【正文】 的原理（由燒一根香計時半小時，引申為燒剩 t 的時候點兩 從 1 到 2，從 2 到 3—— 用改進算法的思想解決規(guī)模維數增大的問題 廣東省韶關一中 張偉達 2022 集訓隊論文 3 頭就能計時 2t ）； 3. 改進算法（改進的過程中，往往不是依靠算法改進算法本身，反而是利用算法的內涵、實質，結合問題，構造算法）； 4. 解決問題（我們得出了正確的解法）。 但是如何來改進原有的算法呢，筆者認為可以有以下途徑： 1. 直接增加算法的規(guī)模，解決問題 2. 用枚舉處理增加的規(guī)模，從而解決問題 3. 用貪心解決增加的規(guī)模，從而解決問題 4. 以上各個途徑的綜合運用 圍繞這一主線，筆 者將用例題做進一步的闡明。 三、改進算法的途徑 (1)直接增加算法的規(guī)模，解決問題 解決簡單的問題，常?？梢圆捎弥苯犹幚淼姆椒ǎ呛芏鄷r候還是需要一些技巧。 【例一】街道問題及其擴展。（經典問題） 【題目大意】 〖原題〗在右圖中找出從左下角到右上角的最短路徑，每步只能向右方或上方走?！紨U展〗在地圖中找出從左下角到右上角的兩條路徑，兩條路徑中的任何一條邊都不能重疊，并且要求兩條路徑的總長度最短。 【問題分析】原題是一道簡單而又典型的動態(tài)規(guī)劃題，很顯然，可以用這樣的動態(tài)規(guī)劃方程解題：????? ???????),(),1,(1,),(),1(,1, D i s t a nc eD i s t a nc em i njijijijijijiji fff （這里 Distance 表示相鄰兩點間的邊長） 但是對于擴展后的題目：再用這種 簡單 的方法就不太好辦了。如果非得套用這種方法的話，則最優(yōu)指標函數就需要有四維的下標，并且難以處理兩條路徑“不能重疊”的問題。 我們來分析一下原方法的實質： 按照圖中的斜線來劃分階段，即階段變量 k表示走過的步數，而狀態(tài)變量 xk表示當前處于這一階段上的哪一點。這時的模型實際上已經轉化成了一個特殊的多段圖。用決策變量 uk=0 表示向右走， uk=1表示向上走，則狀態(tài)轉移方程為：??? ?? ????? rowkux rowkuxxkkkkk , ,11 (這里的 row 是地圖豎直方向的行數 )。通過這一步觀察，我們 就會發(fā)現這個問題很好解決，只需要5 5 5 5 5 4 4 4 6 4 2 2 3 3 3 3 3 3 3 8 8 8 7 7 7 7 6 9 4 6 6 從 1 到 2，從 2 到 3—— 用改進算法的思想解決規(guī)模維數增大的問題 廣東省韶關一中 張偉達 2022 集訓隊論文 4 加一維狀態(tài)變量就成了。即用 ),( kkk baX ? 分別表示兩條路徑走到階段 k 時所處的位置，相應的，決策變量也增加一維，用 ),( kkk yxu ? 分別表示兩條路徑的行走方向。狀態(tài)轉移時將兩條路徑分別考慮： ??? ?????? ?????????? r owkybbxaa r owkybbxaakkkkkkkkkkkk ,1, ,1,1111 【小結】從這個例子可以看出，改進的時候不能只依靠原始算法，還要分析原始算法的本質。 (2)用枚舉處理增加的規(guī)模，從而解決問題 【例二】旅行（廣東省奧林匹克競賽 2022） 【題目大意】給出一個 N M 的數字矩陣，要求這個矩陣的一個子矩陣，并要求這個子矩陣的數字和最大。 【問題分析】初一看題目，想到枚舉每一個子矩陣，求出子矩陣的和，比較得出最大值。這樣，時間復雜度達到 O(N4)，顯然不可以接受。因為它是兩維的問題，我們可以嘗試著把維數降低。 先看一維時候的情況：在數列 ai中找出和最大的一段。 