【正文】 證 A A? ? 是對稱矩陣． 證明： 39。39。)39。39。(39。)39。39。( AAAAAAAA ??????? ? A A? ? 是對稱矩陣 ⒏若 A 是 n 階方陣，且 AA I?? ，試證 A?1 或 ?1 ． 證明 ： ? A 是 n 階方陣，且 AA I?? ? 12 ?????? IAAAAA ? A?1 或 1??A ⒐若 A 是正交矩陣，試證 ?A 也是正交矩陣． 證明： ? A 是正交矩陣 ? AA ???1 ? )()()( 111 ?????? ??? AAAA 即 ?A 是正交矩陣 工程數(shù)學作業(yè)（第二次） (滿分 100 分 ) 第 3 章 線性方程組 （一）單項選擇題 (每小題 2 分，共 16 分 ) ⒈用消元法得 x x xx xx1 2 32 332 4 102? ? ?? ?? ??????的解 xxx123??????????為（ C ）． A. [ , , ]1 0 2? ? B. [ , , ]? ? ?7 2 2 C. [ , , ]? ? ?11 2 2 D. [ , , ]? ? ? ?11 2 2 專業(yè)好文檔 5 ⒉線性方程組 x x xx xx x1 2 31 32 32 3 263 3 4? ? ?? ?? ? ??????（ B ）． A. 有無窮多解 B. 有唯一解 C. 無解 D. 只有零解 ⒊向量組 100010001121304??????????????????????????????????????????????????, , , ,的秩為（ A）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 ⒋設向量組為 ? ? ? ?1 2 3 41100001110101111????????????????????????????????????????????????????, , ,，則（ B ） 是極大無關組． A. ? ?1 2, B. ? ? ?1 2 3, , C. ? ? ?1 2 4, , D. ?1 ⒌ A 與 A 分別代表一個線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，若這個方程組無解，則（ D）． A. 秩 ( )A? 秩 ()A B. 秩 ( )A? 秩 ()A C. 秩 ( )A? 秩 ()A D. 秩 ( )A? 秩 ( )A?1 ⒍若某個線性方程組相應的齊次線性方程組只有零解，則該線性方程組（ A ）． A. 可能無解 B. 有唯一解 C. 有無窮多解 D. 無解 ⒎以下結論正確的是（ D ）． A. 方程個數(shù)小于未知量個數(shù)的線性方程組一定有解 B. 方程個數(shù)等于未知量個數(shù)的線性方程組一定有唯一解 C. 方程個數(shù)大于未知量個數(shù)的線性方程組一定有無窮多解 D. 齊次線性方程組一定有解 ⒏若向量組 ? ? ?1 2, , ,? s線性相關，則向量組內（ A ）可被該向量組內其余向量線性表出． A. 至少有一個向量 B. 沒有一個向量 C. 至多有一個向量 D. 任何一個向量 9．設 A，Ｂ為 n 階矩陣， ? 既是Ａ又是Ｂ的特征值， x 既是Ａ又是Ｂ的屬于 ? 的特征向量，則結論（ ）成立． Ａ． ? 是 AB 的特征值 Ｂ． ? 是 A+B的特征值 Ｃ． ? 是 A－ B的特征 值 Ｄ． x 是 A+B的屬于 ? 的特征向量 10．設Ａ，Ｂ，Ｐ為 n 階矩陣，若等式（Ｃ ）成立，則稱Ａ和Ｂ相似． Ａ． BAAB? Ｂ． ABAB ??)( Ｃ． BPAP ??1 Ｄ． BPPA ?? （二）填空題 (每小題 2 分，共 16 分 ) ⒈當 ?? １ 時，齊次線性方程組 x xx x1 21 2 00? ?? ?????有非零解． ⒉向量組 ? ? ? ?? ?1 20 0 0 1 1 1? ?, , , , ,線性 相關 ． ⒊向量組 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2 0 1 0 0 0 0 0, , , , , , , , , , ,的秩是 ３ ． ⒋設齊次線性方程組 ? ? ?1 1 2 2 3 3 0x x x? ? ?的系數(shù)行列式 ? ? ?1 2 3 0? ，則這個方程組有 無窮多 解，且系數(shù)列向量 ? ? ?1 2 3, , 是線性 相關 的． 專業(yè)好文檔 6 ⒌向量組 ? ? ? ? ? ?? ? ?1 2 31 0 0 1 0 0? ? ?, , , , ,的極大線性無關組是 21,?? ． ⒍向量組 ? ? ?1 2, , ,? s的秩與矩陣 ? ?? ? ?1 2, , ,? s的秩 相同 ． ⒎設線性方程組 AX?0 中有 5 個未知量，且秩 ( )A?3 ，則其基礎解系中線性無關的解向量有 ２ 個． ⒏設線性方程組 AXb? 有解， X0 是它的一個特解，且 AX?0 的基礎解系為 X X1 2, ，則 AXb? 的通解為 22110 XkXkX ?? ． 9．若 ? 是Ａ的特征值，則 ? 是方程 0??AI? 的根． 10．若矩陣Ａ滿足 AA ???1 ，則稱Ａ為正交矩陣． （三）解答題 (第 1 小題 9 分，其余每小題 11 分 ) 1．用消元法解線性方程組 x x x xx x x xx x x xx x x x1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 43 2 63 8 5 02 4 124 3 2? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???????? 解：??????????????????? ?????????????????????????? ????????????????????????? ????????261210009039270018871048231901843100185018871061231231411214120518361231413212413121 532 3rrrrrrrrrrrrA??????????????????? ???????????????????? ???????????????????? ?? ?????????3311000411004615010124420201365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213rrrrrrrrrr????????????????? ???????????????????? ?? ?????31000101001001020201310004110046150101244202034241441542111rrrrrrr ?方程組解為?????????????31124321xxxx ２．設有線性方程組 ?????1 11 11 112???????????????????????????????xyz ? 為何值時，方程組有唯一解 ?或有無窮多解 ? 解：??????????????????? ????????????????????? ?????????????? ???????????????????22322222)1)(1()1)(2(00)1(110111110110111111111111111132312131??????????????????????????????rrrrrrrrA］ ? 當 1?? 且 2??? 時， 3)()( ?? ARAR ，方程組有唯一解 當 1?? 時， 1)()( ?? ARAR ，方程組有無窮多解 專業(yè)好文檔 7 ３．判斷向量 ? 能否由向量組 ? ? ?1 2 3, , 線性表出，若能，寫出一種表出方式．其中 ? ? ? ???????????????????????????????? ?????????????????????????????837102713350256311 2 3, , , 解 ：向量 ? 能否由向量組 321 , ??? 線性表出，當且僅當方程組 ???? ??? 332211 xxx 有解 這里 ? ???????????????? ??????? ????????????????????????5710001171