中國東南地區(qū)數學奧林匹克競賽試題及答案-文庫吧
2024-12-26 05:39 本頁面
【正文】 ． 證明： , , ,ABCD 四點共圓的充分必要條 件是 AC AD? ． （熊斌供題） 證明： 必要性：若 , , ,ABCD 共圓， 則由 ,AB DE BC EA??， 得 BAC EDA? ? ? ， ACB DAE? ? ? ，所以 ABC DEA? ? ? ，故得 AC AD? ； 充分性：記 BCDE 所共的圓為 O ，若 AC AD? ，則圓心 O 在 CD 的中垂線 AH 上，設點 B 關于 AH 的對稱點為 F ，則 F 在 O 上，且因 AB EA? ，即 DE DF? ，所以 ,EF不共點，且 AFD? ≌ ABC? ，又由 ,AB DE BC EA??， 知 AED? ≌ CBA? ，因此， AED? ≌ DFA? ，故由 AED DFA? ? ? ，得 AEFD 共圓，即點 A 在 DEF 上，也即點 A在 O 上， 從而 , , ,ABCD 共圓． 3. 設 ,x y z R?? ， 2 2 2( ) , ( ) , ( )a x y z b y z x c z x y? ? ? ? ? ?； 求證： 2 2 2 2( )a b c ab bc ca? ? ? ? ?． （唐立華供題） 證明：先證 ,abc不能構成三角形的三邊．因為 ( ) ( ) ( ) ,b c a y z z x x y? ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) ( )c a b z x x y y z? ? ? ? ? ? ?， ( ) ( ) ( )a b c x y y z z x? ? ? ? ? ? ?． FHBAC DE 4 所以 ( b c a??)( c a b??)( a b c??) ? ?2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0y z z x x y y z z x x y? ? ? ? ? ? ? ? ?, 于是 2 2 22( ) ( )ab bc c a a b c? ? ? ? ? ? ( )(a b c b c a? ? ? ?)( c a b??)( a b c??) 0? , 故 2 2 2 2( )a b c ab bc c a? ? ? ? ?． 4. 在一個圓周上給定十二個紅點；求 n 的最小值，使得存在以紅點為頂點的 n 個三角形，滿足：以紅點為端點的每條弦，都是其中某個三角形的一條邊． （陶平生供題） 解：設紅點集為： ? ?1 2 12, , ,A A A A?，過點 1A 的弦有 11條，而任一個含頂點 1A 的三角形，恰含兩條過點 1A 的弦，故這 11條過點 1A 的弦，至少要分布于 6 個含頂點 1A 的三角形中； 同理知，過點 ( 2,3, ,12 )iAi? 的弦，也各要分布于 6 個含頂點 iA 的三角形中，這樣就需要 12 6 72?? 個三角形，而每個三角形有三個頂點，故都被重復計算了三次，因此至少需要 72 243? 個三角形． 再說明，下界 24 可以被取到．不失一般性，考慮周長為 12的圓周，其十二等分點為紅點，以紅點為端點的弦共有 212 66C ? 條．若某弦所對的劣弧長為 k ，就稱該弦的刻度為 k ；于是紅端點的弦只有 6 種刻度，其中，刻度為 1,2, ,5 的弦各 12條，刻度為 6 的弦共 6 條； 如果刻度為 ,abc（ abc??）的弦構成三角形的三條邊，則必滿足以下兩條件之一： 或者 a b c?? ；或者 12abc? ? ? ； 于是紅點三角形邊長的刻度組 ? ?,abc 只有如下 12種可能： ? ? ? ? ? ?1,1, 2 , 2 , 2 , 4 , 3, 3, 6 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 , 5 , 5 , 1 , 2 , 3 , 1 , 3 , 4 , 1 , 4 , 5 , 1 , 5 , 6 , 2 , 3 , 5 , 2 , 4 , 6 , 3 , 4 , 5 , 4 , 4 , 4； 下面是刻度組的一種搭配：取 ? ? ? ? ? ?1, 2, 3 , 1, 5, 6 , 2, 3, 5型各六個
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