對于一維的子問題，可以這樣來想：如果用最基本的方法，可以枚舉每個子序列。但是如果純粹三重循環(huán)，枚舉頭，枚舉尾，枚舉中間求和，顯然是太浪費了。其實 我們計算 Si,j ( ijaaaS ijjji ????? ? ,1, ?)時，可以由 ijiji aSS ?? ? ,1,獲得。這樣，動態(tài)規(guī)劃的思路就明顯了， Si,j 與 Si1,j 有直接的關系，而且我們還可以發(fā)現 Si,*（表示從 Si,1 到 Si,i1 構成的數列）只比 Si1,*多了一項。于是簡單的動態(tài)規(guī)劃就出來了，用 fi表示以 i 為終點的數列的最大和，有： ??? ? ??? ?1, 1),m a x(11ia iaaff iiii 不過，我們得到的只是子問題的算法，如何改進算法能使它適用于矩陣的問題呢？我們需要找出矩陣和數列的關系：矩 陣是若干條數列，但是它又不僅僅是簡單的若干條數列，不同數列中的相同位置的數也構成了聯系。我們可以嘗試著構造上下、左右同時進行的動態(tài)規(guī)劃，但是也許我們無能為力。對于這道題的數據規(guī)模，似乎沒有必要構造 O(N2)時間的算法。不難想到，枚舉上下方向的數列和，在左右方向用動態(tài)規(guī)劃求解，可以得到時間復雜度在 O(N3)的算法。 【小結】在這個例題中，我們用了最簡單的方法 —— 枚舉，來改進一維數列的最大子序列的解法，從而解決問題的規(guī)模的增加。但是枚舉這個簡單的方法，卻能解決很復雜的問題。 從 1 到 2，從 2 到 3—— 用改進算法的思想解決規(guī)模維數增大的問題 廣東省韶關一中 張偉達 2022 集訓隊論文 5 【例三】炮兵陣地。（ NOI2022） 【題目大意】在圖中標為 P 的格子中放炮兵，如圖灰色區(qū)域放了炮兵后，黑色區(qū)域不能放炮兵，問圖中最多能放多少炮兵？ 【問題分析】簡化的問題：若只有一列，問最多可以放多少炮兵。 可以用貪心，盡量把炮兵往上放，也可以這樣遞推：用 fi表示前 i 行最多能放炮兵數， ai表示第 i 行的地形，則邊界條件：??? ??? 39。39。,0 39。39。,1111 Ha Paf ，動態(tài)規(guī)劃方程：???????????????1,39。39。31,139。39。3,1m a x13ifPaiPaiffiiiii 且且 但是當問題擴展到多列的情況，就復雜了：不僅要考慮一列是否能引用上一行的函數值，而且要多列同時考慮。但是容易觀察到， mn，最大只有 10，又因為炮兵攻擊范圍很大，實際上能放炮兵的組合數很小，可以考慮枚舉組合，從而得到改進的動態(tài)規(guī)劃方法：以兩行為一個狀態(tài)， s1 表示狀態(tài)中上行的炮兵布置情況， s2 表示下行的布置情況，（可以預先枚舉所有可能的情況并給這些情況標號） 當第 i 行能不能布置 s1 或第 i+1 行不能布置 s2 時，或者 s1,s2 在同一位置布置了炮兵時，都是不符合情況的，令此時 0),( 21 ?ssfi ； 否則： 21121 c o u n t)),(m a x (),( sssfssf ii ?? ?，其中 counts2表示 s2 的炮兵個數；s 表示該 s1,s2 的前一行的炮兵布置情況，而且滿足：不存在這樣的j )1][][(amp。)( 2 ??? jsjsmj 。 這樣到最后的最優(yōu)解就是 )),(max( 211 ssfn ? 最終復雜度分析，時間復雜度大約 O(R3n)（ R 是一行狀態(tài)的組合數） (3)用貪心解決增加的規(guī)模，從而解決問題 【例四】求網絡的最小費用最大流。（經典問題） 顯然，求最小費用最大流可以由求最大流的算法改進。求網絡的最大流，簡單