導(dǎo)數(shù)的傅里葉系數(shù)就可以表述為函數(shù)的傅里葉系數(shù)。若，則。特別地，因?yàn)橼呌?，所以也趨向于0，也就意味著傅里葉系數(shù)比n的次冪更快地趨向于0。帕斯瓦爾定理：若，則。Plancherel定理：若是系數(shù)且，則存在唯一函數(shù)使對(duì)于任意都有。第一卷積定理：如果和都上，那么，在這里，表示以為周期函數(shù)的卷積。第二卷積定理：。泊松總和公式：函數(shù)的周期總和可以用傅里葉級(jí)數(shù)表述當(dāng)它的系數(shù)與的連續(xù)型傅里葉變換成比例： 類似地，的周期總和也可以用傅里葉級(jí)數(shù)表述當(dāng)它的系數(shù)與樣本，一個(gè)形象能懂的混淆現(xiàn)象和著名的抽樣定理成比例。全文見(jiàn)《傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系》。緊群主要詞條：緊群，李氏群和彼得威爾定理其中一個(gè)有趣的傅里葉變換的性質(zhì)就是它能傳遞逐點(diǎn)相乘的卷積。如果
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